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這是向量值函數(shù)(B值函數(shù))系列筆記的第一篇. 為方便閱讀, 這里放出目錄:
(1)向量值函數(shù)筆記: Bochner積分
(2)向量值函數(shù)筆記: L^p空間
(3)向量值函數(shù)筆記:Sobolev空間

這篇筆記里的材料大部分來自于Yosida的泛函分析, Hunter的PDE筆記, Evans的偏微分方程, 以及一些網(wǎng)上的講義, 也有自己補充的材料.

設(shè) $(S,\cal F, \mu)$ 是一個完備(這可以省去很多煩惱, 而且我們的應(yīng)用中都是完備的)的測度空間, $X$ 是 $\mathbb{K}$ ( $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ )上的Banach空間, ${\cal B}(X)$ 是 $X$ 上的Borel集全體.

我們先定義較弱一些的可測性, 即便它們并不是最常用的.

定義1. 設(shè) $u:S\rightarrow X$ . 則
(1)若 $\forall f\in X^*$ , 有 $f\circ u$ 可測, 則稱 $u$ 弱可測.
(2)若 $u^{-1}({\cal B}(X))\subset\cal F$ , 則稱 $u$ Borel可測.

若 $u(S)$ 是有限集, 則稱 $u$ 是簡單函數(shù). 從這些定義出發(fā), 我們先注意到一些簡單的事實.

命題2. (1) Borel可測蘊含弱可測.
(2) 對簡單函數(shù)而言, Borel可測等價于弱可測. 這樣的簡單函數(shù)我們稱為可測簡單函數(shù).
證明. (1)設(shè) $u$ Borel可測, $f\in X^*$ . 設(shè) $A\in\mathcal{B}(\mathbb{K})$ , 我們有 $(f\circ u)^{-1}(A)$ $=u^{-1}(f^{-1}(A))$ , 由 $f$ 的連續(xù)性知 $f^{-1}(A)\in\mathcal{B}(X)$ , 再由 $u$ 的Borel可測性得到 $(f\circ u)^{-1}(A)=u^{-1}(f^{-1}(A))\in\mathcal{F}$ .
(2)設(shè) $u$ 是弱可測的簡單函數(shù), 只需證明它Borel可測. 注意到 $u$ 可寫為 $u=\sum_{c\in u(S)}c\chi_{u^{-1}(c)}$ , 這樣對任何 $A\subset\mathbb{R}$ , 有 $u^{-1}(A)=\sqcup_{c\in u(S)\cap A}u^{-1}(c)$ , 所以我們只需要證明對任何 $c\in u(S)$ , 都有 $u^{-1}(c)\in\mathcal{F}$ 就行了.
設(shè) $u(S)=\{c_k\}_{k=1}^n$ . 如果 $n=1$ , 則 $u$ 是常函數(shù), 這可驗證是Borel可測的. 如果 $n\ge2$ , 取 $f_{ij}\in X^*$ 使得 $f_{ij}(c_i)\ne f_{ij}(c_j)$ . 則 $u^{-1}(c_1)=\cap_{k=2}^n(f_{1k}\circ u)^{-1}(f_{1k}(c_1))$ 作為有限個可測集的交自然是可測的. $\blacksquare$

我們再定義強可測性, 這是最常用的可測性.

定義3. 設(shè) $u:S\rightarrow X$ , 且存在一列可測簡單函數(shù) $u_n$ 使得 $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n(s)\overset{\mu\text{-}a.e.}{=}u(s)$ , 那么我們說 $u$ 是強可測的.

自然, 每個可測簡單函數(shù)也是強可測的. 另外, 由這個定義, 我們立刻可以看出強可測函數(shù)關(guān)于極限是封閉的.

命題4. 如果 $\{u_n\}$ 都是強可測的, 并且 $u_n\rightarrow u$ $\mu$ -a.e., 那么 $u$ 也是強可測的.
證明. 由強可測的定義, 設(shè) $\{u_{nk}\}_k$ 是簡單函數(shù)列, 并且 $\lim_{n\rightarrow\infty}u_{nk}(s)\overset{\mu\text{-}a.e.}{=}u_n(s)$ , 那么可以驗證 $u_{nn}\rightarrow u$ $\mu$ -a.e., 由此即得結(jié)論. $\blacksquare$

既然定義了強可測又定義了弱可測, 那么我們自然要說明它們的名字恰如其分.

