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控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量或變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式

靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：在靜態(tài)條件下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程

動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程

建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

分析法：根據(jù)物理規(guī)律和化學(xué)規(guī)律列出方程式

實(shí)驗(yàn)法：施加信號(hào)，記錄響應(yīng)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近

時(shí)域：微分方程、差分方程和狀態(tài)方程
復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖
頻域：頻域特性

2.1 傅里葉變換與拉普拉斯變換

由于在《信號(hào)與線性系統(tǒng)分析》已對(duì)此進(jìn)行深入講解，此處不贅述。

請(qǐng)參見(jiàn)博主在《信號(hào)與線性系統(tǒng)分析》中的具體闡述。

2.2 控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

2.2.1 控制系統(tǒng)微分方程的建立

先由系統(tǒng)原理圖畫(huà)出系統(tǒng)方塊圖并分別列寫(xiě)出組成系統(tǒng)各元件的微分方程；然后消去中間變量便得到輸出量與輸入量之間關(guān)系的微分方程。

2.2.2 非線性微分方程的微分化

嚴(yán)格地說(shuō)，實(shí)際物理元件或系統(tǒng)都是非線性化的。在一定條件下，為了簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型，可以視為線性元件。除此之外，還有一種線性化方法稱為切線法或小偏差法

注：此思想在模擬電子技術(shù)基礎(chǔ)中將非線性的三極管變?yōu)榫€性的思想一致

設(shè) $y=f(x)$ ，取點(diǎn) $x_{0}$ ，則有 $y_{0}=f(x_{0})$ ，對(duì) $f(x)$ 在點(diǎn) $x_{0}$ 處進(jìn)行泰勒展開(kāi)：

$y=f(x)=f(x_{0})+(\frac{df(x)}{x})_{x_{0}}+\frac{1}{2!}(x-x_{0})+(\frac{d^2f(x)}{dx^2})_{x_{0}}(x-x_{0})^2+\cdots$

當(dāng)增量 $x-x_{0}$ 很小時(shí)，略去其高次項(xiàng)，則有

$y-y_{0}=f(x)-f(x_{0})=(\frac{df(x)}{x})_{x_{0}}$

令 $\Delta y=y-y_{0}=f(x)-f(x_{0})$ ， $\Delta x= x-x_{0}$ ， $K=({df(x)}/{x})_{x_{0}}$

略去增量符號(hào) $\Delta$ ，便得到函數(shù) $y=f(x)$ 在 $x_{0}$ 點(diǎn)附近的線性化方程

$y=Kx$

2.3 控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型

2.3.1 傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)

線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。

設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述 $n$ 階線性常微分方程描述

$a_{0}\frac{d^{n}}{dt^{n}}c(t)+a_{1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}c(t)+\cdots+a_{n-1}\fracu0z1t8os{dt}c(t)+a_{n}c(t)=\\b_{0}\frac{d^{m}}{dt^{m}}r(t)+b_{1}\frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}r(t)+\cdots+b_{m-1}\fracu0z1t8os{dt}r(t)+b_{m}r(t)$

$c(t)$ 是系統(tǒng)輸出量
$r(t)$ 是系統(tǒng)輸入量
$a_{i}(i=1,2,\cdots,n)$ 和 $b_{j}(j=1,2,\cdots,m)$ 是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)

對(duì)上式兩端同時(shí)作拉普拉斯變換：

$[a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{n-1}s+a_{n}]c(s)=[b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+b_{m-1}s+b_{m}]R(s)$

$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+b_{m-1}s+b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{n-1}s+a_{n}}$

傳遞函數(shù)的性質(zhì)

傳遞函數(shù)是復(fù)變量 $s$ 的有理真分式函數(shù)，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)； $m \leq n$ 且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)
傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)
由定義可知：傳遞函數(shù)與微分方程具有相通性
傳遞函數(shù) $G(s)$ 的拉式反變換是沖激響應(yīng) $g(t)$

