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$SO(3)$

Special Orthogonal Group ,即特殊正交群，當(dāng)我們研究的問(wèn)題是三維空間，則認(rèn)為是 $SO(3)$ ，而正交群對(duì)向量的作用一般都指代的是旋轉(zhuǎn)，所以這樣的群也叫旋轉(zhuǎn)群
$SO(3)=\{R\in \mathbb{R}^{n\times n} | R\times R^T=I|det(R)=I\}$ （注： $R$ 表示旋轉(zhuǎn)矩陣， $\mathbb{R}$ 表示實(shí)數(shù)域）

$SE(3)$

Special Euclidean Group,即特殊歐式群,這里變換矩陣T除了包含旋轉(zhuǎn)R，還多了一個(gè)位移t，當(dāng)研究的問(wèn)題是三維空間問(wèn)題，則認(rèn)為是 $SE(3)$ ,如下表示
$SE(3)=\{T=\begin{bmatrix}R&t\\0^T&1\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{4\times 4}|R\in SO(3),t\in \mathbb{R}^3\}$

啥是群
中學(xué)的時(shí)候肯定都接觸過(guò)集合這個(gè)概念，比如所有實(shí)數(shù)的集合 $\mathbb{R}$ ,或者我們可以自己定義一個(gè)集合，比如所有正方型的集合，不太嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f(shuō)，其實(shí)就規(guī)定一些條件，所有滿足這些條件的“東西”，就組成了一個(gè)集合。

，或者我們可以自己定義一個(gè)集合，比如所有正方型的集合，不太嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f(shuō)，其實(shí)就規(guī)定一些條件，所有滿足這些條件的“東西”，就組成了一個(gè)集合。

而群（Group），則是一種集合，加上一種運(yùn)算組成的結(jié)構(gòu)。假如我們把集合記作G，運(yùn)算記作·，它要求集合和運(yùn)算滿足下面幾個(gè)條件：

封閉性：對(duì)于所有 $G$ 中 $a, b$ ，運(yùn)算 $a·b$ 的結(jié)果也在 $G$ 中
結(jié)合律：對(duì)于所有 $G$ 中的 $a, b$ 和 $c$ ，等式 $(a·b)·c = a· (b·c)$ 成立
幺元：存在 $G$ 中的一個(gè)元素 $e$ ，使得對(duì)于所有 $G$ 中的元素 $a$ ，總有等式 $e·a = a·e = a$ 成立
逆元：對(duì)于每個(gè) $G$ 中的 $a$ ，存在 $G$ 中的一個(gè)元素 $b$ 使得總有 $a·b = b·a = e$ ，此處 $e$ 為單位元

看起來(lái)挺復(fù)雜，舉個(gè)例子就很容易整明白了，整數(shù)（集合）和加法（運(yùn)算），就可以構(gòu)成一個(gè)群。

封閉性：對(duì)于任何兩個(gè)整數(shù) $a$ 和 $b$ ，它們的和 $a + b$ 也是整數(shù)
結(jié)合律：對(duì)于任何整數(shù) $a, b$ 和 $c，(a + b) + c = a +（b + c）$
幺元：如果a是任何整數(shù)，那么 $0 + a = a + 0 = a$
逆元：對(duì)于任何整數(shù)a，存在另一個(gè)整數(shù)b使得 $a + b = b + a = 0$ ，整數(shù) $b$ 叫做整數(shù) $a$ 的逆元，記為 $-a$

啥是李群
簡(jiǎn)單的說(shuō)，李群就是連續(xù)的群。上面的特殊正交群，特殊歐式群，都是對(duì)時(shí)間連續(xù)的群，都是李群的一種

啥是李代數(shù)
李代數(shù)是基于李群為基礎(chǔ)的一種非結(jié)合代數(shù)

李代數(shù)的引出

我們知道對(duì)于李群中的任意一個(gè) $R$ ( $R$ 是關(guān)于時(shí)間 $t$ 的矩陣 $R(t)$ ，這里簡(jiǎn)寫(xiě)為 $R$ )
有 $RR^T=I$
兩邊對(duì) $t$ 求導(dǎo)
有 $R'R^T+R(R^T)'=0$
$R'R^T=-R(R^T)'$
$R'R^T=-(R^{'}R^T)^T$
所以 $R'R^T$ 是一個(gè)反對(duì)稱矩陣
又我們知道反對(duì)稱矩陣都可以由一個(gè)向量表達(dá)
具體原因如下
$a=\begin{bmatrix}a1&a2&a3\end{bmatrix}^T$
定義 $a^{\wedge} =\begin{bmatrix}0&-a3&a2\\a3&0&-a1\\-a2&a1&0\end{bmatrix}$

