前言
向被惠子老師發(fā)卡的阿光致敬
問題描述
- 場上站著3只精靈龍
- 我方手上一發(fā)復(fù)仇之怒
問題來了，復(fù)仇之怒打死1只，2只，3只精靈龍的概率
問題分析
還是用窮舉的方法去解決這個問題，不過因為概率空間比較大，我們編程實現(xiàn)。
思路
我們用0，1，2，3分別表示對方英雄，以及三只精靈龍，那么概率空間中的元素可以表示成一個1x8的向量。
例如：[0,1,2,3,3,2,0,0]表示8發(fā)復(fù)仇之怒分別打中0（英雄），1（第一只精靈龍），2（第二只精靈龍），... ，0(英雄)
那么這個離散概率空間的概率分布是什么呢，或者說每一個基礎(chǔ)元素的概率是多少呢？
為了解決這個問題，我們引入馬爾科夫鏈，為了敘述（畫圖）方便，我們就用這個圖來講述一下概率分布。
Alt text
上圖為問題《一只奧數(shù)飛彈打死一只精靈龍》的馬爾科夫鏈
- 最上層的一個節(jié)點為root，概率為1.（代表所有概率空間的概率）
- 第二層表示第一發(fā)飛彈的概率分布，為一個均勻的伯努利分布，即1/2的概率打到英雄，1/2的概率打到精靈龍，這樣概率就傳遞下來
- 第三層表示第二發(fā)飛彈的概率分布，我們知道第二發(fā)飛彈基于第一法飛彈的條件概率分布為一個均勻的伯努利分布，所以第二發(fā)飛彈的概率分布即為圖種所示的4個概率為1/4節(jié)點。
- 第四層表示第三發(fā)飛彈的概率分布，和第二發(fā)類似，但是有一個重要區(qū)別：當(dāng)前兩發(fā)飛彈都打中精靈龍時，第三發(fā)飛彈只能打臉。
- 馬爾可夫鏈中所有的葉子節(jié)點即為概率空間的元素。每個葉子節(jié)點的概率由馬爾可夫鏈傳遞下來。
- 精靈龍被消滅這個事件的概率即為所有(精靈龍被消滅的)葉子節(jié)點的概率和（1/8 + 1/8 + 1/4)
同樣類似，對于本文中的問題
- 最上層的一個節(jié)點為root，概率為1.（代表所有概率空間的概率）
- 每一個父節(jié)點擁有4個子節(jié)點（0，1，2，3），因為飛彈有4總選擇可能
- 單出現(xiàn)一只精靈龍死亡的情況是，比如精靈龍1死亡，那么一個父節(jié)點只有3個子節(jié)點（0，2，3），并依此類推
- 一共有9層馬爾可夫鏈（因為我們有8發(fā)飛彈么）
- 9層馬爾科夫鏈的所有葉子節(jié)點即為所有的元素，他們的概率由馬爾科夫鏈概率傳導(dǎo)可得。
- 精靈龍被消滅這個事件的概率可由所有對應(yīng)葉子節(jié)點的和來計算。
