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什么是齊次坐標(biāo)

定義：齊次坐標(biāo)就是將一個(gè)原本是n維的向量用一個(gè)n+1維向量來表示，是指一個(gè)用于投影幾何里的坐標(biāo)系統(tǒng)，如同用于歐氏幾何里的笛卡兒坐標(biāo)一般。
(x, y) -> (x, y, 1)
(x, y, z) -> (x, y, z, 1)

使用齊次坐標(biāo)有什么優(yōu)勢(shì)

齊次坐標(biāo)的使用能夠大大簡(jiǎn)化在三維空間中的點(diǎn)線面表達(dá)方式和旋轉(zhuǎn)平移等操作，具體分如下幾點(diǎn)進(jìn)行說明。

1. 能非常方便的表達(dá)點(diǎn)在直線或在平面上
   2D平面上，直線可用方程 ax + by + c = 0 表示，用向量表示一般記為：l = (a, b, c)^T
   點(diǎn) p = (x, y) 在直線 l 上的充分必要條件是 ax + by + c = 0
   使用齊次坐標(biāo)，點(diǎn)p的齊次坐標(biāo)是：p' = (x, y, 1)
   那么 ax + by + c = 0 就可以使用兩個(gè)向量的內(nèi)積（點(diǎn)乘）表示：
   ax + by + c = (a, b, c)^T(x, y, 1) = l^T * p' = 0
   因此，點(diǎn)p在直線l上的充分必要條件就是直線l的向量與p的齊次坐標(biāo)p'的內(nèi)積為零：
   l^T * p' = 0
   三維空間類似，點(diǎn)P在平面A上的充分必要條件是平面A與向量P的齊次坐標(biāo)P'的內(nèi)積為零：
   A^T * P' = 0

2. 方便表達(dá)直線與直線，平面與平面的交點(diǎn)
   在齊次坐標(biāo)下，可以用兩個(gè)點(diǎn)p, q的齊次坐標(biāo)叉乘結(jié)果來表達(dá)一條直線l，也即是 l = p × q
   也可以用兩條直線 l, m 的叉乘表示他們的交點(diǎn) x，x = l × m

   叉乘：兩個(gè)向量a和b的叉乘盡在三維空間中有定義，寫作a×b
   a×b是與a和b都垂直的向量
   其模長(zhǎng)等于以兩個(gè)向量為邊的平行四邊形的面積
   叉乘可以定義為：
   
   其中，θ表示a，b的夾角（0^。到180^。之間），||a||，||b||是向量的模長(zhǎng)
   e則是一個(gè)與向量a，b所構(gòu)成的平面垂直的單位向量
   根據(jù)叉乘定義：
   向量自身叉乘結(jié)果為0，因?yàn)閵A角為0。也就是說三維向量 a x a =0, b x b = 0，而點(diǎn)乘（也稱點(diǎn)積，內(nèi)積）的定義是a * b = ||a||* ||b|| * cos(θ)
   根據(jù)定義：如果兩個(gè)向量垂直，cos(θ) = 0，點(diǎn)積也為0。

   為什么兩條直線 l, m 的叉乘 l × m 等于他們的交點(diǎn) p, 也就是 p = l× m？
   原因如下：
   首先，根據(jù)前面叉乘的定義， l ×m 的結(jié)果向量（記為 p = l×m）與l 和m 都垂直，根據(jù)點(diǎn)乘的定義，垂直的向量之間的點(diǎn)積為0,因此可以得到：
   l^T * (l × m) = l^T * p = 0
   m^T * (l × m) = m^T * p = 0
   因此，根據(jù)前面點(diǎn)在線上的結(jié)論，可以看到p即在直線m上，又在直線l上，所以 p = l×m 是兩條直線的交點(diǎn)。此處p是齊次坐標(biāo)

3. 能夠區(qū)分一個(gè)向量和一個(gè)點(diǎn)
   如果(x, y, z)是一個(gè)點(diǎn)，則變?yōu)?x, y, z, 1)
   如果(x, y, z)是一個(gè)向量，則變?yōu)?x, y, z, 0)

4. 能夠表達(dá)無窮遠(yuǎn)
   比如兩條平行的直線 ax + by + c = 0, ax + by + d = 0，
   可以分別用向量 l = (a, b, c), m = (a, b, d)表示
   根據(jù)前面直線交點(diǎn)的計(jì)算方法，其交點(diǎn)為 l×m
   根據(jù)叉乘計(jì)算法則，可以得到 l×m = (d - c)( b, -a, 0)，忽略標(biāo)量(d-c)，我們的到交點(diǎn)為(b, -a, 0)，并且是齊次坐標(biāo)如果要轉(zhuǎn)化為非齊次坐標(biāo)，那么會(huì)得到(b/0, a/0)，坐標(biāo)是無窮大，可以認(rèn)為該點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)。符合平行線相交于無窮遠(yuǎn)的概念

5. 更簡(jiǎn)潔的表達(dá)歐式變換
   使用非齊次坐標(biāo)
   x' = Rx + t
   使用齊次坐標(biāo)(x和'為齊次坐標(biāo))
   x' = Tx