假設(shè) $\varPhi(t)$ 為關(guān)于 $t$ 的三維向量，
$\varPhi(t)=\begin{bmatrix}\varPhi_1&\varPhi_2&\varPhi_3\end{bmatrix}^T$

于是可以用 $\varPhi(t)^{\wedge}$ 來(lái)表達(dá) $R'R^T$
$\varPhi(t)^{\wedge}=\begin{bmatrix}0&-\phi_3&\phi_2\\\phi_3&0&-\phi_1\\-\phi_2&\phi_1&0\end{bmatrix} =R'R^T$

即 $\varPhi(t)^{\wedge}=R(t)'R(t)^T$
于是 $R(t)'=\varPhi(t)^{\wedge}R(t)$ ，這表明如果要對(duì) $R(t)$ 求導(dǎo)，只需要在 $R(t)$ 前面乘以一個(gè) $\varPhi(t)^{\wedge}$ 即可
可見(jiàn) $\varPhi$ 反應(yīng)了 $R$ 的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)
簡(jiǎn)單的說(shuō)
比如 $t_a$ 時(shí)刻
$R(t_a)'=\varPhi(t_a)^{\wedge}R(t_a)$
$t_b$ 時(shí)刻
$R(t_b)'=\varPhi(t_b)^{\wedge}R(t_b)$

李代數(shù)的定義

李代數(shù)是由一個(gè)集合 $V$ ,一個(gè)數(shù)域 $\mathbb{F}$ $($ $\mathbb{F}$ 可以是 $\mathbb{R}$ 實(shí)數(shù)域或者 $\mathbb{C}$ 復(fù)數(shù)域 $)$ 和一個(gè)二元運(yùn)算 $[,]$ 組成，如果滿足以下性質(zhì)，則稱 $g$ 是域 $\mathbb{F}$ 上的李代數(shù) , $g = (V,\mathbb{F},[,])$

封閉性
$\forall X,Y \in \mathbb{V} 有[X,Y] \in \mathbb{V}$
雙線性
$\forall X,Y,Z\in \mathbb{V},a,b\in \mathbb{F},$
有 $[aX+bY,Z]=a[X,Z]+b[Y,Z]$
$[Z,aX+bY]=a[Z,X]+b[Z,Y]$
自反性
$\forall X\in\mathbb{V},[X,X]=0$
雅可比等價(jià)
$\forall X,Y,Z\in\mathbb{V},有[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0$

李代數(shù) $so(3)$

由前面關(guān)于李代數(shù)的引出部分可知,

$so(3)$ 的元素是3維向量或者3維反對(duì)稱矩陣，
$so(3)=\{\phi \in\mathbb{R^3},\varPhi=\phi^{\wedge}=\begin{bmatrix}0&-\phi_{13}&\phi_{12}\\\phi_{13}&0&-\phi_{11}\\-\phi_{12}&\phi_{11}&0\end{bmatrix} =R(t)'R(t)^T$

李括號(hào)
$[\phi_1,\phi_2]=(\varPhi_1\varPhi_2-\varPhi_2\varPhi_1)^{\vee}$ 這里的 $\vee$ 表示把反對(duì)稱矩陣寫(xiě)成向量形式
這里要稍微解釋一下上面的等式
其中
$\phi_1=\begin{bmatrix}\phi_{11}&\phi_{12}&\phi_{13}\end{bmatrix}$
$\phi_2=\begin{bmatrix}\phi_{21}&\phi_{22}&\phi_{23}\end{bmatrix}$
于是 $[\phi_1,\phi_2]=\phi_1\times \phi_2 =\begin{bmatrix} \phi_{12}\phi_{23}-\phi_{13}\phi_{22}\\ \phi_{13}\phi_{21}-\phi_{11}\phi_{23}\\ \phi_{11}\phi_{22}-\phi_{12}\phi_{21}\\ \end{bmatrix}$

