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?計(jì)算機(jī)中的符號(hào)數(shù)有三種表示方法，即原碼、反碼和補(bǔ)碼。三種表示方法均有符號(hào)位和數(shù)值位兩部分，符號(hào)位都是用0表示“正”，用1表示“負(fù)”，而數(shù)值位，三種表示方法各不相同。

?在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，數(shù)值一律用補(bǔ)碼來(lái)表示和存儲(chǔ)。原因在于，使用補(bǔ)碼，可以將符號(hào)位和數(shù)值域統(tǒng)一處理；同時(shí)，加法和減法也可以統(tǒng)一處理。此外，補(bǔ)碼與原碼相互轉(zhuǎn)換，其運(yùn)算過(guò)程是相同的，不需要額外的硬件電路。

特性

1、一個(gè)負(fù)整數(shù)（或原碼）與其補(bǔ)數(shù)（或補(bǔ)碼）相加，和為模。

2、對(duì)一個(gè)整數(shù)的補(bǔ)碼再求補(bǔ)碼，等于該整數(shù)自身。

3、補(bǔ)碼的正零與負(fù)零表示方法相同。

模

?模的概念可以幫助理解補(bǔ)數(shù)和補(bǔ)碼。

?“?！笔侵敢粋€(gè)計(jì)量系統(tǒng)的計(jì)數(shù)范圍。如時(shí)鐘等。計(jì)算機(jī)也可以看成一個(gè)計(jì)量機(jī)器，它也有一個(gè)計(jì)量范圍，即都存在一個(gè)“?！?。例如：

?時(shí)鐘的計(jì)量范圍是0～11，模=12。表示n位的計(jì)算機(jī)計(jì)量范圍是0～2^{(n)-1，模=2}(n)。

?“?！睂?shí)質(zhì)上是計(jì)量器產(chǎn)生“溢出”的量，它的值在計(jì)量器上表示不出來(lái)，計(jì)量器上只能表示出模的余數(shù)。任何有模的計(jì)量器，均可化減法為加法運(yùn)算。

?例如：假設(shè)當(dāng)前時(shí)針指向10點(diǎn)，而準(zhǔn)確時(shí)間是6點(diǎn)，調(diào)整時(shí)間可有以下兩種撥法：一種是倒撥4小時(shí)，即：10-4=6；另一種是順撥8小時(shí)：10+8=12+6=6

?在以12模的系統(tǒng)中，加8和減4效果是一樣的，因此凡是減4運(yùn)算，都可以用加8來(lái)代替。對(duì)“?！倍?，8和4互為補(bǔ)數(shù)。實(shí)際上以12模的系統(tǒng)中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有這個(gè)特性。共同的特點(diǎn)是兩者相加等于模。

?對(duì)于計(jì)算機(jī)，其概念和方法完全一樣。n位計(jì)算機(jī)，設(shè)n=8， 所能表示的最大數(shù)是11111111，若再加1成為100000000(9位），但因只有8位，最高位1自然丟失。又回了00000000，所以8位二進(jìn)制系統(tǒng)的模為2^8。在這樣的系統(tǒng)中減法問(wèn)題也可以化成加法問(wèn)題，只需把減數(shù)用相應(yīng)的補(bǔ)數(shù)表示就可以了。把補(bǔ)數(shù)用到計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)的處理上，就是補(bǔ)碼。

?另外兩個(gè)概念：()

?用二進(jìn)制表示正數(shù)不存在問(wèn)題，但是在表示負(fù)數(shù)時(shí)會(huì)存在意想不到的困難。下面表中列出了用二進(jìn)制數(shù)表示負(fù)整數(shù)的三個(gè)系統(tǒng)：

（n為將符號(hào)位算在內(nèi)的位數(shù)）計(jì)算。可以形象的將對(duì)應(yīng)的正數(shù)的二進(jìn)制形式的各個(gè)位取反即可。(這里和得到反碼的步驟不一樣。反碼，補(bǔ)碼，都是從原碼開(kāi)始操作得到。這里是從正數(shù)開(kāi)始操作得到。但兩者除了計(jì)算的起點(diǎn)不同，最終得到的編碼形式是一樣的。為了區(qū)別操作過(guò)程的不同，故仍然采用英文名。)

以及其二進(jìn)制形式，過(guò)程如下：

2^{4}= 10000

減1 - 0001

01111

減7 - 0111

01000加粗的這部分呈現(xiàn)的是-7.

