simth圓圖

一、simth圓圖：計算阻抗，反射系數(shù)等

1、在射頻電路中，經(jīng)常遇到阻抗計算問題：

Z_{in} =Z_{c}\frac{Z_{L}+Z_{c}j \tan \beta l }{Z_{c}+Z_{L}j \tan \beta l}


? ? ? ? 今天，計算機計算已變得非常容易，精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于作圖法。但是，并不能說作圖法就無用了，更不能說圓圖就可以淘汰了，因為圓圖不僅可以簡化計算，更重要的是可以提供清晰的幾何概念和物理意義。

2、阻抗的計算問題包括：

反射系數(shù)的模?\vert \Gamma \vert

反射系數(shù)的相位\phi =-2j\beta l

輸入阻抗的實部（電阻）R_{in}

輸入阻抗的虛部（電納）X_{in}

? ? ? ?在以反射系數(shù)的實部和虛部構(gòu)成的坐標(biāo)系中，反射系數(shù)的模、輸入阻抗的實部（電阻）和虛部（電納）都構(gòu)成圓，反射系數(shù)的相位構(gòu)成射線。正是這些圓和射線構(gòu)成了Smith圓圖。

3、考慮無耗傳輸線

在 \Gamma 平面內(nèi)（實部為橫坐標(biāo)，虛部為豎坐標(biāo)）

\vert \Gamma(l) \vert=常數(shù)<=1是一簇單位圓內(nèi)的圓

\phi =常數(shù)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?是一簇從原點發(fā)出的射線


? ? ? ?當(dāng)從負(fù)載向電源方向行進時（-2j\beta l l變長），反射系數(shù)在平面上的軌跡是包含在單位圓內(nèi)沿順時針旋轉(zhuǎn)的圓（負(fù)相角）。反之，當(dāng)從電源向負(fù)載方向行進時l變短負(fù)向角變小，圓是逆時針旋轉(zhuǎn)（正相角）。

角度\phi 逆時針旋轉(zhuǎn)一周，對應(yīng)于傳輸線段長度向負(fù)載方向變化了\lambda /2；

角度\phi 順時針旋轉(zhuǎn)一周，對應(yīng)于傳輸線段長度向電源方向變化了\lambda /2


4、例題

已知\Gamma _{L} =0.7 ，求L=0.1875\lambda 處的\Gamma(l)

解：因為

位于圖上A點。向電源方向等圓順時轉(zhuǎn)0.1875到B點，

2*0.1875*360=135° 于是\Gamma (d) =0.7e ^j135° 。

注意：

\phi 變 \pi ，l變化\frac{\lambda }{4} =0.25\lambda

要注意旋轉(zhuǎn)方向

?對于\Gamma 圓， \frac{l}{\lambda } 的起始點任意，因為我們求的是兩點間的電長度，與起始點無關(guān)。 但為了方便，規(guī)定取 \phi =0°時 ，\frac{l}{\lambda } =0.25；\phi =180°時\frac{l}{\lambda } =0

當(dāng)傳輸線有耗（小損耗）時，反射系數(shù)的相位特性不變，模不再是圓。

例如， \Gamma _{L} 在A點，順時等圓旋轉(zhuǎn)到B，得到\phi (l) ，設(shè)\alpha l=0.1 ，于是到C點得\vert \Gamma (l) \vert 。

二、歸一化阻抗圓

我們希望能在Γ平面上反映阻抗特性

設(shè)\Gamma =\Gamma _{r} +j\Gamma _{i}? 有\tilde{Z} =\frac{Z_{in} }{Z_{c}} =r+jx歸一化阻抗

由\Gamma =\frac{\tilde{Z}-1 }{\tilde{Z}+1 } 得到(\Gamma _{r} +j\Gamma _{i})(r+1+jx)=r-1+jx

于是\Gamma _{r}(r+1)-\Gamma _{i}x=r-1\Rightarrow r+1=\frac{\Gamma _{i}x-2}{\Gamma _{r} -1}

\Gamma _{r}x +\Gamma _{i}(r+1)=x\Rightarrow x=\frac{\Gamma _{i}}{1-\Gamma _{r} }(r+1)