其中
$\varPhi_1=\begin{bmatrix}0&-\phi_{13}&\phi_{12}\\\phi_{13}&0&-\phi_{11}\\-\phi_{12}&\phi_{11}&0\end{bmatrix}$

$\varPhi_2=\begin{bmatrix}0&-\phi_{23}&\phi_{22}\\\phi_{23}&0&-\phi_{21}\\-\phi_{22}&\phi_{21}&0\end{bmatrix}$

于是
$[\varPhi_1\varPhi_2-\varPhi_2\varPhi_1]^{V}$

$= \begin{bmatrix}0&-\phi_{13}&\phi_{12}\\\phi_{13}&0&-\phi_{11}\\-\phi_{12}&\phi_{11}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-\phi_{23}&\phi_{22}\\\phi_{23}&0&-\phi_{21}\\-\phi_{22}&\phi_{21}&0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0&-\phi_{23}&\phi_{22}\\\phi_{23}&0&-\phi_{21}\\-\phi_{22}&\phi_{21}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-\phi_{13}&\phi_{12}\\\phi_{13}&0&-\phi_{11}\\-\phi_{12}&\phi_{11}&0\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} -\phi_{13}\phi_{23}-\phi_{12}\phi_{22}&\phi_{12}\phi_{21}&\phi_{13}\phi_{21}\\ \phi_{11}\phi_{22}&-\phi_{13}\phi_{23}-\phi_{11}\phi_{21}&\phi_{13}\phi_{22}\\ \phi_{11}\phi_{23}&\phi_{12}\phi_{23}&-\phi_{12}\phi_{22}-\phi_{11}\phi_{21} \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} -\phi_{13}\phi_{23}-\phi_{12}\phi_{22}&\phi_{11}\phi_{22}&\phi_{11}\phi_{23}\\ \phi_{12}\phi_{21}&-\phi_{13}\phi_{23}-\phi_{11}\phi_{21}&\phi_{12}\phi_{23}\\ \phi_{13}\phi_{21}&\phi_{13}\phi_{22}&-\phi_{12}\phi_{22}-\phi_{11}\phi_{21} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 0&\phi_{12}\phi_{21}-\phi_{11}\phi_{22}&\phi_{13}\phi_{21}-\phi_{11}\phi_{23}\\ \phi_{11}\phi_{22}-\phi_{12}\phi_{21}&0&\phi_{13}\phi_{22}-\phi_{12}\phi_{23}\\ \phi_{11}\phi_{23}-\phi_{13}\phi_{21}&\phi_{12}\phi_{23}-\phi_{13}\phi_{22}&0 \end{bmatrix}^V$

$=\begin{bmatrix} \phi_{12}\phi_{23}-\phi_{13}\phi_{22}\\ \phi_{13}\phi_{21}-\phi_{11}\phi_{23}\\ \phi_{11}\phi_{22}-\phi_{12}\phi_{21} \end{bmatrix}$

驗(yàn)證李代數(shù)so(3)是否滿足上述條件

封閉性證明
$\phi$ 是一個(gè)基本向量， $\phi^{\wedge}$ 是反對(duì)稱矩陣， $\varPhi_1\varPhi_2-\varPhi_2\varPhi_1$ 的結(jié)果仍為反對(duì)稱矩陣，也就是依然是屬于集合 $V$ 中的元素
雙線性證明
$[a\phi_1+b\phi_2,\phi_3]$
$=[(a\varPhi_1+b\varPhi_2)\varPhi_3-\varPhi_3(a\varPhi_1+b\varPhi_2)]^{V}$
$=[a\varPhi_1\varPhi_3+b\varPhi_2\varPhi_3-a\varPhi_3\varPhi_1+b\varPhi_3\varPhi_2]^{V}$
$=[a(\varPhi_1\varPhi_3-\varPhi_3\varPhi_1)+b(\varPhi_2\varPhi_3-\varPhi_3\varPhi_2)]^{V}$
$=a[(\varPhi_1\varPhi_3-\varPhi_3\varPhi_1)]^{V}+b[(\varPhi_2\varPhi_3-\varPhi_3\varPhi_2)]^{V}$
$=a[\phi_1,\phi_3]+b[\phi_2,\phi_3]$
同理可證
$[\phi_3,a\phi_1+b\phi_2]=a[\phi_3,\phi_1]+b[\phi_3,\phi_2]$
自反性證明
$[\phi_1,\phi_1]=[\varPhi_1\varPhi_1-\varPhi_1\varPhi_1]^{V}=\vec{0}$
雅可比等價(jià)證明
$\forall X,Y,Z\in\mathbb{V},有[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0$
令 $X=\phi_1,Y=\phi_2,Z=\phi_3$