(n為將符號(hào)位算在內(nèi)的位數(shù)）

觀察公式，twos complement數(shù)，相當(dāng)于ones complement 數(shù)+1.

下面用4位二進(jìn)制數(shù)來(lái)做例子：

2^{4}= 10000 2^{4}= 10000

減7 - 0111 減負(fù)7 - 1001

01001加粗部分表示-7 0 0111 加粗部分表示+7

符號(hào)絕對(duì)值的數(shù)表示方式

Ones Complement Number representation

twos_complement_number_representaion

整數(shù)補(bǔ)碼

求給定數(shù)值的補(bǔ)碼分以下兩種情況：

正數(shù)

正整數(shù)的補(bǔ)碼是其二進(jìn)制表示，與原碼相同 ^[2] 。

【例1】+9的補(bǔ)碼是00001001。（備注：這個(gè)+9的補(bǔ)碼是用8位2進(jìn)制來(lái)表示的，補(bǔ)碼表示方式很多，還有16位二進(jìn)制補(bǔ)碼表示形式，以及32位二進(jìn)制補(bǔ)碼表示形式,64位進(jìn)制補(bǔ)碼表示形式等。每一種補(bǔ)碼表示形式都只能表示有限的數(shù)字。）

負(fù)數(shù)

求負(fù)整數(shù)的補(bǔ)碼，將其對(duì)應(yīng)正數(shù)二進(jìn)制表示所有位（除符號(hào)位）取反（0變1，1變0，符號(hào)位為1不變）后加1 ^[2] 。

同一個(gè)數(shù)字在不同的補(bǔ)碼表示形式中是不同的。比如-15的補(bǔ)碼，在8位二進(jìn)制中是11110001，然而在16位二進(jìn)制補(bǔ)碼表示中，就是1111111111110001。以下都使用8位2進(jìn)制來(lái)表示。

【例2】求-5的補(bǔ)碼。

-5對(duì)應(yīng)正數(shù)5（00000101）→所有位取反（11111010）→加1(11111011)

所以-5的補(bǔ)碼是11111011。

【例3】數(shù)0的補(bǔ)碼表示是唯一的。

[+0]補(bǔ)=[+0]反=[+0]原=00000000

[ -0]補(bǔ)=11111111+1=00000000

轉(zhuǎn)化為原碼

已知一個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼，求原碼的操作其實(shí)就是對(duì)該補(bǔ)碼再求補(bǔ)碼：

⑴如果補(bǔ)碼的符號(hào)位為“0”，表示是一個(gè)正數(shù)，其原碼就是補(bǔ)碼。

⑵如果補(bǔ)碼的符號(hào)位為“1”，表示是一個(gè)負(fù)數(shù)，那么求給定的這個(gè)補(bǔ)碼的補(bǔ)碼就是要求的原碼。

【例4】已知一個(gè)補(bǔ)碼為11111001，則原碼是10000111（-7）。

因?yàn)榉?hào)位為“1”，表示是一個(gè)負(fù)數(shù)，所以該位不變，仍為“1”。

其余七位1111001取反后為0000110；

再加1，所以是10000111。

補(bǔ)碼的絕對(duì)值

【例5】-65的補(bǔ)碼是10111111

若直接將10111111轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制，發(fā)現(xiàn)結(jié)果并不是-65，而是191。

事實(shí)上，在計(jì)算機(jī)內(nèi)，如果是一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，其最左邊的位是1，則我們可以判定它為負(fù)數(shù)，并且是用補(bǔ)碼表示。

若要得到一個(gè)負(fù)二進(jìn)制補(bǔ)碼的數(shù)值，只要對(duì)補(bǔ)碼全部取反并加1，就可得到其數(shù)值。

如：二進(jìn)制值：10111111（-65的補(bǔ)碼）

各位取反：01000000

加1：01000001（+65）

小數(shù)補(bǔ)碼求法

一種簡(jiǎn)單的方式，符號(hào)位保持1不變，數(shù)值位從右邊數(shù)第一個(gè)1及其右邊的0保持不變，左邊按位取反。

代數(shù)加減運(yùn)算

補(bǔ)碼加法

[X+Y]補(bǔ) = [X]補(bǔ) + [Y]補(bǔ)

