線性代數(shù)是數(shù)學(xué)工具
掌握它，打開(kāi)數(shù)學(xué)的另一扇大門(mén)
1：聲明
非原創(chuàng)，筆記系誕生于10年前的孟巖先生的《理解矩陣》篇。
原文鏈接：===> 是它，就是它，殺死它
為什么會(huì)今天被我看到，進(jìn)而進(jìn)行了整理。
因?yàn)?，此刻，線性代數(shù)已經(jīng)不再是用來(lái)應(yīng)付考試的一門(mén)普通數(shù)學(xué)科目。它已經(jīng)成為了阻礙繼續(xù)精進(jìn)的巨大“石塊”，所以需要移去。問(wèn)題轉(zhuǎn)換成為了主動(dòng)遇到的問(wèn)題。
回過(guò)頭可以再繼續(xù)看任何一本線性代數(shù)教材：線性空間與線性變換篇。
此刻線性代數(shù)沒(méi)能成為你的問(wèn)題的話，看這篇筆記的收獲并不會(huì)很大。
系學(xué)習(xí)編程技術(shù)的“小學(xué)生”，有錯(cuò)誤歡迎斧正。
下面的筆記整理系知識(shí)點(diǎn)的說(shuō)明.
主要的內(nèi)容：
- 空間
- 線性空間，基
- 向量
- 矩陣，矩陣乘法
- 變換，線性變換
- 相似矩陣
2：空間
2.1： 坐標(biāo)系
概念：在參照系中，為確定空間一點(diǎn)的位置，按規(guī)定方法選取的有次序的一組數(shù)據(jù)，這就叫做“坐標(biāo)”.
作用：為了說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)的位置、運(yùn)動(dòng)的快慢、方向等
說(shuō)明：最為常見(jiàn)的是數(shù)學(xué)中建立坐標(biāo)系解決幾何問(wèn)題，假如我們?cè)贏4紙面上進(jìn)行建立坐標(biāo)，原則上，建立原點(diǎn)，紙面上的另一個(gè)點(diǎn)都能進(jìn)行用坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行描述。
2.2：三維空間
概念：三維空間：三維空間，日常生活中可指由長(zhǎng)、寬、高三個(gè)維度所構(gòu)成的空間。而且日常生活中使用的“三維空間”一詞，常常是指三維的歐幾里德空間。
特征：
- 存在很多位置點(diǎn)
- 位置點(diǎn)存在相對(duì)關(guān)系
- 空間點(diǎn)可以定義長(zhǎng)度，角度等
- 這個(gè)空間點(diǎn)可以從一個(gè)點(diǎn)移動(dòng)(變換)到另一個(gè)點(diǎn)
2.3：空間與線性空間
孟巖先生認(rèn)為：空間中最重要的特征是：可以存在一個(gè)點(diǎn)移動(dòng)(變換)到另一個(gè)點(diǎn)。
“空間”是容納運(yùn)動(dòng)的一個(gè)對(duì)象集合，而變換則規(guī)定了對(duì)應(yīng)空間的運(yùn)動(dòng)。
空間是一個(gè)對(duì)象的集合，集合元素對(duì)象間可以存在某些相互變換關(guān)系。
-
線性空間
線性空間是上述定義空間中的一種，也存在上述的特征。
線性空間中任何一個(gè)對(duì)象，選取基和坐標(biāo)，可以用向量的形式進(jìn)行表示。
正規(guī)的數(shù)學(xué)中對(duì)線性代數(shù)的定義：
- 線性空間是一個(gè)對(duì)象的集合
- 線性空間元素對(duì)象中存在相互關(guān)系(加法，乘法)
引出問(wèn)題：線性空間中的任意元素如何表示？
- 基：
數(shù)學(xué)定義：
在二維空間中舉的坐標(biāo)的例子，可以看做是A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)位置的時(shí)在坐標(biāo)系下的表示為B點(diǎn)的坐標(biāo)值,一方面B點(diǎn)可以表示二維坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)可以表示為點(diǎn)A坐標(biāo)的變換后在坐標(biāo)系中的表示。這種變換我們使用了數(shù)量關(guān)系2達(dá)到了實(shí)現(xiàn)。
上述基術(shù)語(yǔ)的定義指出了線性空間中的任一元素要表示出來(lái)需要基，但是基的定義不唯一，但元素間需要符合線性無(wú)關(guān)的性質(zhì)
引出問(wèn)題：那么線性空間元素間的關(guān)系如何表示？