$[\phi_1,[\phi_2,\phi_3]]+[\phi_3,[\phi_1,\phi_2]]+[\phi_2,[\phi_3,\phi_1]]$

$=[\phi_1,[\varPhi_2\varPhi_3-\varPhi_3\varPhi_2]^{V}]+[\phi_3,[\varPhi_1\varPhi_2-\varPhi_2\varPhi_1]^{V}]+[\phi_2,[\varPhi_3\varPhi_1-\varPhi_1\varPhi_3]^{V}]$

$=[\varPhi_1(\varPhi_2\varPhi_3-\varPhi_3\varPhi_2)-(\varPhi_2\varPhi_3-\varPhi_3\varPhi_2)\varPhi_1]^{V}$
$+[\varPhi_3(\varPhi_1\varPhi_2-\varPhi_2\varPhi_1)-(\varPhi_1\varPhi_2-\varPhi_2\varPhi_1)\varPhi_3]^{V}$
$+[\varPhi_2(\varPhi_3\varPhi_1-\varPhi_1\varPhi_3)-(\varPhi_3\varPhi_1-\varPhi_1\varPhi_3)\varPhi_2]^{V}$

$=[\varPhi_1\varPhi_2\varPhi_3-\varPhi_1\varPhi_3\varPhi_2-\varPhi_2\varPhi_3\varPhi_1+\varPhi_3\varPhi_2\varPhi_1$
$+\varPhi_3\varPhi_1\varPhi_2-\varPhi_3\varPhi_2\varPhi_1-\varPhi_1\varPhi_2\varPhi_3+\varPhi_2\varPhi_1\varPhi_3$
$+\varPhi_2\varPhi_3\varPhi_1-\varPhi_2\varPhi_1\varPhi_3-\varPhi_3\varPhi_1\varPhi_2+\varPhi_1\varPhi_3\varPhi_2]^{V}$

$=\vec{0}$

李代數(shù) $se(3)$

$se(3)$ 位于 $\mathbb{R}^6$ 空間中，前三維為平移，記作 $\rho$ ,后三維為旋轉(zhuǎn)，記作 $\phi$
于是 $se(3)=\{\xi =\begin{bmatrix}\rho\\\phi\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^6 ,\rho\in\mathbb{R}^3 ,\xi^{\wedge}=\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{4\times 4}\}$ 注意這里的 $\xi^{\wedge}$ 不在表示反對(duì)稱矩陣，這里只是擴(kuò)展了 $\wedge$ 符號(hào)的定義，用來(lái)將一個(gè) $6$ 維 $\xi$ 轉(zhuǎn)換成 $4\times 4$ 矩陣的一種形式
李括號(hào)
$[\xi_1,\xi_2]=(\xi_1^{\wedge}\xi_2^{\wedge}-\xi_2^{\wedge}\xi_1^{\wedge})^{\vee}$

