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課前導讀

有時樣本空間不一定是數(shù)集，不便用數(shù)學方法來處理。為了能進行定量的數(shù)學處理，必須要把隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化。因此引入了隨機變量，將樣本空間轉(zhuǎn)化為一個無量綱的數(shù)集。

第一節(jié) 隨機變量及其分布

一、隨機變量的定義

隨機變量：對樣本空間 $\Omega$ 中的每一個樣本點 $\omega$ ，有唯一一個實數(shù) $X(\omega)$ 與它對應(yīng)。

隨機變量一般用大寫字母

X,Y

等來表示，隨機變量的取值一般用小寫字母

x,y

等來表示。

離散型隨機變量：一個隨機變量的取值有限或可列
非離散型隨機變量：一個隨機變量的取值充滿了數(shù)軸上的一個區(qū)間。連續(xù)型隨機變量就是非離散型隨機變量中最常見的一類。

隨機變量的引入是概率論發(fā)展走向成熟的一個標志，引入隨機變量后，可以使用數(shù)學中的微積分工具討論隨機變量的分布。

二、隨機變量的分布函數(shù)

分布函數(shù)的定義：

由該定義可得：

三、離散型隨機變量及其分布律

若隨機變量X的值域為有限集或可列集，此時稱X為（一維）離散型隨機變量。
分布律(分布列、概率函數(shù))：

四、連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)

當描述連續(xù)性隨機變量時，用于描述離散型隨機變量的分布律就無法再使用了，而要改用概率密度函數(shù)。

概率密度函數(shù)的定義：

概率密度函數(shù) $f(x)$ 與分布函數(shù) $F(x)$ 之間的關(guān)系：

連續(xù)型隨機變量具有下列性質(zhì)：

這一性質(zhì)可以幫助我們判斷一個非離散型隨機變量是否為連續(xù)型隨機變量。如果一個非離散型隨機變量不存在離散的點，它的概率不為0，則該隨機變量為連續(xù)型隨機變量。

第二節(jié) 常用的離散型隨機變量

一、二項分布

伯努利試驗：隨機試驗只有兩種結(jié)果 $A$ 和 $\overline A$ 。設(shè)A在一次試驗中發(fā)生的概率 $P(A)=p,(0<p<1)$ ,則 $P(\overline A) = 1-p$
n重伯努利試驗：將該隨機試驗獨立重復(fù)地進行n次。

記隨機變量 $X$ 表示A事件發(fā)生的次數(shù)，在n重伯努利試驗中 $A$ 事件發(fā)生K次，即 ${X=k}$ 的概率為：

稱隨機變量 $X$ 服從參數(shù)為 $n,p$ 的二項分布，記為 $X\sim B(n,p)$

特別地，當 $n=1$ 時， $X\sim B(1,p)$ ，此時稱隨機變量 $X$ 服從參數(shù)為 $p, (0<p<1)$ 的0-1分布（或伯努利分布、兩點分布）。相應(yīng)的分布律為：

二、泊松分布

泊松分布于1837年由法國數(shù)學家播送首次提出。
泊松分布的定義 $X \sim P(\lambda)$ ：

泊松分布也是一種常用的離散型分布，它常常與技術(shù)過程相聯(lián)系。

泊松分布還有一個非常有用的性質(zhì)：可以作為二項分布的一種近似。
在二項分布計算中，當 $n$ 較大時，計算結(jié)果非常不理想，如果 $p$ 較小而 $np=λ$ 適中時，我們常用泊松分布的概率值近似取代二項分布的概率值。

泊松定理：當 $n \rightarrow +\infty$ 時，有 $np_n \rightarrow \lambda (\gt 0)$ ，則

三、超幾何分布

不放回地抽取則為超幾何分布。

若將不放回抽樣改成有放回抽樣，則這個模型就是n重伯努利試驗。

即在實際應(yīng)用中，當 $n \lt \lt N$ 時，抽取個數(shù)n遠小于產(chǎn)品總數(shù)N時，每次抽取后，總體中的不合格率 $p= \frac{M}{N}$ 改變很微小，所以不放回抽樣可以近似地看成有放回抽樣，這時超幾何分布可用二項分布近似。

四、幾何分布與負二項分布

在伯努利試驗中，設(shè)隨機變量X表示A事件首次出現(xiàn)時已經(jīng)實驗的次數(shù)，記為 $X \sim Ge(p)$ 。

幾何分布具有無記憶性的性質(zhì)，這個條件概率只與n有關(guān)，與m無關(guān)。

負二項分布
負二項分布時幾何分布的一個延申。
在伯努利試驗中，設(shè)隨機變量X表示A事件第r次出現(xiàn)時已經(jīng)試驗的次數(shù)，記為 $X \sim NB(r,p)$ ，r=1時即為幾何分布。

第三節(jié) 常用的連續(xù)型隨機變量

一、均勻分布

記為 $X \sim U(a,b)$

均勻分布的隨機變量X，在其取值范圍 $(a,b)$ 中的任何子區(qū)間取值的概率僅與該區(qū)間長度d有關(guān)而與區(qū)間的位置c無關(guān)。

二、指數(shù)分布

記為 $X \sim E(\lambda)$

服從指數(shù)分布的隨機變量只能取非負實數(shù)，它常被用作各種“壽命”分布，如電子元件的壽命、隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間等。

指數(shù)分布在可靠性與排隊論中有著廣泛的應(yīng)用。

同樣，指數(shù)分布同幾何分布相似，也具有無記憶性。

三、正態(tài)分布

又稱為高斯分布，記為 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$
$\mu$ 稱為位置參數(shù)
$\sigma$ 稱為尺度參數(shù)， $\sigma$ 越小，曲線越陡峭。
當 $\mu = 0, \sigma=1$ 時，相應(yīng)的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記為 $X\sim N(0,1)$