1 基本概念
損失函數(shù)（loss function）：計(jì)算的是一個(gè)樣本的誤差。它是用來估量你模型的預(yù)測(cè)值 f(x)與真實(shí)值 Y的不一致程度，通常用 L(Y,f(x))來表示。
代價(jià)函數(shù)（cost function）：是整個(gè)訓(xùn)練集上所有樣本誤差的平均。本質(zhì)上看，和損失函數(shù)是同一個(gè)東西。
目標(biāo)函數(shù)：代價(jià)函數(shù) + 正則化項(xiàng)。
損失函數(shù)越小，模型的魯棒性就越好。
目標(biāo)函數(shù)包括了經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)和結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)（正則項(xiàng)），通常如下所示：
其中，前面的均值函數(shù)表示的是經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)，L代表的是損失函數(shù)，后面的 Φ 是正則化項(xiàng)（regularizer）或者叫懲罰項(xiàng)（penalty term），它可以是L1，也可以是L2，或者其他的正則函數(shù)。整個(gè)式子表示的是找到使目標(biāo)函數(shù)最小時(shí)的θ值。
2. 常用損失函數(shù)
常見的損失誤差有五種。
1. 鉸鏈損失（Hinge Loss）：主要用于支持向量機(jī)（SVM） 中；
2. 互熵（交叉熵）損失 （Cross Entropy Loss，Softmax Loss ）：用于Logistic 回歸與Softmax 分類中；
3. 平方損失（Square Loss）：主要是最小二乘法（OLS）中；
4. 指數(shù)損失（Exponential Loss） ：主要用于Adaboost 集成學(xué)習(xí)算法中；
5. 其他損失（如0-1損失，絕對(duì)值損失）
2.1 鉸鏈損失 （Hinge loss）
Hinge loss 的叫法來源于其損失函數(shù)的圖形，通用的函數(shù)表達(dá)式為：
表示如果被正確分類，損失是0，否則損失就是 1?mi(w) 。
在機(jī)器學(xué)習(xí)中，Hing 可以用來解間距最大化的問題，最有代表性的就是SVM 問題，最初的SVM 優(yōu)化函數(shù)如下：?
將約束項(xiàng)進(jìn)行變形，則為：?
則損失函數(shù)可以進(jìn)一步寫為：?
因此，?SVM 的損失函數(shù)可以看作是 L2-Norm 和 Hinge Loss 之和。
2.2 互熵（?交叉熵?）損失 （Cross Entropy Loss，Softmax Loss）
有些人可能覺得邏輯回歸的損失函數(shù)就是平方損失，其實(shí)并不是。平方損失函數(shù)可以通過線性回歸在假設(shè)樣本是高斯分布的條件下推導(dǎo)得到，而邏輯回歸得到的并不是平方損失。
在邏輯回歸的推導(dǎo)中，它假設(shè)樣本服從伯努利分布（0-1分布），然后求得滿足該分布的似然函數(shù)，接著取對(duì)數(shù)求極值等等。而邏輯回歸并沒有求似然函數(shù)的極值，而是把極大化當(dāng)做是一種思想，進(jìn)而推導(dǎo)出它的經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為：最小化負(fù)似然函數(shù)（Negative Likelihood (LL)）（即maxF(y,f(x))→min?F(y,f(x)))。從損失函數(shù)的視角來看，它就成了Softmax 損失函數(shù)了。
互熵?fù)p失函數(shù)的通用的標(biāo)準(zhǔn)形式：?
取對(duì)數(shù)是為了方便計(jì)算極大似然估計(jì)，因?yàn)樵贛LE中，直接求導(dǎo)比較困難，所以通常都是先取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)找極值點(diǎn)。損失函數(shù)L(Y,P(Y|X)) 表達(dá)的是樣本X 在分類Y的情況下，使概率P(Y|X)達(dá)到最大值（換言之，就是利用已知的樣本分布，找到最有可能（即最大概率）導(dǎo)致這種分布的參數(shù)值；或者說什么樣的參數(shù)才能使我們觀測(cè)到目前這組數(shù)據(jù)的概率最大）。因?yàn)閘og函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以logP(Y|X)也會(huì)達(dá)到最大值，因此在前面加上負(fù)號(hào)之后，最大化P(Y|X)就等價(jià)于最小化LL了。
邏輯回歸的P(Y=y|x)表達(dá)式如下（為了將類別標(biāo)簽y統(tǒng)一為1 和0 ）：
從上面的推導(dǎo)過程可以得出：互熵?fù)p失 （Cross Entropy Loss，Softmax Loss）的本質(zhì)是最大似然估計(jì)MLE。
2.3 平方損失（Square Loss）
最小二乘法是線性回歸的一種，OLS將問題轉(zhuǎn)化成了一個(gè)凸優(yōu)化問題。在線性回歸中，它假設(shè)樣本和噪聲都服從高斯分布（中心極限定理），最后通過極大似然估計(jì)（MLE）可以推導(dǎo)出最小二乘式子。最小二乘的基本原則是：最優(yōu)擬合直線應(yīng)該是使各點(diǎn)到回歸直線的距離和最小的直線，即平方和最小。
平方損失（Square loss）通用的標(biāo)準(zhǔn)形式如下：?