命題5. 強可測蘊含Borel可測, 從而也蘊含弱可測.
證明. 設(shè) $u$ 是強可測的, 我們要證它Borel可測. 由強可測定義, 存在一列簡單可測函數(shù) $u_n$ 幾乎處處收斂到 $u$ , 由于 $u_n$ 都是Borel可測的, 所以我們只要證明Borel可測關(guān)于極限運算也是封閉的就好了.
由 $(S,\mathcal{F},\mu)$ 的完備性, 我們可以直接假設(shè) $u_n$ 處處收斂到 $u$ .
對任何開集 $U\subset\mathbb{K}$ , 考察 $u^{-1}(U)$ . 如果 $u(s)\in U$ , 那么當(dāng) $n$ 充分大時有 $u_n(s)\in U$ , 從而我們知道 $u^{-1}(U)\subset\liminf_{n} u_n^{-1}(U)$ . 如果 $n$ 充分大時 $u_n(s)\in U$ , 那么顯然 $u(s)\in\overline{U}$ , 故 $\liminf_n u_n^{-1}(U)\subset u^{-1}(\overline U)$ .
令 $U_k=\{x\in U|\mathrm{dist}(x,U^c)>1/k\}$ , 那么有 $U_k\subset\overline{U}_k\subset U$ , 并且 $\cup_k U_k=U$ , 從而由剛才的討論可以得到 $\cup_k \liminf_n u_n^{-1}(U_k)=u^{-1}(U)$ . 這說明 $u^{-1}(U)$ 是可測的, 故 $u$ Borel可測. $\blacksquare$

顯然可測簡單函數(shù)都是強可測的. 對一般的情形, 下面的定理告訴我們什么時候弱可測蘊含強可測.

定理6(Pettis). 設(shè) $u:S\rightarrow X$ . $u$ 強可測等價于 $u$ 弱可測并且它的值域是幾乎可分的(即存在一個 $\mu$ -零測集 $E$ , 使得 $u(S\setminus E)$ 可分).

自然, 如果 $X$ 本身是可分的, 那么弱可測就等價于強可測.

為了對強可測函數(shù)進行運算, 我們首先要證明它們關(guān)于常用的運算封閉.

命題7. 設(shè) $u,v,u_n$ 是強可測函數(shù), $\phi:S\rightarrow\mathbb{K}$ 是可測函數(shù), 則
(1) $\alpha u+\beta v$ 是強可測函數(shù);
(2) $\|u\|$ 是可測函數(shù);
(3) $\phi u$ 強可測.
證明. 我們只證第二點, 這里的證法來自Yosida. 由Pettis定理, 存在 $E\subset S$ 滿足 $\mu(E)=0$ 且 $u(S\setminus E)$ 可分, 那么 $Y=\overline{\operatorname{span} u(S\setminus E)}$ 也是可分的. 我們令 $v=u\chi_{S\setminus E}$ , 則我們只需證 $\|v\|$ 可測. 令 $B=\{f\in Y^*|\|f\|\le1\}$ , 則 $\|v(s)\|=\sup_{f\in B}|\langle f,v(s)\rangle|$ . 但是我們還知道, 可分賦范空間的對偶空間的閉單位球是弱*緊的, 且它的弱*拓撲可度量化, 這樣我們知道 $B$ 其實是可分的, 設(shè) $B$ 的一個可數(shù)稠密子集是 $C$ , 則 $\|v(s)\|=\sup_{f\in C}|\langle f,v(s)\rangle|$ 是可測的.
另一種更簡單的證法是注意到 $u$ 是Borel可測的, 并且 $\|\cdot\|$ 在 $X$ 上連續(xù). $\blacksquare$

簡單地說, 這個命題告訴我們所有的強可測函數(shù)組成可測函數(shù)環(huán)上的模, 并且和 $X$ 上連續(xù)函數(shù)復(fù)合起來也是可測的.

我們開始考慮積分運算. 對于可測簡單函數(shù) $u=\sum_jx_j\chi_{A_j}$ (其中 $x_j\ne0$ , $A_j$ 兩兩不交)滿足 $\mu(A_j)<\infty$ , 定義 $\int_Sud\mu=\sum_jx_j\mu(A_j)$ . 如果 $u$ 滿足 $\|u\|\in L^1$ , 那么 $\int_S\|u\|d\mu=\sum_j\|x_j\|\mu(A_j)<\infty$ , 從而 $\mu(A_j)<\infty$ , 從而 $\int_Sud\mu$ 是有定義的. 我們還注意到 $\left\|\int_Sud\mu\right\|\le\int_S\|u\|d\mu$ .

