1. 特征值與特征向量

定義：

注意：只有方陣具有特征值與特征向量，不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量之間線性無(wú)關(guān)

如何理解特征值與特征向量？（重要）

形象的例子：如果把矩陣看作運(yùn)動(dòng)的話，那么

特征值就是運(yùn)動(dòng)的速度

特征向量是運(yùn)動(dòng)的方向

對(duì)于方陣而言，矩陣不會(huì)在維度上進(jìn)行伸縮，所以矩陣的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上只有兩種：旋轉(zhuǎn)和拉伸，最后運(yùn)動(dòng)的結(jié)果（矩陣的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)在乘以任意一個(gè)向量，列向量的方向和長(zhǎng)度是矩陣運(yùn)動(dòng)的表現(xiàn)形式）就是這兩種的合成。接下來(lái)討論這兩種具體的運(yùn)動(dòng)方式在矩陣的運(yùn)算如何體現(xiàn)：

旋轉(zhuǎn)與拉伸：通過(guò)矩陣相似對(duì)角化分解，可以得到：
$A = PBP^{-1}$ 其中B為對(duì)角陣, $P$ 的列向量是單位化的特征向量，并且互相正交。
對(duì)角陣B決定了各個(gè)方向的拉伸大小，而P決定了旋轉(zhuǎn)變化

特征值指明了拉伸大??；

特征向量指明了拉伸的方向。（特征向量都是一組組標(biāo)準(zhǔn)正交基）

幾何意義：

特征多項(xiàng)式：用于求特征值

特征向量的求解：

方陣的跡與行列式：

2. 相似矩陣

矩陣相似關(guān)系的定義：

相似矩陣的性質(zhì)：擁有相同的特征多項(xiàng)式和特征值

3. 矩陣對(duì)角化

可對(duì)角化定義：矩陣可相似于一個(gè)對(duì)角陣

矩陣可對(duì)角化充要條件：1. n階矩陣有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

矩陣P為特征列向量組，對(duì)角陣的跡為n個(gè)特征值。

推論：若n階矩陣A具有n個(gè)不同的特征值，則A可相似對(duì)角化。

矩陣可對(duì)角化充要條件：2. n階矩陣每個(gè)擁有ni個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，其中ni是第i個(gè)特征值的重?cái)?shù)

矩陣相似對(duì)角化的重要應(yīng)用：求矩陣的冪

冪等式：若 $A$ 可相似對(duì)角化，設(shè) $A=P \Lambda P^{-1}$ ，則
$A^{n}=(P\Lambda P^{-1})^{n}=(P\Lambda P^{-1})(P\Lambda P^{-1})\cdots (P\Lambda P^{-1})=P\Lambda^{n} P^{-1}$ 上式可根據(jù)矩陣乘法的交換律，讓 $P$ 和 $P^{-1}$ 相乘。

例題：