2.3.2 傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)

傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式經(jīng)因式分解后可寫(xiě)為如下形式：

$G(s)=\frac{b_{0}(s-z_{1})(s-z_{2})\cdots(s-z_{m})}{a_{0}(p-z_{1})(s-p_{2})\cdots(s-p_{n})}=K^{\ast}\frac{\prod_{i=1}^{m}(s-z_{i})}{\prod_{j=1}^{n}(s-p_{j})}$

$z_{i}(i=1,2,\cdots,m)$ 是分子多項(xiàng)式的零點(diǎn)，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)

$p_{j}(j=1,2,\cdots,n)$ 是分母多項(xiàng)式的零點(diǎn)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)

系數(shù) $k^{\ast}={b_{0}}/{a_{0}}$ ，稱為傳遞系數(shù)或根軌跡增益

2.3.3 傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)輸出的影響

系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)微分方程的特征根，因此它們決定了所描述系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的形態(tài)，稱之為模態(tài)，而且在強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)中(即零初始條件響應(yīng)中)也會(huì)包含這些自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)。

設(shè)某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{6(s+3)}{(s+1)(s+2)}$

顯然，其極點(diǎn) $p_{1}=-1, p_{2}=-2$ ，零點(diǎn) $z_{1}=-3$ ，其自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)是 $e^{-t}$ 和 $e^{-2t}$ 。

取一個(gè)輸入 $r(t)=R_{1}+R_{2}e^{-5t}$ ，可求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：

$c(t)=9R_{1}-R_{2}e^{-5t}+(3R_{2}-12R_{1})e^{-t}+(3R_{1}-2R_{2})e^{-2t}$

式中，前兩項(xiàng)具有與輸入函數(shù) $r(t)$ 相同的模態(tài)，后兩項(xiàng)中包含了由極點(diǎn)-1和-2形成的自由運(yùn)動(dòng)模態(tài)，這是系統(tǒng)的固有成分，但其系數(shù)與輸入函數(shù)有關(guān)。

傳遞函數(shù)的極點(diǎn)可以受到輸入函數(shù)的激發(fā)，在輸出響應(yīng)中形成自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)

設(shè)具有相同極點(diǎn)但零點(diǎn)不同的傳遞函數(shù)分別為：

$G_{1}(s)=\frac{4s+2}{(s+1)(s+2)} \quad G_{2}(s)=\frac{1.5s+2}{(s+1)(s+2)}$

在零初始條件下，它們的單位階躍響應(yīng)分別是

$c_{1}(t)=1+2e^{-t}-3e^{-2t} \quad c_{2}(t)=1-0.5e^{-t}-0.5e^{-2t}$

傳遞函數(shù)的零點(diǎn)并不形成自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)，但它們卻影響各模態(tài)響應(yīng)中所占的比重，因而也影響響應(yīng)曲線的形狀

2.4 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖都是描述系統(tǒng)各元部件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形。但是信號(hào)流圖只適用于線性系統(tǒng)，而結(jié)構(gòu)圖也可用于非線性系統(tǒng)。

2.4.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制

信號(hào)線：信號(hào)線是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的流向，在直線旁標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。

引出點(diǎn)(或測(cè)量點(diǎn))：引出點(diǎn)表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置，從同一位置引出的信號(hào)在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同。

比較點(diǎn)(或綜合點(diǎn))：比較點(diǎn)表示對(duì)兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算，"+"表示相加，"-"表示相減，"+"號(hào)可省略不寫(xiě)。

方框(或環(huán)節(jié))：方框表示對(duì)信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換，方框中寫(xiě)入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖時(shí)，首先考慮負(fù)載效應(yīng)分別列寫(xiě)系統(tǒng)各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)并把它們用方框表示，根據(jù)各元部件的信號(hào)流向，用信號(hào)線依次將各方框連接。