同樣這里對(duì)李代數(shù) $se(3)$ 做一下證明

封閉性證明
$[\xi_1,\xi_2]=(\xi_1^{\wedge}\xi_2^{\wedge}-\xi_2^{\wedge}\xi_1^{\wedge})^{\vee}$
$=\Big(\begin{bmatrix}\phi_1^{\wedge}&\rho_1\\0^T&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\phi_2^{\wedge}&\rho_2\\0^T&0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\phi_2^{\wedge}&\rho_2\\0^T&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\phi_1^{\wedge}&\rho_1\\0^T&0\end{bmatrix}\Big)^{\vee}$
$=\Big(\begin{bmatrix}\phi_1^{\wedge}\phi_2^{\wedge}&\phi_1^{\wedge}\rho_2\\0^T&0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\phi_2^{\wedge}\phi_1^{\wedge}&\phi_2^{\wedge}\rho_1\\0^T&0\end{bmatrix}\Big)^{\vee}$
$=\Big(\begin{bmatrix}\phi_1^{\wedge}\phi_2^{\wedge}-\phi_2^{\wedge}\phi_1^{\wedge}&\phi_1^{\wedge}\rho_2-\phi_2^{\wedge}\rho_1\\0^T&0\end{bmatrix}\Big)^{\vee}$
可見(jiàn)得到的結(jié)果的四個(gè)元素，左上角依然是反對(duì)稱矩陣，右上角是仍然是一個(gè)平移向量，因此封閉性成立
雙線性證明
$[a\xi_1+b\xi_2,\xi_3]$
$=\Big((a\xi_1+b\xi_2)^{\wedge}\xi_3^{\wedge}-\xi_3^{\wedge}(a\xi_1+b\xi_2)^{\wedge}\Big)^{\vee}$
$=\Big((a\xi_1^{\wedge}+b\xi_2^{\wedge})\xi_3^{\wedge}-\xi_3^{\wedge}(a\xi_1^{\wedge}+b\xi_2^{\wedge})\Big)^{\vee}$
$=\Big((a\xi_1^{\wedge}\xi_3^{\wedge}+b\xi_2^{\wedge}\xi_3^{\wedge})-(a\xi_3^{\wedge}\xi_1^{\wedge}+b\xi_3^{\wedge}\xi_2^{\wedge})\Big)^{\vee}$
$=\Big(a(\xi_1^{\wedge}\xi_3^{\wedge}-\xi_3^{\wedge}\xi_1^{\wedge})+b(\xi_2^{\wedge}\xi_3^{\wedge}-\xi_3^{\wedge}\xi_2^{\wedge})\Big)^{\vee}$
$=a[\xi_1,\xi_3]+b[\xi_2,\xi_3]$
同理會(huì)有
$[\xi_3,a\xi_1+b\xi_2]=a[\xi_3,\xi_1]+b[\xi_3,\xi_2]$
自反性證明
$[\xi_1,\xi_1]=(\xi_1^{\wedge}\xi_1^{\wedge} -\xi_1^{\wedge}\xi_1^{\wedge})^\vee=0^\vee$
雅各比等價(jià)證明
同上面的 $so(3)$ 雅各比等價(jià)證明符號(hào)換一下即可

so(3)映射到SO(3)
首先我們知道對(duì)于初等函數(shù)
$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(x)^n$

