機(jī)器人連桿坐標(biāo)系原點(diǎn)的角加速度和線加速度的推導(dǎo)

Craig書(shū)中的動(dòng)力學(xué)章節(jié)里給出了機(jī)器人連桿坐標(biāo)系原點(diǎn)的角加速度和線加速度遞推表達(dá)式，但書(shū)中只說(shuō)明了根據(jù)哪兩個(gè)表達(dá)式得到了該結(jié)論，實(shí)質(zhì)上還是需要一定的推導(dǎo)過(guò)程的，本文在此給出角加速度和線加速度的推導(dǎo)步驟，以便理解透徹。

  • 角加速度傳遞關(guān)系

p137頁(yè)提到，由（6-15）可以得到連桿之間角加速度變換的方程，先看（6-15）的描述：

假設(shè)坐標(biāo)系\{B\}以角速度{}^A\Omega_B相對(duì)于坐標(biāo)系\{A\}轉(zhuǎn)動(dòng)，坐標(biāo)系\{C\}以角速度{}^B\Omega_C相對(duì)于坐標(biāo)系\{B\}轉(zhuǎn)動(dòng)，可得到坐標(biāo)系\{C\}相對(duì)于坐標(biāo)系\{A\}的角加速度：

{}^A\dot\Omega_C={}^A\dot\Omega_B+{_B^A}R{}^B\dot\Omega_C+{}^A\Omega_B×{_B^A}R{}^B\Omega_C

在上式中令\{A\}=\{0\}，即基座標(biāo)系，\{B\}=\{i\}，即連桿i，\{C\}=\{i+1\}，即即連桿i+1，代入后得到：\dot\omega_{i+1}=\dot\omega_{i}+{_i^0}R{_{i+1}^i}R\ddot\theta_{i+1}\hat{{^{i+1}}Z_{i+1}}+\omega_{i}×{_i^0}R{_{i+1}^i}R\dot\theta_{i+1}\hat{{^{i+1}}Z_{i+1}}
化簡(jiǎn)后得到：
\dot\omega_{i+1}=\dot\omega_{i}+{_{i+1}^0}R\ddot\theta_{i+1}\hat{{^{i+1}}Z_{i+1}}+\omega_{i}×{_{i+1}^0}R\dot\theta_{i+1}\hat{{^{i+1}}Z_{i+1}}
推導(dǎo)過(guò)程中用到了關(guān)系式：^B\dot\Omega_C={_{i+1}^i}R\ddot\theta_{i+1}\hat{{^{i+1}}Z_{i+1}} ^B\Omega_C={_{i+1}^i}R\dot\theta_{i+1}\hat{{^{i+1}}Z_{i+1}}

從基座標(biāo)系變換到連桿坐標(biāo)系\{{i+1}\}中描述，兩邊左乘{_0^{i+1}}R，得到：

{^{i+1}}\dot\omega_{i+1}={_i^{i+1}}R{^{i}}\dot\omega_{i}+{_i^{i+1}}R{^{i}}\omega_{i}×\dot\theta_{i+1}\hat{{^{i+1}}Z_{i+1}}+\ddot\theta_{i+1}\hat{{^{i+1}}Z_{i+1}}
該式即為書(shū)中結(jié)論(6-32).

  • 線加速度傳遞關(guān)系

應(yīng)用（6-12）可以得到每個(gè)連桿坐標(biāo)系原點(diǎn)的線加速度，（6-12）的表達(dá)式如下：
{^A}\dot{V}_Q={^A}\dot{V}_{BORG}+{^A}\Omega_B×({^A}\Omega_B×{_B^A}R{}{^B}Q)+{}^A\dot\Omega_B×{_B^A}R{^B}{Q}

在上式中令\{A\}=\{0\}，\{B\}=\{i\}，Q為\{i+1\}原點(diǎn)，代入后得到：

\dot{v}_{i+1}=\dot{v}_{i}+\omega_i×(\omega_i×{_i^0}R{}{^i}{P}_{i+1})+\dot\omega_i×{_i^0}R{^i}{P}_{i+1}
上式中各個(gè)向量是在\{0\}系中表達(dá)的，兩邊左乘{_0^{i+1}}R，轉(zhuǎn)換到\{i+1\}系：

{^{i+1}}\dot{v}_{i+1}={_i^{i+1}}R{^i}\dot{v}_{i}+{_i^{i+1}}R{^i}\omega_i×({_i^{i+1}}R{^i}\omega_i×{_i^{i+1}}R{}{^i}{P}_{i+1})+{_i^{i+1}}R{^i}\dot\omega_i×{_i^{i+1}}R{^i}{P}_{i+1}
等式右邊提取出{_i^{i+1}}R，可得：

{^{i+1}}\dot{v}_{i+1}={_i^{i+1}}R({^i}\dot\omega_i×{^i}{P}_{i+1}+{^i}\omega_i×({^i}\omega_i×{}{^i}{P}_{i+1})+{^i}\dot{v}_{i})
該式即為書(shū)中結(jié)論(6-34) .

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