高等數(shù)學(xué)系列：參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)，參數(shù)方程，導(dǎo)數(shù)

參數(shù)方程和參數(shù)方程的求導(dǎo)方法

參數(shù)方程，是通過引入一個或多個中間變量（稱為參數(shù)）來表示曲線上點的坐標之間關(guān)系的方程，比如
\begin{cases} x = 1 + t \\ y = \dfrac{t^2}{2} \end{cases}

有些參數(shù)方程可以通過以t作為中間橋梁帶入，轉(zhuǎn)化為y和x的直接表達式，而有的參數(shù)方程比較復(fù)雜難以直接求的y和x的表達式，比如

\begin{cases} x = \ln(1 + t^2) + t \\ y = t - \arctan t \end{cases}

不管能否將中間變量直接帶入，參數(shù)方程的求導(dǎo)方法為
一階導(dǎo)數(shù)：
\frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}

二階導(dǎo)數(shù)：
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\dfracu0z1t8os{dt}\left( \dfrac{dy}{dx} \right)}{\dfrac{dx}{dt}}
三階、四階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式以此類推。

[例題1]

求曲線 x = 1 + t^2, y = t^3 在點 (5, 8) 處的切線方程。
解:
對參數(shù)方程求導(dǎo)
\frac{dy}{dx} = \frac{(t^3)'}{(1 + t^2)'} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}

當 x = 5，y = 8 時，解得 t = 2，則：
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3

切線方程為 y = 3x + b，將點 (5, 8) 代入：
8 = 3 \cdot 5 + b \Rightarrow b = 8 - 15 = -7

因此，切線方程為：
y = 3x - 7

[例題2]

設(shè) x = \sin t, y = t \sin t + \cos t，求 \left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{t=\pi/4} 和 \left.\dfrac{d^2y}{dx^2}\right|_{t=\pi/4}。

解:
\frac{dy}{dx} = \frac{(t \sin t + \cos t)'}{(\sin t)'} = \frac{\sin t + t \cos t - \sin t}{\cos t} = \frac{t \cos t}{\cos t} = t

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\left( \dfrac{dy}{dx} \right)'_t}{(\sin t)'} = \frac{(t)'}{\cos t} = \frac{1}{\cos t}

因此：

\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=\pi/4} = \frac{\pi}{4}

\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{t=\pi/4} = \frac{1}{\cos(\pi/4)} = \frac{1}{\sqrt{2}/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}

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