遺言
恩,你沒聽錯,就是遺言,因為大學的時候是一名學渣,沒有好好學習3D圖形相關(guān)的幾何知識.現(xiàn)在用到了,才感到其強大之處,所以買了書學習一下,希望亡羊補牢,為時未晚.同時我深知這本書的枯燥之處,可能讓我看完,我可能就有可能就掛了,但是不管了,就是直接搞起.不過我要事先聲明,由于是重新學習,所以在文章不能面面俱到.本專題只為本人日后尋找資料時提供幫助,非解讀性博客.謝謝大家.
向量運算
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負向量
要得到任意維度向量的負向量,只需要簡單地將向量地每一個分量變負即可.數(shù)學表達式如下.
-[a1,a2,...,an-1,an] = [-a1,-a2,...,-an-1,-an]
負向量的幾何意義:向量變負,就會得到一個與原向量大小相等,方向相反的向量.如下所示.
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向量大小(向量的模)
一個2D向量的長度計算還是很簡單的,直接把向量的各個分量的平方加起來然后進行開方得到的數(shù)值就是向量的模.數(shù)學表達式如下.
‖ν‖ = √(v12+v22+...+vn-12+vn2)
其實我們常用的只有2D和3D的向量的模的計算,數(shù)學表達式如下所示.
//2D向量的模
‖ν‖ = √(vx2+vy2)
//3D向量的模
‖ν‖ = √(vx2+vy2+vz2)
幾何解釋:我們其實就是利用了以向量為斜邊的直角三角形,通過勾股定理推導出向量的模.如圖所示
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標量與向量的乘法
標量與向量的乘法也是簡單除暴,我們只需要把標量和向量中的每一個分量相乘即可.數(shù)學表達式如下所示.
κ [a1,a2,...,an-1,an] = [κa1,κa2,...,κan-1,κan]
幾何解釋:一個標量κ乘以一個向量可以看做是這個向量的縮放變換.縮放了κ倍.如圖所示.
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法線(標準化向量)
法線就是單位為1的向量,也稱之為單位向量或者是標準化向量.對于任意的非零向量ν都可以計算出與它方向相同的單位向量.計算方式很簡單,只要用向量除以它的模即可.數(shù)學表達式如下.
ν0 = ν / ‖ν‖ ,ν ≠ 0
幾何解釋:在向量ν的尾部簡歷坐標系,然后做單位圓,做一向量ν0與ν方向相同,尾部與原點相交,終點交于單位圓的一點.ν0就是ν的法線.
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向量的加法和減法
兩個維度相同的向量的加減法很簡單,將對應的分量做加減法即可.減法也可以解釋為加負向量,a-b=a+(-b),注意的是加法滿足交換律,但是只有兩個向量相同的時候才滿足交換律
[a1,a2,...,an-1,an] + [b1,b2,...,bn-1,bn] = [a1+b1,a2+b2,...,an-1+bn-1 ,an+bn]
[a1,a2,...,an-1,an] - [b1,b2,...,bn-1,bn] = [a1-b1,a2-b2,...,an-1-bn-1 ,an-bn]
幾何解釋:平移兩個向量,使一個向量a的尾部和另外向量b的頭部相交,然后從向量b的尾部向向量a的頭部畫一個向量.這就是兩者相加所得到的向量.這也是向量加法中的"三角形法則".加法類似.
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向量的點乘
"點乘"說的就是來自記法a·b中的點號.注意的是向量點乘中不能省略點乘號.向量點乘就是對應分量乘積的和,結(jié)果是一個標量.其數(shù)學表達式如下.
[a1,a2,...,an-1,an]·[b1,b2,...,bn-1,bn] = a1b1 + a2b2 +...+ an-1bn-1 + anbn
幾何解釋:點乘描述的是兩個向量的相似程度,點乘的結(jié)果越大,兩向量越相近.
| v·u | 角度α | v與u |
|---|---|---|
| >0 | 0°≤α＜90° | 方向基本相同 |
| 0 | α=90° | 正交 |
| <0 | 90°≤α＜180° | 方向基本相反 |
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向量的叉乘
與向量的點乘一樣,"叉乘"來自記法中的a x b的叉號,叉號也是不能省略的.叉乘的結(jié)果不再是一個標量,而是一個向量.具體的數(shù)學表達式如下所示.
[x1,y1,z1] x [x2,y2,z2] = [y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2];
對于叉乘的計算,我特意問問了以前的同學(我說過自己是學渣.??)然后,就有了下面的幾張叉乘講解圖.
兩個向量的叉乘用行列式進行表示,其中呢,i , j ,k 是x,y,z軸的單位向量.當然了,當向量有具體的數(shù)值時候,i , j ,k 可以省略.
行列式中的具體運算規(guī)則如下所示,先是紅再是藍再是紫的順序.沒有箭頭指向的乘積就是被減的那個.
幾何意義:兩個向量的叉乘得到的向量是垂直于原來的兩個向量的.叉乘的應用就是用來床架創(chuàng)建垂直于平面,三角形,或者多邊形的向量.
