(一)行列式概念和定義
定義式：|A|=Σ(-1)?a???a???...a???
? 其中，τ為x1, x2,..., xn的逆序數(shù)
? ? ? 例如：規(guī)定順序為從左向右遞增
? ? ? 則，從左數(shù)第一個元素起，計算“每一個元素右側(cè)比該元素小的元素的數(shù)量”之和，即為該數(shù)列的逆序數(shù)。
理解：行列式的本質(zhì)是一個數(shù)或函數(shù)，是一個n×n矩陣中所有元素，“全部排列方法的”“不同行不同列的”元素的乘積之和。
由于不同行不同列元素的排列方法共有n! 種，所以行列式的完全展開式中共有n! 個多項式。
定義式中采用的是規(guī)定行順序，排列列順序；也可以規(guī)定列順序，排列行順序。實際上，不僅限于這兩種方法，但其他方法混亂無規(guī)律可循。
特別地，二階行列式是兩個向量的向量積；
三階行列式是其中，“任意兩個向量的向量積”和另外一個向量的數(shù)量積。
(二)行列式的性質(zhì)
1. 行列式和初等變換
2. 行列式的拆分性質(zhì)
3. 轉(zhuǎn)置矩陣的行列式相等
4. 行(列)間成比例/全零行
(三)行列式的計算
1. 定義式計算
? ①二階：主對角線乘積，減去副對角線乘積
? ②三階：三個主對角乘積，減去三個副對角乘積
? ③高階不建議用定義式，除非下面的特殊情況
2. 行列式按行(列)展開
? ? |A|=a??A??+a??A??+...+a??A??
? ? |A|=a??A??+a??A??+...+a??A??
? 定義：行列式的值等于，任一行(列)的“各元素與其代數(shù)余子式乘積”之和
? 推論1：某個數(shù)列各元素與行列式中某一行(列)的“各代數(shù)余子式乘積的和”，相等于把這個數(shù)列替換行列式中的這一行(列)的元素，形成的新的行列式的值。
? 推論2：“任一行(列)的各元素”與“其他行(列)代數(shù)余子式”乘積之和，等于零。
3. 基本易求行列式
⑴三角行列式
①主對角線、主三角行列式
? ? |A|=a??a??...a??
②副對角線、副三角行列式
? ? |A|= (-1)^[n(n-1)/2]? a??a??...a??
⑵分塊陣
①主對角線分塊、主三角分塊行列式
? ? |A|=|A?||A?|...|A?|
②副對角線分塊、副三角分塊行列式
? ? |A|=(-1)?? |B||C|
⑶范德蒙德行列式
? 性質(zhì)：第i行中，各元素是第二行元素的(i-1)次方
①缺首行/缺末行：
? ? ?每行提公因子
? ? ?化為普通范式行列式
②缺中間行（假設(shè)缺第四行(a?3,a?3,...,a?3））
? ? ?補(bǔ)全中間缺的行
? ? ? ? 補(bǔ)上一列未知數(shù)(1,x,x2,...,x?)?
? ? ?新的范式行列式
? ? ? ? |A|=[Π(a?-a?)]·(x-a?)(x-a?)...(x-a?)
? ? ? ? 可求出其中x3的系數(shù)K
? ? ?按(1,x,x2,...,x?)?一列展開
? ? ? ? 其中x3的系數(shù)為(-1)?????1?M??????
? ? ?缺行范式行列式|A|=M??????
③轉(zhuǎn)置后，第j列中，各元素是第二列元素的(j-1)次方
4. 常見行列式的套路
⑴行列式元素均在三條線上
? ①爪形行列式：用對角線元素消兩側(cè)線元素
? ②兩條斜線一個點(diǎn)
? ? ?取兩點(diǎn)展開
? ? ?按定義計算：
? ? ? ? 先算一條對角線，再算平行線和點(diǎn)
? ③三對角線行列式：遞推公式
? ? ?主對角線元素均為a，
? ? ? 兩側(cè)平行對角線分別均為b,c
? ? ? D? = aD??? - bcD???
? ? ? 差分方程湊出等比級數(shù)
? ? ?主對角線元素均為(λ+μ)，
? ? ? 兩側(cè)平行對角線分別均為b,c，使bc=λμ
? ? ? 其中，λ和μ的順序無礙
? ? ? D? = (λ??1-μ??1)/(λ-μ)
⑵行(列)間的特殊關(guān)系
? ①行和相等：累加消元法
? ②相鄰行等差等比關(guān)系：相鄰消元法
⑶每行(列)含有較多相同(成比例)元素：
? ? 加邊法，消掉相同的元素
5. 含未知數(shù)的行列式方程
①特征多項式各次項系數(shù)
? ?|A-λE|=(λ?-λ)(λ?-λ)...(λ?-λ)=0
? ? 其中，(-λ)?的系數(shù)為1
? ? ? ? ? ? ? (-λ)??1的系數(shù)為λ?+λ?+...+λ?=tr(A)
? ? ? ? ? ? ? 常數(shù)項為 λ?λ?...λ?=|A|
? ?對照行列式方程的各次項系數(shù)，分析題目條件
②確定未知數(shù)x，湊出成比例的行(列)
③根據(jù)不同行不同列元素乘積，求出某次項系數(shù)
6.見圖
7.見圖