【例6】X=+0110011,Y=-0101001，求[X+Y]補(bǔ)

[X]補(bǔ)=00110011 [Y]補(bǔ)=11010111

[X+Y]補(bǔ) = [X]補(bǔ) + [Y]補(bǔ) = 00110011+11010111=00001010

注：因?yàn)橛?jì)算機(jī)中運(yùn)算器的位長(zhǎng)是固定的（定長(zhǎng)運(yùn)算），上述運(yùn)算中產(chǎn)生的最高位進(jìn)位將丟掉，所以結(jié)果不是100001010，而是00001010，。

補(bǔ)碼減法

[X-Y]補(bǔ) = [X]補(bǔ) - [Y]補(bǔ) = [X]補(bǔ) + [-Y]補(bǔ)^【1】

【例7】1-1 [十進(jìn)制]

1的原碼00000001 轉(zhuǎn)換成補(bǔ)碼：00000001

-1的原碼10000001 轉(zhuǎn)換成補(bǔ)碼：11111111

1+（-1)=0

00000001+11111111=00000000

00000000轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制為0

0=0所以運(yùn)算正確。

【例8增】-7-（-10) [十進(jìn)制]

改為加法形式：-7-（-10）=-7+（-（-10））

-7的補(bǔ)碼：11111001

-（-10）的補(bǔ)碼：-10的原碼為10001010，-（-10）的原碼為00001010，

-（-10）的補(bǔ)碼就是其原碼，為00001010

-7 - （-10)= -7 + 10 = 3

11111001+00001010 = 00000011

轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制為3

補(bǔ)碼乘法

補(bǔ)碼的乘法不具備【XY】補(bǔ)=【X】補(bǔ)×【Y】補(bǔ)的性質(zhì)。但是【XY】補(bǔ)==【X】補(bǔ)×Y,所得結(jié)果再取補(bǔ)碼，如x=101,y=011,[xy]補(bǔ)=-[(-101)011]=-[011*011]=-01001=10111

其中，若【Y】補(bǔ)=y31y30……y0，則 Y=-y312^31+y302^{30+……+y0*2}0

代數(shù)解釋

在十進(jìn)制中我們可以把n位二進(jìn)制體系中的數(shù)

a表示為：

求補(bǔ)碼，意味著求：

而根據(jù)等比數(shù)列求和公式：

則

因?yàn)檫@里k0,k1,k2,k3……不是0就是1，所以1－k0,1-k1,1-k2的運(yùn)算就是二進(jìn)制下的取反

注：n位二進(jìn)制，最高位為符號(hào)位，因此表示的數(shù)值范圍-2^(n-1) ——2^(n-1) -1，所以模為2^{n。上面提到的8位二進(jìn)制模為2}8是因?yàn)樽罡呶环欠?hào)位，表示的數(shù)值范圍為0——2^8-1。

補(bǔ)碼總結(jié)

補(bǔ)碼只是一種相對(duì)合理的編碼方案。這個(gè)方案在負(fù)數(shù)的機(jī)器表示中解決了3個(gè)問(wèn)題：

1. 數(shù)的表示

   在數(shù)的表示上通過(guò)人為的定義來(lái)消除編碼映射的不唯一性，對(duì)轉(zhuǎn)換后的10000000強(qiáng)制認(rèn)定為-128。當(dāng)然對(duì)原碼和反碼也可以做這種強(qiáng)制認(rèn)定，那為什么原碼和反碼沒(méi)有流行起來(lái)？原碼和反碼沒(méi)有流行起來(lái)，是因?yàn)樵跀?shù)的運(yùn)算上對(duì)符號(hào)位的處理無(wú)法用當(dāng)時(shí)已有的機(jī)器物理設(shè)計(jì)來(lái)實(shí)現(xiàn)。由于原碼和反碼在編碼時(shí)采用了硬性的人工設(shè)計(jì)，這種設(shè)計(jì)在數(shù)理上無(wú)法自動(dòng)的通過(guò)模來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)符號(hào)位的自動(dòng)處理，符號(hào)位必須人工處理，必須對(duì)機(jī)器加入新的物理部件來(lái)專(zhuān)門(mén)處理符號(hào)位，這加大了機(jī)器設(shè)計(jì)難度，加大的機(jī)器成本，不到萬(wàn)不得已，不走這條路。

