威爾遜區(qū)間算法

在不考慮時(shí)間的情況下，以「贊成」和「反對(duì)」兩種評(píng)價(jià)方式為例，通常我們會(huì)有兩種最基礎(chǔ)的方法計(jì)算得分。

第一種為絕對(duì)分?jǐn)?shù)

這種計(jì)算方式有時(shí)會(huì)存在一定問題，例如：A 獲得 60 張贊成票，40 張反對(duì)票；B 獲得 550 張贊成票，450 張反對(duì)票。根據(jù)上式計(jì)算可得 A 的評(píng)分為 20，B 的評(píng)分為 100，所以 B 要優(yōu)于 A。但實(shí)際上，B 的好評(píng)率僅有 ，而 A 的好評(píng)率為 ，因此實(shí)際情況應(yīng)該是 A 優(yōu)于 B。

這樣，我們就得到了第二種，相對(duì)分?jǐn)?shù)

這種方式在總票數(shù)比較大的時(shí)候沒有問題，但總票數(shù)比較小時(shí)就容易產(chǎn)生錯(cuò)誤。例如：A 獲得 2 張贊成票，0 張反對(duì)票；B 獲得 100 張贊成票，1 張反對(duì)票。根據(jù)上式計(jì)算可得 A 的評(píng)分為 100% ，B 的評(píng)分為 99% 。但實(shí)際上 B 應(yīng)該是優(yōu)于 A 的，由于 A 的總票數(shù)太少，數(shù)據(jù)不太具有統(tǒng)計(jì)意義。

對(duì)于這個(gè)問題，我們可以抽象出來：

1. 每個(gè)用戶的投票都是獨(dú)立事件。
2. 用戶只有兩個(gè)選擇，要么投贊成票，要么投反對(duì)票。
3. 如果投票總?cè)藬?shù)為 ，其中贊成票為 ，則贊成票的比例 。

不難看出，上述過程是一個(gè)二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)。 越大表示評(píng)分越高，但是 的可信性取決于投票的人數(shù)，如果人數(shù)太少， 就不可信了。因此我們可以通過計(jì)算 的置信區(qū)間對(duì)評(píng)分算法進(jìn)行調(diào)整如下：

1. 計(jì)算每個(gè)項(xiàng)目的好評(píng)率。
2. 計(jì)算每個(gè)好評(píng)率的置信區(qū)間。
3. 根據(jù)置信區(qū)間的下限值進(jìn)行排名。

置信區(qū)間的本質(zhì)就是對(duì)可信度進(jìn)行修正，彌補(bǔ)樣本量過小的影響。如果樣本足夠多，就說明比較可信，則不需要很大的修正，所以置信區(qū)間會(huì)比較窄，下限值會(huì)比較大；如果樣本比較少，就說明不一定可信，則需要進(jìn)行較大的修正，所以置信區(qū)間會(huì)比較寬，下限值會(huì)比較小。

二項(xiàng)分布的置信區(qū)間有多種計(jì)算公式，最常見的「正態(tài)區(qū)間」方法對(duì)于小樣本準(zhǔn)確性較差。1927 年，美國(guó)數(shù)學(xué)家 Edwin Bidwell Wilson 提出了一個(gè)修正公式，被稱為「威爾遜區(qū)間」，很好地解決了小樣本的準(zhǔn)確性問題。置信區(qū)間定義如下：

其中， 表示樣本好評(píng)率， 表示樣本大小， 表示某個(gè)置信水平的 統(tǒng)計(jì)量。

貝葉斯平均算法

在一些榜單中，有時(shí)候會(huì)出現(xiàn)排行榜前列總是那些票數(shù)最多的項(xiàng)目，新項(xiàng)目或者冷門的項(xiàng)目很難有出頭機(jī)會(huì)，排名可能會(huì)長(zhǎng)期靠后。以世界最大的電影數(shù)據(jù)庫(kù) IMDB 為例，觀眾可以對(duì)每部電影投票，最低為 1 分，最高為 10 分，系統(tǒng)根據(jù)投票結(jié)果，計(jì)算出每部電影的平均得分。

這就出現(xiàn)了一個(gè)問題：熱門電影與冷門電影的平均得分，是否真的可比？例如一部好萊塢大片有 10000 個(gè)觀眾投票，一部小成本的文藝片可能只有 100 個(gè)觀眾投票。如果使用威爾遜區(qū)間算法，后者的得分將被大幅拉低，這樣處理是否公平，是否能反映電影的真正質(zhì)量呢？在 Top 250 榜單中，IMDB 給到的評(píng)分排名計(jì)算公式如下：

其中， 為最終的加權(quán)得分， 為該電影用戶投票的平均得分， 為該電影的投票人數(shù)， 為排名前 250 電影的最低投票數(shù)， 為所有電影的平均得分。

從公式中可以看出，分量 可以看作為每部電影增加了評(píng)分為 的 張選票。然后再根據(jù)電影自己的投票數(shù)量 和投票平均分 進(jìn)行修正，得到最終的分?jǐn)?shù)。隨著電影投票數(shù)量的不但增加 占的比重將越來越大，加權(quán)得分也會(huì)越來越接近該電影用戶投票的平均分。也可以將公式寫為更一般的形式：

其中， 為需要擴(kuò)充的投票人數(shù)規(guī)模，可以根據(jù)投票人數(shù)總量設(shè)置一個(gè)合理的常數(shù)， 為當(dāng)前項(xiàng)目的投票人數(shù)， 為每張選票的值， 為總體的平均分。這種算法稱為「貝葉斯平均」。在這個(gè)公式中，
可以視為“先驗(yàn)概率”，每新增一次投票，都會(huì)對(duì)最終得分進(jìn)行修正，使其越來越接近真實(shí)的值。