1. Kleisli Arrow

Arrow是Control.Arrow模塊定義的一個(gè)類型類（class），
包含了，arr，first，second，(***)，以及(&&&)這幾個(gè)方法。

對(duì)于每一個(gè)Monad，我們可以定義相應(yīng)的Kleisli Arrow，

newtype Kleisli m a b = Kleisli {
  runKleisli :: (a -> m b) 
}

例子：因?yàn)?code>[]是一個(gè)Monad，

import Control.Arrow

double' :: Kleisli [] Integer Integer
double' = arr (*2)

runKleisli double' 1
> [2]

2. Kleisli Category

In category theory, a Kleisli category is a category naturally associated to any monad T.

為此，我們先看在范疇論（category theory）中Monad是怎樣定義的，

因此，一個(gè)Monad (T, η, μ)就是一個(gè)自函子T，以及兩個(gè)自然變換η和μ，
并且滿足一些約束條件（law）。

然后，再看Kleisli Category的定義，

因此，假設(shè)范疇X中定義了一個(gè)Monad T，則X對(duì)應(yīng)的Kleisli Category，
它的對(duì)象（object）一一對(duì)應(yīng)范疇X中的對(duì)象，
它的箭頭（arrow）一一對(duì)應(yīng)范疇X中的箭頭，f : x -> T y，
這個(gè)箭頭，正是Monad T對(duì)應(yīng)的Kleisli Arrows。

附

使用Haskell，表示自函子（endofunctor）與自然變換（natural transformation）。

-- 自函子T，作用在對(duì)象上時(shí)
fObj :: (Applicative f) => a -> f a
fObj = pure

-- 自函子T，作用在箭頭上時(shí)
fArr :: (Applicative f) => (a -> b) -> (f a -> f b)
fArr = fmap

-- 自函子T·T
f2Obj :: (Applicative f) => a -> f (f a)
f2Obj = fObj . fObj

f2Arr :: (Applicative f) => (a -> b) -> (f (f a) -> f (f b))
f2Arr :: fArr . fArr

-- 單位自函子，作用到對(duì)象上時(shí)
iObj :: a -> a
iObj = id

-- 單位自函子，作用到箭頭上時(shí)
iArr :: (a -> b) -> (a -> b)
iArr = id

-- 自然變換 μ : T·T -> T，分量 μ a : T·T a -> T a
μ :: (Applicative f) => a -> f (f a) -> f a

-- 自然變換 η:I -> T，分量 η a : I a -> T a
η :: (Applicative f) => a -> a -> (f a)

參考

Kleisli Arrows
Kleisli Category
Monad
Monads and Algebra structures