來源
你會(huì)發(fā)現(xiàn)對今天的挑戰(zhàn)有用術(shù)語列在下面.
條件概率 Conditional Probability
這個(gè)是這么定義的, 當(dāng)某個(gè)事件發(fā)生時(shí), 可以認(rèn)為這之前已經(jīng)有某個(gè)或某些事件已經(jīng)發(fā)生.
P(B|A) 發(fā)生事件A的情況下, 發(fā)生事件B的概率.
如果事件A的結(jié)果對事件B沒有影響, 那么事件A和B是相互獨(dú)立的
即P(B|A) = P(B)
注:例如有兩個(gè)硬幣a和b, a正面的事件概率是1/2, 無論a正面事件怎么發(fā)生,b出現(xiàn)正面的事件概率也總是1/2. 即a正面和b正面的概率沒關(guān)系.
如果事件A和B不是相互獨(dú)立的, 我們就要考慮兩個(gè)事件一起發(fā)生的概率. 這可以描述成事件A和事件B的交集(intersection),即
P(A ∩ B) = P(B|A) × P(A)
我們可以用這個(gè)定義通過得到將事件A和事件B的交集(P(A ∩ B))除以假設(shè)已經(jīng)發(fā)生的事件(事件A),而得到條件概率
貝葉斯定理
假設(shè)有事件A和B, P(A | B)就是事件B發(fā)生的情況下發(fā)生事件A的概率. 反過來, P(B | A)就是事件A發(fā)生的情況下發(fā)生事件B的概率.
問題1
如果一個(gè)學(xué)生A通過某項(xiàng)考試的概率是2/7, 另一個(gè)學(xué)生B通不過這項(xiàng)考試的概率是3/7, 求這兩個(gè)學(xué)生中至少有一個(gè)通過考試的概率.
解:
設(shè)P(A) = 2/7 且 P(Bc) = 3/7
我們的樣本空間有4中可能的結(jié)果:
- A考過而B不過 A ∩ Bc
- A考過且B也考過 A ∩ B
- A不過而B考過 Ac ∩ B
- A不過且B也不過 Ac ∩ Bc
方法1, 我們只考慮前三種情況, 首先我們計(jì)算P(B)=1-3/7=4/7. 因?yàn)橐粋€(gè)學(xué)生的考試成績不會(huì)依賴于另一個(gè)學(xué)生的考試成績. A和B是獨(dú)立的,我們可以說:兩個(gè)學(xué)生都通過考試的概率是P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 2/7 * 4/7 = 8/49. 洗澡我們知道兩個(gè)學(xué)生都通過考試的概率,我們可以算出至少一個(gè)學(xué)生通過考試的概率:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A) × P(B)
P(A ∪ B) = 2/7 + 4/7 - 8/49 = 34/49
方法2, 另一辦法就是只計(jì)算第4種情況(A和B都考不過),然后從樣本空間總概率P(S)(=1)中減掉,得到一樣的答案:
P(A ∪ B) = 1 - P(Ac) × P(Bc) = 1 - 5/7 * 3/7 = 49/49 - 15/49 = 34/49
問題2
歷史數(shù)據(jù)顯示, 在某沙漠地區(qū), 一年(365天)才下了5天雨. 一個(gè)氣象學(xué)家(meteorologist)預(yù)報(bào)說今天會(huì)下雨. 當(dāng)今天下雨時(shí), 氣象學(xué)家預(yù)報(bào)的下雨預(yù)報(bào)準(zhǔn)確率是90%. 當(dāng)沒有下雨時(shí), 氣象學(xué)家的錯(cuò)誤預(yù)報(bào)下雨的概率是10%. 求今天下雨的概率.
注:我真看不懂原文什么意思..... :(
在這個(gè)問題中, 今天下雨的概率是基于今天有沒有下雨.我們可以定義以下事件:
- 事件R: 如果今天下雨. P(R) = 5/365 = 1/73
- 事件Rc: 今天不下雨. P(Rc) = 360/365 = 72/73
- 事件M:氣象學(xué)家預(yù)測今天會(huì)下雨:
- P(M | R) = 9/10 (下雨的情況下, 他預(yù)報(bào)了下雨的概率?)
- P(M | Rc) = 1/10 (沒下雨的情況下, 他預(yù)報(bào)了下雨的概率)
現(xiàn)在我們求P(R | M) (他預(yù)報(bào)了下雨的情況下, 真的下雨的概率, 他的準(zhǔn)確率?)