在線性空間中，當(dāng)你選定一組基之后，不僅可以用一個(gè)向量來(lái)描述空間中的任何一個(gè)對(duì)象，而且可以用矩陣來(lái)描述該空間中的任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)（變換）。而使某個(gè)對(duì)象發(fā)生對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)的方法，就是用代表那個(gè)運(yùn)動(dòng)的矩陣，乘以代表那個(gè)對(duì)象的向量。
孟巖先生認(rèn)為：矩陣的本質(zhì)是運(yùn)動(dòng)的描述
這種運(yùn)動(dòng)并不值連續(xù)意義上的運(yùn)動(dòng)，而是指某種“躍遷”.而這種躍遷的形式在線性代數(shù)里指：線性變換
2.4：線性變換
線性變換指的空間里從一個(gè)點(diǎn)（元素/對(duì)象）到另一個(gè)點(diǎn)（元素/對(duì)象）的躍遷。
那么誰(shuí)來(lái)表示這種變換的形式呢？
矩陣：是線性空間里變換的描述形式。
梳理下思路：
- 基是一組向量，可以看成是線性空間的坐標(biāo)系(類比二維空間坐標(biāo)系的建立不唯一，所以基也不唯一，二維，三維坐標(biāo)軸相互垂直，類比組成基的向量線性無(wú)關(guān))
- “矩陣是線性空間中的線性變換的一個(gè)描述。在一個(gè)線性空間中，只要我們選定一組基，那么對(duì)于任何一個(gè)線性變換，都能夠用一個(gè)確定的矩陣來(lái)加以描述?！?類比上述例子中坐標(biāo)點(diǎn)A和B的轉(zhuǎn)換關(guān)系是2倍的關(guān)系，這個(gè)2描述的就是二維空間點(diǎn)坐標(biāo)變換的形式，多維空間是矩陣形式。)
- 由于基的不唯一性，對(duì)于一個(gè)線性變換，只要你選定一組基，那么就可以找到一個(gè)矩陣來(lái)描述這個(gè)線性變換。換一組基，就得到一個(gè)不同的矩陣。所有這些矩陣都是這同一個(gè)線性變換的描述，但又都不是線性變換本身。
如何表示出同一線性變換的描述形式呢？
再次舉例：
實(shí)際上這兩個(gè)點(diǎn)的位置并沒(méi)有發(fā)生變換,僅僅只是坐標(biāo)系的變換。
下述矩陣以方陣為例：
上述講述的其實(shí)是相似矩陣，這表示的是同一個(gè)線性變換的不同的描述矩陣。
矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基的描述。而作為變換的矩陣，不但可以把線性空間中的一個(gè)點(diǎn)給變換到另一個(gè)點(diǎn)去，而且也能夠把線性空間中的一個(gè)坐標(biāo)系（基）表?yè)Q到另一個(gè)坐標(biāo)系（基）去。而且，變換點(diǎn)與變換坐標(biāo)系，具有異曲同工的效果。線性代數(shù)里最有趣的奧妙，就蘊(yùn)含在其中。理解了這些內(nèi)容，線性代數(shù)里很多定理和規(guī)則會(huì)變得更加清晰、直覺(jué)。
- 基變換
可以理解為矩陣把兩個(gè)向量之間進(jìn)行了連接?；诖?，可以實(shí)現(xiàn)不同坐標(biāo)之間的變換。
2.5：再次理解矩陣
矩陣乘法
給出結(jié)論：
矩陣描述了一個(gè)坐標(biāo)系。
“運(yùn)動(dòng)等價(jià)于坐標(biāo)系變換”。
“對(duì)象的變換等價(jià)于坐標(biāo)系的變換”。
“固定坐標(biāo)系下一個(gè)對(duì)象的變換等價(jià)于固定對(duì)象所處的坐標(biāo)系變換?！?/strong>
比如：
上述式子可以理解為：“有一個(gè)向量，它在坐標(biāo)系M的度量下得到的度量結(jié)果向量為A，那么它在坐標(biāo)系I的度量下，這個(gè)向量的度量結(jié)果是B。”
上述式子可以理解為：“在M坐標(biāo)系里量出來(lái)的向量A，跟在I坐標(biāo)系里量出來(lái)的向量B,是同一個(gè)向量。
那如何度量坐標(biāo)系M中向量A在I單位坐標(biāo)系下的度量：
3：總結(jié)
希望不要被誤導(dǎo)了...
可以這么理解線性代數(shù)中關(guān)于矩陣，線性空間，線性變換等的概念
但是：上文只是幫助理解，卻實(shí)際上解決不了你的實(shí)際遇到的問(wèn)題，在理解層面上再繼續(xù)使用線性代數(shù)工具吧...
假設(shè)此刻矩陣等概念成為你的問(wèn)題，建議觀看原文
沒(méi)人吐槽簡(jiǎn)書(shū)數(shù)學(xué)公式的編輯么？