定義8(Bochner積分). 我們說 $u$ 是Bochner可積的, 如果存在一列可測簡單函數(shù) $u_n$ 幾乎處處收斂到 $u$ , 并且滿足 $\int_S\|u_n\|d\mu<\infty$ , $\lim_{n\rightarrow\infty}\int_S\|u_n-u\|d\mu=0$ , 此時定義 $\int_Sud\mu=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_Su_nd\mu$ .

為了說明定義的合理性, 我們需要說明這些 $u_n$ 的積分確實是存在的(這在之前已經(jīng)完成), 并且積分的極限也存在, 而且極限和 $u_n$ 的選取無關(guān)(事實上只需要說明極限存在就夠了, 因為對任何兩列這樣的簡單函數(shù), 我們可以把它們合并成一列, 依然滿足之前的條件). 首先 $u$ 肯定是強可測的, 然后 $\|u_n-u\|$ 是可測的. 下面驗證 $\{\smallint_Su_nd\mu\}$ 是Cauchy列. $\|\smallint_Su_jd\mu-\smallint_Su_kd\mu\|=\|\smallint_S(u_j-u_k)d\mu\|\le\smallint_S\|u_j-u_k\|d\mu$ $\le\smallint_S\|u_j-u\|d\mu+\smallint_S\|u_k-u\|d\mu\rightarrow0$ , 這就驗證了 $\{\smallint_Su_nd\mu\}$ 是Cauchy列.

下面的定理告訴我們?nèi)绾闻袛嘁粋€向量值函數(shù)是可積的.

定理9(Bochner). 強可測函數(shù) $u$ 是Bochner可積的當(dāng)且僅當(dāng) $\int_S\|u\|d\mu<\infty$ .
證明. 如果 $u$ 是Bochner可積的, 設(shè) $u_n$ 是定義中的那列函數(shù), 那么 $\int_S\|u\|d\mu\le\int_S\|u-u_n\|d\mu+\int_S\|u_n\|d\mu<\infty$ .
我們再證另一面. 假設(shè) $\int_S\|u\|d\mu<\infty$ . 由于 $u$ 是強可測的, 故存在可測簡單函數(shù) $u_n$ 幾乎處處收斂到 $u$ , 我們定義 $v_n=u_n\chi_{\{\|u_n\|\le2\|u\|\}}$ , 則由Lebesgue控制收斂定理, $\lim_{n\rightarrow\infty}\int_S\|v_n-u\|d\mu=\int_S\lim_{n\rightarrow\infty}\|v_n-u\|d\mu=0$ . 從而 $\{v_n\}$ 成為 $u$ Bochner可積定義里的那一列可測簡單函數(shù). $\blacksquare$

現(xiàn)在我們可以定義 $L^p$ 空間的類似物.

定義10(Bochner-Lebesgue空間). 設(shè) $1\le p<\infty$ , 我們定義Bochner-Lebesgue空間 $L^p(S;X)$ 為所有滿足
$\|u\|_{L^p(S;X)}=\left(\int_S\|u\|^pd\mu\right)^{1/p}<\infty$
的強可測函數(shù)全體. 當(dāng) $p=\infty$ 時, 定義 $L^\infty(S;X)$ 為所有滿足
$\|u\|_{L^\infty(S;X)}=\operatorname{esssup}_{s\in S}\|u(s)\|<\infty$
的強可測函數(shù)全體.

下面我們來討論Bochner積分的性質(zhì).

首先是一些最簡單的觀察. 當(dāng) $u_n$ 在 $L^1(S;X)$ 中收斂到 $u$ 時, 由 $\int_S|\|u_n\|-\|u\||d\mu\le\int_S\|u_n-u\|d\mu$ 知 $\|u_n\|$ 在 $L^1(S;\mathbb{K})$ 中收斂到 $\|u\|$ .

接著我們考慮一個簡單但有用的事情. 即當(dāng) $u$ Bochner可積時是否有 $\int_Aud\mu=\int_Su\chi_Ad\mu$ ?這里 $A\in{\cal F}$ , 從而 $(A,A\cap{\cal F},\mu|_{A\cap{\cal F}})$ 也是一個完備的測度空間. 事實上我們只需要對可測簡單函數(shù)驗證這點即可, 這當(dāng)然是成立的.

然后我們還需要向量值版本的Lebesgue控制收斂定理.

