1、概述
上節(jié)提到，3D圖形的移動(dòng)，旋轉(zhuǎn)，縮放等變換，都是通過乘以一個(gè)矩陣實(shí)現(xiàn)。那么為什么通過矩陣就可以實(shí)現(xiàn)呢？本節(jié)主要是探討這個(gè)問題。要理解本節(jié)內(nèi)容，你最好有點(diǎn)向量和矩陣的知識(shí)。
- 向量：有大小和方向的有向線段。物體的每一點(diǎn)，就是物體原點(diǎn)到每一點(diǎn)的向量，表示為：[1,0,0]等，也可以理解為點(diǎn)的坐標(biāo)。
- 矩陣：可以理解為二維數(shù)組，OpenGL只考慮3x3或者4x4的矩陣。
更多向量和矩陣知識(shí)，請(qǐng)查閱：3D圖形.pdf-對(duì)應(yīng)向量和矩陣章節(jié)
2、向量變換
物體通過矩陣進(jìn)行變換，其實(shí)就是物體里面的每個(gè)點(diǎn)（向量）通過矩陣進(jìn)行變換。所以我們可以簡單討論向量通過矩陣的變換：
公式：新向量 = 矩陣 x 向量（v' = Mv）
上面是向量和矩陣的乘法。
行向量與矩陣相乘，行向量必須在矩陣左邊，這叫行向量左乘，左乘才有意義。同理，列向量右乘才有意義。OpenGL使用列向量。后面的部分內(nèi)容可能還是使用行向量，原理一樣。
3、矩陣的幾何意義
矩陣是怎么變換向量的呢，或者說我們?cè)趺粗酪粋€(gè)矩陣表示的意義呢，是使向量旋轉(zhuǎn)了多少度，縮放了多少呢？
上圖，我們分別用x軸的單位向量（基向量）[1 0 0]，y軸的單位向量[0 1 0]，z軸的單位向量[0 0 1]，乘以矩陣，進(jìn)行向量變換。
[1 0 0]，x軸的單位向量，乘以矩陣后，得到了矩陣的第一行，所以矩陣的第一行就是x軸單位向量[1 0 0]經(jīng)過矩陣轉(zhuǎn)換后的向量。以后我們看到矩陣的第一行，就知道了x軸單位向量[1 0 0]變換后的向量。
同理，[0 1 0]y軸單位向量經(jīng)過矩陣變換為第二行，[0 0 1]z軸單位向量經(jīng)過矩陣變換為第三行。
知道上面的原理后，我們就可以進(jìn)行下面的推導(dǎo)了：
矩陣為：
所以：
x軸基向量[1 0] --> [2 1]
y軸基向量[0 1] --> [-1 2]
所以我們就可以得到右圖
反過來，如果我們想讓左圖轉(zhuǎn)變?yōu)橛覉D，根據(jù)右圖的x軸和y軸，反推出矩陣。
再來看個(gè)三維的例子：
矩陣意義總結(jié)：
我們可以推理出：
1、繞x軸旋轉(zhuǎn)的矩陣為：
2、繞y軸旋轉(zhuǎn)的矩陣為：
3、繞z軸旋轉(zhuǎn)的矩陣為：
縮放：
4、4x4矩陣
平移，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，按上面的理論，根本無法表示平移？
上面的變換都是圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)的，平移會(huì)使物體離開原點(diǎn)，一個(gè)3x3的矩陣是無法表示平移的。
要加入平移，我們得用4x4的矩陣，如下圖：
藍(lán)色部分：我們知道旋轉(zhuǎn)、縮放等的線性變換只需要通過3x3的矩陣就可以。所以這里的藍(lán)色部分矩陣就代表線性變換（線性變換包括旋轉(zhuǎn)，縮放等，表示的變換原點(diǎn)位置是不變的）。
紫色：表示投影相關(guān)參數(shù)，暫不關(guān)注。
綠色：
看下面例子：
向量[Vx Vy Vz] 分別產(chǎn)生了 tx、ty、tz的平移量。比如原點(diǎn)[0 0 0]就變成了[tx ty tz]
下面我們通過幾個(gè)例子加深理解向量的仿射變換（仿射變換包括線性變換，可以理解為增加了平移的線性變換）：
1、平移：
2、放大：
3、旋轉(zhuǎn)
4、組合
向量 v' = Mv
矩陣 M = TR T為平移矩陣，R為旋轉(zhuǎn)矩陣
所以 v' = (TR)v