2.4.2 結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡(jiǎn)化

結(jié)構(gòu)圖中方框間的基本連接只有串聯(lián)、并聯(lián)、和反饋連接。簡(jiǎn)化的一般方法是移動(dòng)引出點(diǎn)或比較點(diǎn)，交換比較點(diǎn)進(jìn)行方框運(yùn)算。在簡(jiǎn)化過(guò)程總應(yīng)遵循變換前后變量關(guān)系保持等效的原則——前向通路中傳遞函數(shù)的成績(jī)，回路中傳遞函數(shù)的乘積保持不變。

串聯(lián)

由圖可知：

$U(s)=G_{1}(s)R(s) \quad C(s)=G_{2}(s)U(s)$

由上式消去中間變量 $U(s)$ 得

$C(s)=G_{1}(s)G_{2}(s)R(s)= G(s)R(s)$

由此可知，兩個(gè)方框串聯(lián)連接的等效方框，等于各個(gè)方框傳遞函數(shù)之乘積啊是大。這個(gè)結(jié)論可推廣到 $n$ 個(gè)串聯(lián)方框情況。

并聯(lián)

由圖可知：

$C_{1}(s)=G_{1}(s)R(s) \quad C_{2}(s)=G_{2}(s)R(s) \quad C(s)=C_{1}(s)+ C_{2}(s)$

由上式消去 $C_{1}(s)$ 和 $C_{2}(s)$ 得

$C(s)=[G_{1}(s)\pm G_{2}(s)]R(s)=G(s)R(s)$

由此可知，兩個(gè)方框并聯(lián)連接的等效方框，等于各個(gè)方框傳遞函數(shù)的代數(shù)和。這個(gè)結(jié)論可推廣到 $n$ 個(gè)并聯(lián)方框情況。

反饋

"+"號(hào)為正反饋，"-"號(hào)為負(fù)反饋

由圖可知：

$c(s)=G(S)E(S) \quad B(s)=H(s)C(s) \quad E(s)=R(s) \pm B(s)$

消去中間變量 $E(s)$ 和 $R(s)$ 得

$C(s)\frac{G(s)}{1 \mp G(s)H(s)}R(s)=\Phi(s)R(s)$

其中 $\Phi(s)$ 稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)、 $G(s)$ 稱為前向通路傳遞函數(shù)、 $G(s)H(s)$ 稱為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。

比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動(dòng)

"-"號(hào)可以在信號(hào)線上越過(guò)方框移動(dòng)，但不能超過(guò)比較點(diǎn)和引出點(diǎn)。

比較點(diǎn)前移

由圖可知

$C(s)=R(s)G(s) \pm Q(s)=[R(s) \pm \frac{Q(s)}{G(s)}]G(s)$

比較點(diǎn)后移

由圖可知

$C(s)=[R(s) \pm Q(s)]G(s)=R(s)G(s) \pm Q(s)G(s)$

引出點(diǎn)前移

由圖可知

$G(s)R(s)=C(s)$

引出點(diǎn)后移

由圖可知

$R(s)=R(s)G(s)\frac{1}{G(s)}$

2.4.3 信號(hào)流圖的組成及性質(zhì)

《信號(hào)與線性系統(tǒng)分析》已具體講述，此處不贅述

請(qǐng)參見(jiàn)博主在《信號(hào)與線性系統(tǒng)分析》中的具體闡述。

2.4.4 信號(hào)流圖的繪制

由系統(tǒng)微分方程繪制：進(jìn)行拉普拉斯變換。

由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制：只需在結(jié)構(gòu)圖的信號(hào)線上用小圓圈標(biāo)志出傳遞的信號(hào)便得到結(jié)點(diǎn)。用標(biāo)有傳遞函數(shù)的線段代替結(jié)構(gòu)圖中的方框便得到支路。