當(dāng)樣本個(gè)數(shù)為n時(shí)，此時(shí)的損失函數(shù)為：
Y?f(X) 表示殘差，整個(gè)式子表示的是殘差平方和 ，我們的目標(biāo)就是最小化這個(gè)目標(biāo)函數(shù)值，即最小化殘差的平方和。
在實(shí)際應(yīng)用中，我們使用均方差（MSE：mean square error）作為一項(xiàng)衡量指標(biāo)，公式如下：
從上面的推導(dǎo)過程可以得出：平方損失（Square Loss）的本質(zhì)也是最大似然估計(jì)MLE。
面試中被問到的MSE和CE問題：
訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，你經(jīng)常用哪一個(gè)？
這是一個(gè)小坑，先要區(qū)分問題是分類還是回歸！如果是回歸問題，用MSE，如果是分類問題，一般用CE。
為什么呢？
因?yàn)镸SE容易發(fā)生梯度消失問題，而CE消去了導(dǎo)致梯度錯(cuò)誤消失的因子，則不會(huì)。
2.4?指數(shù)損失（Exponential Loss）?
指數(shù)損失函數(shù)的通用標(biāo)準(zhǔn)形式是：?
exp-loss，主要應(yīng)用于 Boosting 算法中，在Adaboost 算法中，經(jīng)過 m 次迭代后，可以得到 fm(x)：
Adaboost 每次迭代時(shí)的目的都是找到最小化下列式子的參數(shù)α和G：?
易知，Adabooost 的目標(biāo)式就是指數(shù)損失，在給定n個(gè)樣本的情況下，Adaboost 的損失函數(shù)為：
關(guān)于Adaboost的詳細(xì)推導(dǎo)介紹，可以參考Wikipedia：AdaBoost或者李航《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法》P145。
2.5 其他損失
0-1 損失函數(shù)?
絕對(duì)值損失函數(shù)?
上述幾種損失函數(shù)比較的可視化圖像如下：
3 Hinge loss（SVM） 與 Softmax loss（Softmax）
SVM 和 Softmax 分類器是最常用的兩個(gè)分類器。?
SVM將輸出f(xi,W) 作為每個(gè)分類的評(píng)分；
與SVM 不同，Softmax 分類器可以理解為邏輯回歸分類器面對(duì)多個(gè)分類的一般話歸納。其輸出為歸一化的分類概率，更加直觀，且可以從概率上解釋。
在Softmax分類器中，函數(shù)映射f(xi,W)保持不變，但將這些評(píng)分值看做每個(gè)分類未歸一化的對(duì)數(shù)概率，且將鉸鏈損失（hinge loss）替換為 交叉熵?fù)p失(cross-entropy loss)，公式如下:
或等價(jià)的：
fj表示分類評(píng)分向量f中的第i 個(gè)元素，和SVM一樣，整個(gè)數(shù)據(jù)集的損失值是數(shù)據(jù)集中所有樣本數(shù)據(jù)的損失值Li的均值和正則化損失之和。
概率論解釋:?