推廣到矩陣上就是
$e^{A}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(A)^n$
而對(duì)于反對(duì)稱矩陣 $\phi^{\wedge}$
$e^{\phi^{\wedge}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(\phi^{\wedge})^n$
我們知道對(duì)于矩陣的無(wú)窮次冪一般沒(méi)法計(jì)算。但對(duì)于這個(gè)特殊的反對(duì)稱矩陣，我們可以進(jìn)行一些推導(dǎo)，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cphi" alt="\phi" mathimg="1">是一個(gè)三維向量，于是我們可以定義他的模長(zhǎng)和方向，分別記為 $\theta$ 和 $a$ ,其中 $||a||=1$ 是,于是我們有 $\phi=\theta a$
由于 $a^{\wedge}$ 是反對(duì)稱矩陣
反對(duì)稱矩陣的介紹可以點(diǎn)擊這里
即反對(duì)稱矩陣具有如下性質(zhì)
$a^{\wedge}a^{\wedge}=aa^T-I$ 其中 $a$ 為單位向量
$a^{\wedge}a^{\wedge}a^{\wedge}=-a^{\wedge}$ 其中 $a$ 為單位向量
于是有
$e^{\phi^{\wedge}}=e^{\theta a^{\wedge}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(\theta a^{\wedge})^n$
$=I+\theta a^{\wedge}+\frac{1}{2!}\theta^2a^{\wedge}a^{\wedge}+\frac{1}{3!}\theta^3(a^{\wedge})^3+\frac{1}{4!}\theta^4(a^{\wedge})^4+...$
$=aa^T-a^{\wedge}a^{\wedge}+\theta a^{\wedge}+\frac{1}{2!}\theta^2a^{\wedge}a^{\wedge}+\frac{1}{3!}\theta^3(a^{\wedge})^3+\frac{1}{4!}\theta^4(a^{\wedge})^4+\frac{1}{5!}\theta^5(a^{\wedge})^5+...$
$=aa^T-(a^{\wedge})^2+\theta a^{\wedge}+\frac{1}{2!}\theta^2(a^{\wedge})^2-\frac{1}{3!}\theta^3a^{\wedge}-\frac{1}{4!}\theta^4(a^{\wedge})^2+\frac{1}{5!}\theta^5a^{\wedge}+...$
$=aa^T+(\theta-\frac{1}{3!}\theta^3+\frac{1}{5!}\theta^5-\frac{1}{7!}\theta^7+...) a^{\wedge}-(1-\frac{1}{2!}\theta^2+\frac{1}{4!}\theta^4-\frac{1}{6!}\theta^6+...)(a^{\wedge})^2$
$=a^{\wedge}a^{\wedge}+I+sin\theta a^{\wedge}-cos\theta(a^{\wedge})^2$
$=(1-cos\theta )a^{\wedge}a^{\wedge}+I+sin\theta a^{\wedge}$
$=(1-cos\theta )(aa^T-I)+I+sin\theta a^{\wedge}$
$=cos\theta I+(1-cos\theta )aa^T+sin\theta a^{\wedge}$
這和羅德里格斯旋轉(zhuǎn)公式一致
也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，任意的一個(gè)李代數(shù)so(3)中的旋轉(zhuǎn)向量的指數(shù)映射剛好對(duì)應(yīng)了一個(gè)位于SO(3)中的旋轉(zhuǎn)矩陣
反之，我們也可以用對(duì)數(shù)映射，將SO(3)中的旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)應(yīng)到李代數(shù)so(3)的旋轉(zhuǎn)向量中
具體的公式如下：
$R=e^{\phi^{\wedge}}=cos\theta I+(1-cos\theta )aa^T+sin\theta a^{\wedge}$
兩邊同時(shí)求跡
$tr(R)=cos\theta tr(I)+(1-cos\theta )tr(aa^T)+sin\theta\cdot tr(a^{\wedge})$
$=3cos\theta+(1-cos\theta )$
$=(1-2cos\theta )$
于是 $\theta =arccos(\frac{tr(R)-1}{2})$
至于 $a$ ,我們知道 $Ra=a$ ,所以只要求解 $R$ 的特征值為 $1$ 的特征向量就是對(duì)應(yīng)的 $a$
自此, $\theta$ 和對(duì)應(yīng)的 $a$ 都有了，那么就得到了 $\phi=\theta a$
另外對(duì)數(shù)映射
$\phi=ln(R)^{\vee}=\Big(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}(R-I)^{n+1}\Big)^{\vee}$
------------ps：關(guān)于 $lnx$ 的泰勒展開(kāi)先留個(gè)坑

se(3)指數(shù)映射到SE(3)
$se(3)$ 的元素
$\xi^{\wedge}=\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}$
首先
$(\xi^{\wedge})^2=\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}(\phi^{\wedge})^2&\phi^{\wedge}\rho\\0^T&0\end{bmatrix}$
$(\xi^{\wedge})^3=\begin{bmatrix}(\phi^{\wedge})^2&\phi^{\wedge}\rho\\0^T&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}(\phi^{\wedge})^3&(\phi^{\wedge})^2\rho\\0^T&0\end{bmatrix}$
$\vdots$
$\vdots$
$(\xi^{\wedge})^n=\begin{bmatrix}(\phi^{\wedge})^n&(\phi^{\wedge})^{n-1}\rho\\0^T&0\end{bmatrix}$

則 $se(3)$ 上的指數(shù)映射為
$e^{\xi^{\wedge}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(\xi^{\wedge})^n$

$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\Big(\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}\Big)^n$

$=I+\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}+\frac{1}{2!}\Big(\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}\Big)^2+\frac{1}{3!}\Big(\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}\Big)^3+...$

$=I+\begin{bmatrix}\phi^{\wedge}&\rho\\0^T&0\end{bmatrix}+\frac{1}{2!}\begin{bmatrix}(\phi^{\wedge})^2&\phi^{\wedge}\rho\\0^T&0\end{bmatrix}+\frac{1}{3!}\begin{bmatrix}(\phi^{\wedge})^3&(\phi^{\wedge})^2\rho\\0^T&0\end{bmatrix}+...$