2. 數(shù)的運(yùn)算

   設(shè)計(jì)補(bǔ)碼時(shí)，有意識(shí)的引用了模運(yùn)算在數(shù)理上對(duì)符號(hào)位的自動(dòng)處理，利用模的自動(dòng)丟棄實(shí)現(xiàn)了符號(hào)位的自然處理，僅僅通過(guò)編碼的改變就可以在不更改機(jī)器物理架構(gòu)的基礎(chǔ)上完成的預(yù)期的要求，所以補(bǔ)碼沿用至今。

3. 自身邏輯意義的完整性

   補(bǔ)碼這個(gè)編碼方案要解決的是如何在機(jī)器中表示負(fù)數(shù)，其本質(zhì)意義為用一個(gè)正數(shù)來(lái)表示這個(gè)正數(shù)對(duì)應(yīng)的負(fù)數(shù)。所謂-20的補(bǔ)碼是指：如何在機(jī)器中用補(bǔ)碼形式表示-20。具體過(guò)程是這樣的：將20的二進(jìn)制形式直接寫(xiě)出00010100，然后所有位取反變成11101011，再加1變成了11101100。最簡(jiǎn)單的補(bǔ)碼轉(zhuǎn)換方式，不必去理會(huì)轉(zhuǎn)換過(guò)程中的符號(hào)位，只關(guān)注轉(zhuǎn)換前和最終轉(zhuǎn)換后的符號(hào)位就行了。

   那么對(duì)11101100求出其補(bǔ)碼又具有什么現(xiàn)實(shí)含義呢？對(duì)一個(gè)數(shù)求補(bǔ)，邏輯過(guò)程是對(duì)這個(gè)數(shù)的所有的二進(jìn)制位按位取反再加1?，F(xiàn)實(shí)含義是求出這個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的負(fù)數(shù)形式。對(duì)11101100求補(bǔ)就是求出這個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的負(fù)數(shù)的形式，直接操作下11101100，先所有位取反00010011，再加上1就成了00010100。對(duì)11101100求出其補(bǔ)碼的含義：11101100按照現(xiàn)行補(bǔ)碼碼制表示的有符號(hào)數(shù)是-20，對(duì)于-20求補(bǔ)就是求出其對(duì)應(yīng)的負(fù)數(shù)-(-20)，現(xiàn)實(shí)中-(-20)是+20，那么求補(bǔ)運(yùn)算的結(jié)果符合現(xiàn)實(shí)情況嗎，00010100轉(zhuǎn)換成有符號(hào)數(shù)正是+20，這就說(shuō)明了補(bǔ)碼自身邏輯意義是完整的，是不會(huì)自相矛盾的。

4. 最后，補(bǔ)碼的總前提是機(jī)器數(shù)，不要忘了機(jī)器數(shù)的符號(hào)位含義，最高位為0表示正數(shù)，最高位為1表示負(fù)數(shù),而最高位是指機(jī)器字長(zhǎng)的最左邊一位。字節(jié)數(shù)100B，最高位為00000100中的最左邊的0。

【1】 在上一個(gè)版本中有如下說(shuō)明：

“其中[-Y]補(bǔ) 稱(chēng)為負(fù)補(bǔ)，求負(fù)補(bǔ)的方法是：負(fù)數(shù)的絕對(duì)值的原碼所有位按位取反；然后整個(gè)數(shù)加1。（恢復(fù)本來(lái)解釋。請(qǐng)路人真正理解并實(shí)際驗(yàn)證后再修改。以免誤導(dǎo)大眾。另外，例6不具典型性，新增例7。）”

私以為， 不必要提出負(fù)補(bǔ)的概念以使問(wèn)題復(fù)雜化，盡管該解法是正確的，但卻完全沒(méi)有必要增加新的運(yùn)算方法及運(yùn)算結(jié)構(gòu)。求[-Y]補(bǔ)，只需，先將符號(hào)位取反，求出-Y， 再求-Y的補(bǔ)碼即可。盡管這與求負(fù)補(bǔ)的方法實(shí)際上是一致的， 但是卻簡(jiǎn)化了概念，僅僅是對(duì)過(guò)去概念以及運(yùn)算結(jié)構(gòu)的復(fù)用。

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