解釋為給定數(shù)據(jù)xi和W參數(shù)，分配給正確分類標(biāo)簽yi的歸一化概率。
實(shí)際操作注意事項(xiàng)——數(shù)值穩(wěn)定: 編程實(shí)現(xiàn)softmax函數(shù)計(jì)算的時(shí)候,中間項(xiàng)efyi和 ∑jefj因?yàn)榇嬖谥笖?shù)函數(shù)，所以數(shù)值可能非常大，除以大數(shù)值可能導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算的不穩(wěn)定，所以得學(xué)會(huì)歸一化技巧。若在公式的分子和分母同時(shí)乘以一個(gè)常數(shù)C，并把它變換到求和之中,就能得到一個(gè)等價(jià)公式:
C的值可自由選擇，不會(huì)影響計(jì)算結(jié)果，通過這個(gè)技巧可以提高計(jì)算中的數(shù)值穩(wěn)定性。通常將C設(shè)為：
該技巧就是將向量f中的數(shù)值進(jìn)行平移,使得最大值為0。
準(zhǔn)確地說，SVM分類器使用的是鉸鏈損失（hinge loss），有時(shí)候又被稱為最大邊界損失（max-margin loss）。Softmax分類器使用的是交叉熵?fù)p失（corss-entropy loss）。Softmax分類器的命名是從softmax函數(shù)那里得來的，Softmax函數(shù)將原始分類評(píng)分變成正的歸一化數(shù)值，所有數(shù)值和為1，這樣處理后交叉熵?fù)p失才能應(yīng)用。
舉例：圖像識(shí)別
針對(duì)給出的圖像，SVM分類器可能給你的是一個(gè)[?2.85, 0.86, 0.28]對(duì)應(yīng)分類“貓”，“狗”，“船”，而softmax分類器可以計(jì)算出這三個(gè)標(biāo)簽的”可能性“是[0.016, 0.631, 0.353]，這就讓你能看出對(duì)于不同分類準(zhǔn)確性的把握。
這里Hinge Loss計(jì)算公式為：
這里 Δ是一個(gè)閾值，表示即使誤分類，但是沒有達(dá)到閾值，也不存在損失 。上面的公式把錯(cuò)誤類別 (j≠yi) 都遍歷一遍，求值加和。
設(shè) xi 的正確類別是”船”，閾值 Δ=1? ，則對(duì)應(yīng)的Hinge loss 為：
下圖是對(duì)Δ的理解，藍(lán)色表示正確的類別，Δ表示一個(gè)安全范圍，就算是有其他的得分，只要沒有到達(dá)紅色的Δ范圍內(nèi),，對(duì)損失函數(shù)都沒有影響。這就保證了SVM 算法的解的稀疏性。
而Softmax 損失則是對(duì)向量?fyi 指數(shù)正規(guī)化得到概率，再求對(duì)數(shù)即可。?
3.1 SVM 和 LR的聯(lián)系與區(qū)別（擴(kuò)充）
聯(lián)系：
1、SVM和LR都可以處理分類問題，且一般都用于處理線性二分類問題，在改進(jìn)后都可以處理多分類問題。
2、兩個(gè)方法都可以增加不同的正則化項(xiàng)，如L1、L2等。所以在很多實(shí)驗(yàn)中，兩種算法的結(jié)果是很接近的。
區(qū)別：
1、從目標(biāo)函數(shù)來看，區(qū)別在于邏輯回歸采用的是?cross entropyloss，SVM采用的是hinge loss，這兩個(gè)損失函數(shù)的目的都是增加對(duì)分類影響較大的數(shù)據(jù)點(diǎn)的權(quán)重，減少與分類關(guān)系較小的數(shù)據(jù)點(diǎn)的權(quán)重。
2、SVM的處理方法是只考慮support vectors，也就是和分類最相關(guān)的少數(shù)點(diǎn)，去學(xué)習(xí)分類器。而邏輯回歸是通過非線性映射，大大減小了離分類平面較遠(yuǎn)的點(diǎn)的權(quán)重，相對(duì)提升了與分類最相關(guān)的數(shù)據(jù)點(diǎn)的權(quán)重。
3、邏輯回歸相對(duì)來說模型更簡(jiǎn)單，好理解，特別是大規(guī)模線性分類時(shí)比較方便。而SVM的理解和優(yōu)化相對(duì)來說復(fù)雜一些，SVM轉(zhuǎn)化為對(duì)偶問題后，分類只需要計(jì)算與少數(shù)幾個(gè)支持向量的距離，這個(gè)在進(jìn)行復(fù)雜核函數(shù)計(jì)算時(shí)優(yōu)勢(shì)很明顯，能夠大大簡(jiǎn)化模型和計(jì)算。
4 總結(jié)
機(jī)器學(xué)習(xí)作為一種優(yōu)化方法，學(xué)習(xí)目標(biāo)就是找到優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)——損失函數(shù)和正則項(xiàng)的組合；有了目標(biāo)函數(shù)的“正確的打開方式”，才能通過合適的機(jī)器學(xué)習(xí)算法求解優(yōu)化。
不同機(jī)器學(xué)習(xí)方法的損失函數(shù)有差異，合理理解各種損失優(yōu)化函數(shù)的的特點(diǎn)更有利于我們對(duì)相關(guān)算法的理解。
5 參考
機(jī)器學(xué)習(xí)中的目標(biāo)函數(shù)、損失函數(shù)、代價(jià)函數(shù)有什么區(qū)別 ?https://www.zhihu.com/question/52398145/answer/209358209
機(jī)器學(xué)習(xí)中的損失函數(shù) （著重比較：hinge loss vs softmax loss）https://blog.csdn.net/u010976453/article/details/78488279