定理11(向量值Lebesgue控制收斂定理). 設(shè) $u_n$ 是Bochner可積的, $u_n$ $\mu$ -a.e.收斂于 $u$ , 并且存在非負可積函數(shù) $g$ 使得幾乎處處成立著 $\|u_n\|\le g$ , 那么 $u$ 是Bochner可積的, 并且 $\lim_n\int_Su_nd\mu=\int_Sud\mu$ .
證明. 第一個結(jié)論是容易的, 因為幾乎處處有 $\|u\|\le g$ , 然后用Bochner定理即得.
要證第二個結(jié)論, 注意到 $\left\|\int_S(u_n-u)d\mu\right\|\le\int_S\|u_n-u\|d\mu$ , 由于 $\|u_n-u\|\le2g$ , 用普通的控制收斂定理即得 $\left\|\int_S(u_n-u)d\mu\right\|\rightarrow0$ , 這正是我們需要的. $\blacksquare$

我們還需要微分定理, 這在處理和弱導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問題時十分有用. 此時我們假定 $S=\mathbb{R}$ , 測度是Lebesgue測度(這當(dāng)然是完備的).

定理12(向量值Lebesgue微分定理). 設(shè) $u\in L^1(\mathbb{R};X)$ , 則對幾乎處處的 $t\in\mathbb{R}$ , 我們有
$\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\int_t^{t+h} u(s)ds=u(t)$
證明. 因為 $u$ 是強可測的, 所以由Pettis定理, 可以假設(shè) $u$ 的值域是可分的. 進一步地, 不妨假設(shè) $X$ 是可分的, 若不然, 考慮 $\overline{\operatorname{span}u([0,T])}$ , 它是 $X$ 的可分閉子空間, 用它來替換 $X$ 即可.
設(shè) $\{c_k\}_{k\ge1}$ 在 $X$ 中稠密. 由 $\mathbb{K}$ 值函數(shù)的Lebesgue微分定理, 對任何 $k\ge1$ 以及幾乎處處的 $t\in\mathbb{R}$ , 我們有
$\|u(t)-c_k\|=\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\int_t^{ t+h}\|u(s)-c_k\|ds$
對這樣的 $t$ , 我們有
$\limsup_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\int_t^{ t+h }\|u(t)-u(s)\|ds$
$\le \|u(s)-c_k\|+\limsup_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\int_t^{ t+h }\|u(s)-c_k\|ds$
$=2\|u(s)-c_k\|$
于是對這樣的 $t$ , 有
$\limsup_{h\rightarrow0}\left\|\frac{1}{h}\int_t^{t+h} u(s)ds-u(t)\right\|$
$\le\limsup_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}\int_t^{ t+h }\|u(t)-u(s)\|ds\le2\|u(s)-c_k\|$
由于 $k$ 是任意的, 并且 $\{c_k\}$ 在 $X$ 中稠密, 故 $\limsup_{h\rightarrow0}\left\|\frac{1}{h}\int_t^{t+h} u(s)ds-u(t)\right\|$ 別無選擇, 只能是 $0$ . $\blacksquare$

下面是一個重要的定理, 它幫助我們理解不同空間上的Bochner積分之間的關(guān)系, 這對初學(xué)者(比如我)來說尤為重要, 它可以幫助澄清許多問題.

定理13. 設(shè) $X,Y$ 都是Banach空間, $u:S\rightarrow X$ 是Bochner可積函數(shù), $T\in B(X,Y)$ , 則 $T\circ u$ 也是Bochner可積函數(shù), 并且 $\int_STud\mu=T\int_Sud\mu$ .

為了說明它澄清了什么問題, 我們看一個例子. 設(shè) $u\in C([0,T];{\cal S}(\mathbb{R}^d))$ , 那么我們當(dāng)然有 $u\in C([0,T];L^1)$ , 也有 $u\in C([0,T];L^2)$ , 那么 $\int_0^Tu(t)dt$ 可以在 $L^1$ 中進行, 也可以在 $L^2$ 中進行, 那么我們怎么知道它們是否一樣呢?事實上, 我們還有 $u\in C([0,T];L^1\cap L^2)$ , 所以我們可以在 $L^1\cap L^2$ 內(nèi)考慮這個積分. 由于包含映射 $i: L^1\cap L^2\rightarrow L^1$ 是有界的, 所以我們知道 $i\int_0^Tudt=\int_0^Tiudt$ , 左邊是 $L^1\cap L^2$ 中的積分再映入 $L^1$ 中, 右邊是在 $L^1$ 中進行積分, 這個等式說明它們在 $L^1$ 中一致, 那當(dāng)然是幾乎處處相等的. 類似地, $L^2$ 中的積分也可以這么考慮, 所以不論是 $L^1$ 中的積分還是 $L^2$ 中的積分, 它們最后都幾乎處處等于 $L^1\cap L^2$ 中的積分, 它們倆當(dāng)然也幾乎處處相等.