2.4.5 梅森公式

《信號(hào)與線性系統(tǒng)分析》已具體講述，此處不贅述

請(qǐng)參見(jiàn)博主在《信號(hào)與線性系統(tǒng)分析》中的具體闡述。

2.4.6 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

一個(gè)典型的反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖如下圖所示，其中 $R(s)$ 和 $N(s)$ 都是施加于系統(tǒng)的外作用， $R(s)$ 是有用輸入作用，簡(jiǎn)稱輸入信號(hào)； $N(s)$ 是擾動(dòng)作用； $C(s)$ 是系統(tǒng)的輸出信號(hào)。

輸入信號(hào)下的閉環(huán)傳遞函數(shù)

應(yīng)用疊加原理，令 $N(s)=0$ ，由基本反饋可知：

$\Phi(s)=\frac{G_{1}(s)G_{2}(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}$

擾動(dòng)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)

應(yīng)用疊加原理，令 $R(s)=0$ ，簡(jiǎn)單變換結(jié)構(gòu)圖可得：

$\Phi_{n}(s)=\frac{G_{2}(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}$

顯然，當(dāng)輸入信號(hào) $R(s)$ 和擾動(dòng)作用 $N(s)$ 同時(shí)作用時(shí)系統(tǒng)的輸出為

$\sum C(s)=\frac{1}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}[G_{1}(s)G_{2}(s)R(s)+G_{2}(s)N(s)]$

當(dāng) $|G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)| \gg1$ 時(shí)，

$\sum C(s)=\frac{1}{G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}[G_{1}(s)G_{2}(s)R(s)+G_{2}(s)N(s)]=\frac{R(s)}{H(s)}+\frac{N(s)}{G_{1}(s)H(s)}$

由于 $N(s)$ 較小，當(dāng) $|G_{1}(s)H(s)| \gg1$ 時(shí)

$\sum C(s)=\frac{1}{H(s)}R(s)$

表明在一定條件下，系統(tǒng)的輸出只取決于反饋通路 $H(s)$ 及輸入信號(hào) $R(s)$

在模擬電子技術(shù)基礎(chǔ)中，稱之為深度負(fù)反饋。

閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)

閉環(huán)系統(tǒng)在輸入信號(hào)和擾動(dòng)作用時(shí)，以誤差信號(hào) $E(s)$ 作為輸出量時(shí)的傳遞函數(shù)稱為誤差傳遞函數(shù)。由簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)圖變換可得：

$\Phi_{e}(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}$

$\Phi_{en}(s)=\frac{E(s)}{N(s)}=\frac{-G_{2}(s)H(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}$

開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

由上述分析可知，其各種閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)分母均相同，其中 $G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)$ 是回路增益，并成為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)等效為主反饋斷開(kāi)，從輸入信號(hào) $R(s)$ 到反饋信號(hào) $B(s)$ 之間的傳遞函數(shù)。

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第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2.1 傅里葉變換與拉普拉斯變換

2.2 控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

2.2.1 控制系統(tǒng)微分方程的建立

2.2.2 非線性微分方程的微分化

2.3 控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型

2.3.1 傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)

2.3.2 傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)

2.3.3 傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)輸出的影響

2.4 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖

2.4.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制

2.4.2 結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡(jiǎn)化

2.4.3 信號(hào)流圖的組成及性質(zhì)

2.4.4 信號(hào)流圖的繪制

2.4.5 梅森公式

2.4.6 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

2.4.6 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

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第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2.1 傅里葉變換與拉普拉斯變換

2.2 控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

2.2.1 控制系統(tǒng)微分方程的建立

2.2.2 非線性微分方程的微分化

2.3 控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型

2.3.1 傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)

2.3.2 傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)

2.3.3 傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)輸出的影響

2.4 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖

2.4.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制

2.4.2 結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡(jiǎn)化

2.4.3 信號(hào)流圖的組成及性質(zhì)

2.4.4 信號(hào)流圖的繪制

2.4.5 梅森公式

2.4.6 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

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第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型