$=I+ \begin{bmatrix} \phi^{\wedge}+\frac{1}{2!}(\phi^{\wedge})^2+\frac{1}{3!}(\phi^{\wedge})^3+... &\Big(I+\frac{1}{2!}\phi^{\wedge}+\frac{1}{3!}(\phi^{\wedge})^2+...\Big)\rho \\0^T&0 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} I+\phi^{\wedge}+\frac{1}{2!}(\phi^{\wedge})^2+\frac{1}{3!}(\phi^{\wedge})^3+... &\Big(I+\frac{1}{2!}\phi^{\wedge}+\frac{1}{3!}(\phi^{\wedge})^2+...\Big)\rho \\0^T&1 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} e^{\phi^{\wedge}} &J\rho \\0^T&1 \end{bmatrix}$

其中 $\phi=\theta a$ ， $a$ 為單位向量
其中 $J=I+\frac{1}{2!}\phi^{\wedge}+\frac{1}{3!}(\phi^{\wedge})^2+...$
對(duì) $J$ 進(jìn)行化簡(jiǎn)
$J=I+\frac{1}{2!}\theta a^{\wedge}+\frac{1}{3!}\theta^2(a^{\wedge})^2+...$
$=I+\frac{1}{\theta}\Big(\frac{1}{2!}\theta^2 a^{\wedge}+\frac{1}{3!}\theta^3(a^{\wedge})^2+...\Big)$
$=I+\frac{1}{\theta}\Big(\frac{1}{2!}\theta^2 a^{\wedge}+\frac{1}{3!}\theta^3(a^{\wedge})^2+\frac{1}{4!}\theta^4(a^{\wedge})^3+\frac{1}{5!}\theta^5(a^{\wedge})^4+\frac{1}{6!}\theta^6(a^{\wedge})^5+...\Big)$
$=I+\frac{1}{\theta}\Big(\frac{1}{2!}\theta^2-\frac{1}{4!}\theta^4+...\Big) a^{\wedge}+\frac{1}{\theta}\Big(\frac{1}{3!}\theta^3-\frac{1}{5!}\theta^5+...\Big)(a^{\wedge})^2$
$=I+\frac{1}{\theta}\Big(1-(1-\frac{1}{2!}\theta^2+\frac{1}{4!}\theta^4+...)\Big) a^{\wedge}+\frac{1}{\theta}\Big(\theta-(\theta-\frac{1}{3!}\theta^3+\frac{1}{5!}\theta^5+...)\Big)(a^{\wedge})^2$

$=I+\frac{1}{\theta}\Big(1-cos\theta\Big) a^{\wedge}+\frac{1}{\theta}\Big(\theta-sin\theta\Big)(a^{\wedge})^2$
同樣，我們有 $a^{\wedge}a^{\wedge}=aa^T-I$
于是 $=I+\frac{1}{\theta}\Big(1-cos\theta\Big) a^{\wedge}+\frac{1}{\theta}\Big(\theta-sin\theta\Big)(aa^T-I)$
$=I+\frac{1}{\theta}\Big(1-cos\theta\Big) a^{\wedge}+\Big(1-\frac{sin\theta}{\theta}\Big)(aa^T-I)$
$=\frac{sin\theta}{\theta}I+\Big(1-\frac{sin\theta}{\theta}\Big)aa^T+\Big(\frac{1-cos\theta}{\theta}\Big) a^{\wedge}$

里
$T=e^{\xi^{\wedge}}=\begin{bmatrix} e^{\phi^{\wedge}} &J\rho \\0^T&1 \end{bmatrix}$

其中 $J=\frac{sin\theta}{\theta}I+\Big(1-\frac{sin\theta}{\theta}\Big)aa^T+\Big(\frac{1-cos\theta}{\theta}\Big) a^{\wedge}$

這叫做 $se(3)$ 到 $SE(3)$ 的指數(shù)映射
同樣的，我們來(lái)嘗試得到 $SE(3)$ 到 $se(3)$ 的對(duì)數(shù)映射
嘗試對(duì)等式兩邊取跡
$tr(T)=tr(\begin{bmatrix} e^{\phi^{\wedge}} &J\rho \\0^T&1 \end{bmatrix})$
$=tr(e^{\phi^{\wedge}})+1$
$=tr(R)+1$
$=tr(cos\theta I+(1-cos\theta )aa^T+sin\theta a^{\wedge})+1$
$=3cos\theta+(1-cos\theta )+1$
$=2cos\theta+2$
于是
$\theta=arccos\frac{tr(T)-2}{2}=arccos\frac{tr(R)-1}{2}$
同樣 $Ra=a$ 求出 $a$
于是 $\phi=\theta a$ 以及 $\rho=tJ^{-1}$