但是我們以后也會看到, 在不同空間中積分有時候也會帶來質(zhì)的差別.

關(guān)于Bochner積分的最后一件事是建立Fubini定理. 我們在應(yīng)用上用不到抽象版本的Fubini定理, 所以只需建立 $\mathbb{R}^d$ 上的就夠了. 我們用 $(x,y)$ 來標(biāo)記 $\mathbb{R}^{m+n}$ 中的點, 其中 $x\in \mathbb{R}^m$ , $y\in\mathbb{R}^n$ .

定理14(向量值Fubini定理). 設(shè) $f\in L^1(\mathbb{R}^{m+n};X)$ , 記 $f^x(y):=f(x,y)$ , $f^y(x):=f(x,y)$ . 則
(1)對幾乎處處的 $x$ , 有 $f^x\in L^1(\mathbb{R}^n;X)$ ; 對幾乎處處的 $y$ , 有 $f^y\in L^1(\mathbb{R}^m;X)$ .
(2)令 $F(x):=\int_{\mathbb{R}^n}f^x(y)dy$ ( $f^x$ 不可積時取函數(shù)值為零), 類似地 $G(y)=\int_{\mathbb{R}^m}f^y(x)dx$ . 則 $F\in L^1(\mathbb{R}^m;X)$ , $G\in L^1(\mathbb{R}^n;X)$ , 并且
$\int_{\mathbb{R}^{m+n}}fdxdy=\int_{\mathbb{R}^m}Fdx=\int_{\mathbb{R}^{n}}Gdy$
證明. 由于對稱性, 我們只處理 $f^x$ 以及 $F$ 就夠了, 另一半是完全類似的.
我們首先要證明對幾乎處處的 $x$ , $f^x$ 是強可測的. 設(shè)有簡單函數(shù) $f_n\rightarrow f$ a.e., 我們來證對幾乎處處的 $x$ , 有 $f_n^x\rightarrow f^x$ a.e..
令 $E$ 是 $f_n$ 不收斂到 $f$ 的 $\mathbb{R}^{m+n}$ 中的點全體, 則其測度 $\mathcal{L}^{m+n}(E)=0$ . 令 $E^x=E\cap\mathbb{R}^m_x=\{y|(x,y)\in E\}$ , 我們需要的是對幾乎處處的 $x$ , 有 $\mathcal{L}^n(E^x)=0$ . 考察 $\chi_E\in L^1(\mathbb{R}^{m+n})$ , Tonelli定理告訴我們, 對幾乎處處的 $x$ , $\chi_E^x$ 是可測的, 并且
$0=\int_{\mathbb{R}^{m+n}}\chi_Edxdy=\int_{\mathbb{R}^m}dx\int_{\mathbb{R}^n}\chi_E^xdy$
由于這些函數(shù)都是非負的,所以對幾乎處處的 $x$ , 有
$0=\int_{\mathbb{R}^n}\chi_E^xdy=\int_{\mathbb{R}^n}\chi_{E^x}dy=\mathcal{L}^n(E^x)$
這說明對幾乎處處的 $x$ , $f^x$ 是強可測的.
現(xiàn)在來證明(1), 注意到Bochner定理(定理9), 我們知道這只消對 $\|f\|$ 使用Tonelli定理.
現(xiàn)在還剩(2)未證. 再次注意到Bochner定理, $F\in L^1(\mathbb{R}^m;X)$ 只是Tonelli定理的推論. 然后我們來證最重要的積分換序. 任取 $\varphi\in X^*$ , $\varphi\circ f\in L^1(\mathbb{R}^{m+n})$ . 利用標(biāo)量版本的Fubini定理, 有
$\int_{\mathbb{R}^{m+n}}\langle\varphi,f(x,y)\rangle dxdy=\int_{\mathbb{R}^m}dx\int_{\mathbb{R}^n}\langle\varphi,f^x(y)\rangle dy$
注意定理13, 有
$LHS=\langle\varphi,\int_{\mathbb{R}^{m+n}}f(x,y)dxdy\rangle$
$RHS=\int_{\mathbb{R}^m}\langle\varphi,\int_{\mathbb{R}^n}f^x(y)dy\rangle dx=\langle\varphi,\int_{\mathbb{R}^m}\left(\int_{\mathbb{R}^n}f^x(y)dy\right)dx\rangle$
由 $\varphi$ 的任意性, 我們最后得到
$\int_{\mathbb{R}^{m+n}}f(x,y)dxdy=\int_{\mathbb{R}^m}F(x)dx$
這正是我們想要的. $\blacksquare$