單元函數(shù)微積分，直觀理解（１）
大學(xué)生為什么要學(xué)習(xí)微積分
徐長發(fā)，華中科技大學(xué)，
本系列文章僅涉及“單元函數(shù)微積分”，多從直觀理解的角度去學(xué)習(xí)微積分，無論是學(xué)習(xí)的順序，還是講解方式，都與傳統(tǒng)的教科書不同。
本系列文章可作為初學(xué)微積分的輔助讀物，無論對理工科、經(jīng)商科、醫(yī)農(nóng)類文科的大學(xué)生都是有補(bǔ)益的。
一．為什么大學(xué)生都要學(xué)習(xí)微積分
大家知道，大學(xué)生都要學(xué)習(xí)微積分（高等數(shù)學(xué)），理工類、經(jīng)管類、醫(yī)農(nóng)類的，就是文科類的大學(xué)生也都要學(xué)習(xí)微積分，這是為什么？
直接的理解是，大學(xué)中的很多課程都要用到定量的計(jì)算和分析，學(xué)好了微積分，在學(xué)習(xí)其它專業(yè)基礎(chǔ)課和專業(yè)課程時(shí)就沒有什么困難了。
但有人提出質(zhì)疑，文科就沒有什么課程要用到高等數(shù)學(xué)的啊，為什么還要學(xué)習(xí)微積分呢？另外，就說理工科吧，大學(xué)中以后的課程的確是要用到微積分的，可是畢業(yè)以后的工作中也很少用到微積分知識，為什么還要學(xué)那么多的高等數(shù)學(xué)知識呢？原因究竟如何，且聽細(xì)細(xì)道來。
小學(xué)生學(xué)習(xí)的是簡單算術(shù)，這是伴隨著兒童成長所必備的常識。中學(xué)生學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)的是事物內(nèi)部存在的量與量之間的不變化的關(guān)系，是日常生活中經(jīng)常要用到的，也是青少年正在逐漸懂事階段所必備的常識。大學(xué)階段要學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)，它也是學(xué)習(xí)事物內(nèi)部的量與量之間的關(guān)系，只不過這些量都是變化的，這種變量之間的關(guān)系才能夠真正反映事物本質(zhì)，因此，微積分（高等數(shù)學(xué)）是科技工作者認(rèn)識事物的常識。
大學(xué)生們剛剛進(jìn)入成人階段，這個(gè)成長期是一身中的最美好的黃金期，精力無限，活力四射；在這個(gè)成長期中，要學(xué)習(xí)做人和做事的本領(lǐng)，學(xué)習(xí)分析問題和解決問題的能力，要養(yǎng)成良好的習(xí)慣，要為走向社會(huì)做準(zhǔn)備；還要學(xué)習(xí)“會(huì)思考”、“會(huì)總結(jié)”、“會(huì)計(jì)算”、“會(huì)算計(jì)”，學(xué)習(xí)微積分正好可以訓(xùn)練和提高這方面的能力。
還是有人會(huì)質(zhì)疑，微積分是那么抽象，能夠和做人做事的本領(lǐng)聯(lián)系在一起嗎？能夠和分析問題、解決問題的能力聯(lián)系在一起嗎？下面我們用微積分中的具體內(nèi)容來說明問題。
二．微積分內(nèi)容中到處都是淺顯、直觀和實(shí)用的思想方法
微積分中的內(nèi)容都是現(xiàn)代科技的常識。
1.微積分中首先學(xué)習(xí)的是“函數(shù)”，函數(shù)概念也是一種常識性的思想方法，即在事物之間可以尋找關(guān)聯(lián)性。例如，我們遇到兩件事情，如果能夠找到它們之間的某種關(guān)聯(lián)，我們就可以利用我們的知識去分析，找到想要的結(jié)果。遇到幾件事情糾纏在一起怎么辦呢，如果能夠分析出它們之間的某種關(guān)聯(lián)性，我們就能夠理性地分析它們之間的從動(dòng)變化，做出自己的選擇。另外，函數(shù)具有抽象歸類的功能。因?yàn)楹瘮?shù)的自變量可以是任何具體的量，也可以是一大類東西，這就相當(dāng)于我們站在高處看問題，只看一類東西和另一類東西之間關(guān)系，看問題的著眼點(diǎn)就會(huì)更理性了，視野就會(huì)更開闊了。
2.極限在微積分中是一種研究量的變化的手段，其實(shí)極限概念也是常識性的思想方法。
