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一、抽象代數(shù)的抽象

1.1代數(shù)結(jié)構(gòu)的抽象

一個集合A是由無數(shù)的元素構(gòu)成的。如果一個集合內(nèi)的元素可以通過某種方式 $F$ 聯(lián)系在一起，我們就稱該集合和這種聯(lián)系方式共同構(gòu)成了一個代數(shù)結(jié)構(gòu)： $（A，F(xiàn)）$ 。映射便是一種常見的聯(lián)系方式。一個聯(lián)系方式 $F$ 可以同時包含多種映射，且不同的映射可以滿足不同的性質(zhì)。

代數(shù)結(jié)構(gòu)抽象：對于一個非空集合A，以及一個非負(fù)整數(shù)n，我們定義 $A^0$ ={0}，且對于n>0, $A^n是A的元素所構(gòu)成的n元組$ 。A上的n元運(yùn)算（或函數(shù)）是任何從 $A^n到A的函數(shù)f$ 。n是 $f$ 的元數(shù)(arity,rank）。有限元操作是針對某個n來說的一個n元操作。 $<a_{1} ,\cdot \cdot \cdot ,a_{n} >的在一個n元運(yùn)算f下的像$ （image）記為 $f（a_{1} ,\cdot \cdot \cdot ,a_{n} )$ 。在A上的運(yùn)算 $f$ 如果元數(shù)為零，則被稱為零元（nullary）操作，或常運(yùn)算（constant），該運(yùn)算完全由 $A^0$ 中的唯一元素 $\oslash$ 在A中的像 $f（\oslash ）$ 來決定，故而零元運(yùn)算可以被視為A中的一個元素（例如不同代數(shù)結(jié)構(gòu)中的“單位元”，identity）。

聯(lián)系方式抽象：代數(shù)的語言（或類型，type）是一個函數(shù)符號的集合 $F$ ，使得 $F中的每個元素f都可以得到$ 一個非負(fù)整數(shù)n的賦值。該整數(shù)被稱為 $f$ 的元數(shù)， $f被稱為一個n元函數(shù)符號$ 。 $F中n元函數(shù)符號所構(gòu)成的子集$ 記為 $F_{n}$ 。

1.2同構(gòu)的抽象

代數(shù)結(jié)構(gòu)是對具體事物進(jìn)行抽象的產(chǎn)物，而不同的抽象方式會產(chǎn)生不同的表現(xiàn)形式。

具體而言，如果兩種代數(shù)結(jié)構(gòu)其實(shí)是同一種具體事物的不同抽象方式，那么它們必然會存在某種共通性。而這種共通性，就是同構(gòu)。

我們給出抽象層面的同構(gòu)定義：設(shè)A和B為類型同為 $F$ 兩個代數(shù)，A和B的函數(shù) $\alpha ：A\rightarrow B$ 是一個同構(gòu)，如果它是單射和滿射，且對每一個n元 $f\in F和a_{1} ,\cdot \cdot \cdot ,a_{n} \in A,$ 我們有： $\alpha f^A(a_{1},\cdot \cdot \cdot ,a_{n} ) =f^B(\alpha a_{1} ,\cdot \cdot \cdot ,\alpha a_{n} )$ .如果存在一個從A到B的同構(gòu)，我們稱A同構(gòu)于B，記作 $A\cong B$ 。如果 $\alpha 是A到B的一個同構(gòu)，我們也可以說\alpha ：A\rightarrow B$ 是一個同構(gòu)。