電阻圓（歸一化阻抗實部）
電抗圓（在反射系數(shù)為1的圓內(nèi)）

將\vert \Gamma \vert 圓、\phi 射線、r圓、x圓在Γ平面匯集，便構(gòu)成Smith阻抗圓圖。

Smith阻抗圓圖

Smith阻抗圓圖的特點：

上半圓內(nèi)的阻抗為感抗：X L > 0；下半圓內(nèi)的阻抗為容抗：XL < 0；

實軸上的阻抗為純電阻；

左邊實軸上的點代表電壓最小點Z=R_{min} =\frac{Z _{c} }{\rho } ：

右邊實軸上的點代表電壓最大點：Z=R_{max } =\frac{Z _{c} }{\rho }

實軸左邊端點為阻抗短路點：Z=0

實軸右邊端點為阻抗開路點：Z\rightarrow 無窮

圓圖中心點為阻抗匹配點 ：Z=Z_{c}

整個圓電長度以 0.5\lambda 為周期，所謂 \frac{\lambda }{2} 阻抗重復(fù)性。

1. 用阻抗圓圖由導(dǎo)納求導(dǎo)納


所以只要作下面代替：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??r\rightarrow g ; x\rightarrow b ;\Gamma \rightarrow -\Gamma

就可以直接用Smith阻抗圓圖計算導(dǎo)納。

但要注意，同時要做下列變換：

開路點和短路點互換;上半圓為容抗;下半圓為感抗;電壓最大點與最小點互換;平面坐標(biāo)軸反向。

2、 用阻抗圓圖從阻抗求導(dǎo)納或由導(dǎo)納求阻抗

可見，如果在阻抗圓圖上已知某個歸一化阻抗點，則沿著反射系數(shù)圓旋轉(zhuǎn)180° 后的對應(yīng)點就是與之對應(yīng)的歸一化導(dǎo)納值，所謂\frac{\lambda }{4} 阻抗倒置性。

3. 導(dǎo)納圓圖

把整個阻抗圓圖旋轉(zhuǎn)180° ，就得到了導(dǎo)納圓圖，但這時圖上的特征點不變， \Gamma 平面坐標(biāo)軸不變。


三、 圓圖應(yīng)用
Smith圓圖常應(yīng)用于下列問題的計算：

由負(fù)載阻抗求線上的駐波比或反射系數(shù)和輸入阻抗。

由負(fù)載阻抗求電壓波腹點及波節(jié)點位置。

由駐波比和第一個波腹點或波節(jié)點的位置求負(fù)載阻抗。

?阻抗與導(dǎo)納的互換。

已知傳輸線的特性阻抗 Zc=50Ω ,負(fù)載阻抗 ZL=50+j50Ω。求離負(fù)載 l=0.25λ 處的輸入阻抗和駐波比

解:

求歸一化阻抗?\tilde{Z_{L} } =\frac{Z_{L} }{Z_{c}} =1+j圓圖上對應(yīng)a點，

其對應(yīng)的電長度\tilde{l} =0.162


116/360*0.5=0.162

a點沿等\Gamma 圓順時針方向轉(zhuǎn)\tilde{l} =0.25至b點，對應(yīng)的電長度\tilde{l} =0.412

讀取b點的坐標(biāo)為0.5-j0.5，故所求的輸入阻抗為

過b點的等Γ圓與正實軸相交點的標(biāo)度為2.6，故ρ = 2.6


例三、已知傳輸線的特性阻抗 ZC=50Ω ,負(fù)載阻抗ZL=50+j50Ω求電壓駐波最大點、最小點的位置及反射系數(shù)


例三、已知傳輸線的特性阻抗為Z_{c} =50Ω,當(dāng)終端接入Z_{L} 時測得線上的駐波比ρ=2，當(dāng)線的末端短路時，電壓最小點往負(fù)載方向移動了0.15λ。

解：由題意可知，當(dāng)終端短路時，終端就是電壓最小點，因此，當(dāng)終端接負(fù)載時，電壓最小點距離負(fù)載0.15λ。電壓最小點位于圓圖的左半實軸。

已知傳輸線的特性阻抗為ZC=50Ω,當(dāng)終端接入ZL時測得線上的駐波比ρ=2，當(dāng)線的末端短路時，電壓最小點往負(fù)載方向移動了0.15λ。

解：由題意可知，當(dāng)終端短路時，終端就是電壓最小點，因此，當(dāng)終端接負(fù)載時，電壓最小點距離負(fù)載0.15λ。電壓最小點位于圓圖的左半實軸。

畫ρ=2的等反射系數(shù)圓從左半實軸oB端（電壓最小點)逆時針方向移動(向負(fù)載方向） 至oa段。oa線段與ρ=2的等反射系數(shù)圓相較于b點，讀取b的坐標(biāo)\tilde{Z_{L} } =1-j0.65 ，故負(fù)載為

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