㈢矩陣合同性質(zhì)的應(yīng)用
2. 正慣性指數(shù)p的求解（負(fù)慣指q同理）
? ? ①(根源方法)特征值: 直接判斷 λ? 的“正負(fù)零”
? ? ②(正定方法)：若正定，p=n
? ? ③矩陣方法
? ? (理解: 通過(guò)矩陣判斷 λ? 的“正負(fù)零”)
? ? ? ? ?合同變換法（首選, 快速準(zhǔn)確?）
? ? ? ? ?正交變換法（建議別用, 太慢??）
? ? ? ? ?配方法（轉(zhuǎn)化成表達(dá)式方法）
? ? ? ? ? ? i. 通過(guò)矩陣寫二次表達(dá)式
? ? ? ? ? ? ii. 再配方
? ? ? ? ? iii. 判標(biāo)準(zhǔn)型系數(shù)
? ? ④表達(dá)式方法
? （理解: 通過(guò)對(duì)表達(dá)式配方, 判斷λ?“正負(fù)零”）
? ? ? ? ?多項(xiàng)式
? ? ? ? ? ? i. 改寫矩陣，合同變換（首選）
? ? ? ? ? ? ii. 直接配方法
? ? ? ? ?完全平方式
? ? ? ? ? ? i. 先判正定性（正定p=n）
? ? ? ? ? ? ii. 如果非正定，
? ? ? ? ? ? ? ? 則展開成多項(xiàng)式，按“?”處理
3. 二次型“正定性”的判定
①(根源方法)正慣性指數(shù)p=n
②特征值方法: λ?＞0，則p=n
③通過(guò)矩陣判正定性
? ? ?一般二次型矩陣
? 正定
? ? ? ? i. 充要條件:
? ? ? ? ? λi＞0, p=n, A=D?ED=D?D
? ? ? ? ii. 必要條件: 滿秩矩陣一切性質(zhì)
? ? ? iii. 順序主子式全為正, a??＞0
? 負(fù)定
? ? ? ? i. 充要條件
? ? ? ? ? ? λi＜0, q=n, A=D?(-E)D=-D?D
? ? ? ? ii. 必要條件: 滿秩矩陣一切性質(zhì)
? ? ? iii. 奇數(shù)階主子式為負(fù), 偶數(shù)階主子式為正
? ? ?分塊二次型矩陣
? ? ? ? i. 若A, B都正定，
? ? ? ? ? 對(duì)角元素A, B的對(duì)角分塊陣正定
? ? ? ii. 當(dāng)A, B均對(duì)稱, 且如圖所示對(duì)角陣正定時(shí)
? ? ? ? ? ? A, B, (B-C?A?1C)均正定
? ? ?用矩陣多項(xiàng)式
? ? ? 矩陣多項(xiàng)式→特征值多項(xiàng)式→解出可能的λ?
④通過(guò)二次型表達(dá)式判正定性
? ? ?多項(xiàng)式：改寫二次型矩陣, 矩陣方法
? ? ?完全平方多項(xiàng)式
原理: 二次型的內(nèi)積屬性
? ? ? ? 完全平方的括號(hào)內(nèi); ?x≠0, 括號(hào)內(nèi)Σk?x?≠0
? ? ? ? ? →僅當(dāng)x=0時(shí)，完全平方項(xiàng)為零
? ? ? ? ? →Y=CX，C列滿秩?Cx=0僅有零解
三種情況：
? 設(shè)f = x?Ax = x?(C?ΛC)x = y?Λy，Y=CX
? ? ? i. 三個(gè)自變量, 完全平方個(gè)數(shù)≥3
? ? ? ? 則: f正定?C列滿秩?Cx=0僅零解
? ? ii. 三個(gè)自變量, 完全平方個(gè)數(shù)=3
? ? ? ? 則: f正定?C列滿秩?|C|≠0
? ? iii. 三個(gè)自變量, 完全平方個(gè)數(shù)＜3
? ? ? ? 則: f非正定
⑤抽象矩陣判斷正定性
?兩個(gè)正定矩陣之和仍正定
?若A的特征值λ?＞a，則(A-aE)正定
4.矩陣合同的判定
①(根源方法)正負(fù)慣性指數(shù)相等: p?=p?, q?=q?
②合同變換法, 判斷p, q個(gè)數(shù)（首選?）
③配方法, 判斷p, q個(gè)數(shù)
④正交變換（非必要不用它，繁）
⑤否定條件：
? ? ?如果不等價(jià)，不可能合同
? ? ? （列，逆，解，秩，關(guān)）
? ? ?如果不滿足A??B?，A??B?，不可能合同
5. 正交矩陣在二次型中的應(yīng)用
原理: 幾何應(yīng)用正是利用了正交變換的保形性。
①已知標(biāo)準(zhǔn)型反推二次型
正交變換下, 標(biāo)準(zhǔn)型與二次型矩陣合同且相似
②二次型的幾何應(yīng)用
? 正交變化下，x?x = y?Q?Qy = y?y
? ?二次型f=x?Ax的最值
? ? ? i. 合理選取y向量的坐標(biāo)
? ? ? ii. 使f=y?Λy取最大、小值
? ? ? iii. 最值點(diǎn)x=Qy
? ?f=0的根
? ? ? i. 合理選取y向量的坐標(biāo)
? ? ? ii. 使f=y?Λy=0
? ? ? iii. f的零點(diǎn)x=Qy
? ?f(X)/(x?x)分式的最值
? ? ? i. x?x = y?y
? ? ii. f(X)/(x?x) = (y?Λy)/(y?y)
? ? iii. 分離常數(shù)，求最值
? ?橢圓面積、橢球體積表面積等
? ? i. 特征值即為各半軸長(zhǎng)度