例如，要求曲線在定點(diǎn)處的切線，先在小段范圍內(nèi)，在曲線上找一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)作一條割線，割線可以看做是切線的近似，再讓動(dòng)點(diǎn)向定點(diǎn)無限靠近，就由近似過渡到精確的切線了。例如，運(yùn)動(dòng)物體在一段時(shí)間內(nèi)的平均速度是近似的，采用極限思想，讓這個(gè)時(shí)間范圍縮小，那么近似程度就越來越好了，就可以得到瞬時(shí)變化率了。微積分中要學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)，就是“采用由近似到精確的思想方法”，這是一種“微細(xì)”、精確地“分析”問題的方法，常稱為“微分方法”；之所以稱其為“導(dǎo)數(shù)”，是因?yàn)橛梦⒎址椒ǚ治龅慕Y(jié)果是“變化率”，具有“導(dǎo)向性”。
定積分也是微積分中的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容。例如要求一個(gè)“平面曲邊形”的面積，先將其分解為若干小條形再累積，這是近似面積，利用極限思想，將小條形無限縮小再累積，就得到精確的曲邊形面積了。該方法之所以稱其為積分方法，是因?yàn)橛晌⑿±鄯e到精確的緣故。
極限過程在微積分中雖是一種理想的逼近過程，可是在日常生活中，經(jīng)常會(huì)遇到不斷接近目標(biāo)的近似過程，這時(shí)極限的思想就變得實(shí)用了，人們只要找到一種方法，能夠越來越接近目標(biāo)，不一定非要達(dá)到目標(biāo)不可，只要距離目標(biāo)的誤差在滿意和實(shí)用的范圍內(nèi)，這個(gè)方法就是好方法，這個(gè)結(jié)果就是好結(jié)果。這樣的思考，不僅理性，而且很實(shí)用。其實(shí)，數(shù)學(xué)中和日常應(yīng)用中，人們經(jīng)常采用這一思想方法。
3. 無窮小和無窮大概念也是一種常識性的思想方法。
這和人們認(rèn)識物質(zhì)的微觀世界類似。大家知道，物質(zhì)可以被細(xì)分下去，大尺度的材料，微米級的材料，納米級的材料，分子，原子，原子還可以細(xì)分為其它粒子，等等。無窮小概念反向理解就是無窮大概念，這和我們認(rèn)識宏觀的宇宙世界類似，天外有天，若干小星系組成星系團(tuán)，若干星系團(tuán)又構(gòu)成大星系，還有巨大星系，等等。
無窮小變量趨于零的速度是不一樣的，是有量級區(qū)別的，這里的“量級”是一種數(shù)學(xué)上的“尺度”，這種尺度是用“方次”表示的。其實(shí)，現(xiàn)實(shí)生活中，“尺度”是一種歸類方法，不同尺度需要用不同的觀測方法，這是一種看得見摸得著的哲理。例如，體重、身體好壞、素質(zhì)高低、技術(shù)能力都可以作為尺度。就拿工程材料來說，百米大小的材料和一米大小的材料是不同量級的，它們的工程性質(zhì)就不同。當(dāng)材料的尺寸小到1-100納米時(shí)，它的性質(zhì)又會(huì)有很多神奇之處，完全不同于平常所見到的材料性質(zhì)，這就是納米材料，是一類高新技術(shù)材料。
4微分法（導(dǎo)數(shù)）是一種常識性方法，其應(yīng)用非常廣泛。
微分法是一種由近似描述變?yōu)榫_描述的逼近方法，它描述了事物的變化率。這種數(shù)學(xué)方法具有廣泛的代表性。
例如，函數(shù)的自變量和因變量之間的關(guān)系可以畫出曲線，導(dǎo)數(shù)可以表現(xiàn)曲線的變化趨勢，曲線的彎曲程度等表現(xiàn)。
運(yùn)動(dòng)物體關(guān)于路程和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系也可以畫出曲線，于是導(dǎo)數(shù)可以表現(xiàn)物體的瞬時(shí)速度，還能預(yù)測物體的運(yùn)動(dòng)趨勢和方向。
氣流的軌跡也可以畫出曲線，利用導(dǎo)數(shù)可以預(yù)測風(fēng)的走勢，氣旋方向，預(yù)測是否會(huì)出現(xiàn)臺風(fēng)。
工廠產(chǎn)品的銷售量和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系也可以畫出曲線，觀察其變化率，就可以分析出市場前景，以至于安排和改變生產(chǎn)任務(wù)。
很多經(jīng)濟(jì)指標(biāo)、技術(shù)指標(biāo)、工作指標(biāo)都可以量化為函數(shù)關(guān)系，都可以畫出函數(shù)曲線，可以綜合觀察這些量化指標(biāo)，可以分析其變化狀態(tài)，預(yù)測狀態(tài)的變化趨勢。
5.積分方法是一種常識性方法，其應(yīng)用非常廣泛。它生動(dòng)直觀地表現(xiàn)了在累積過程中由近似變?yōu)榫_的逼近思想和逼近過程。用定積分可以解決很多很多的科技問題，學(xué)習(xí)解決這些問題的思想方法比計(jì)算出的結(jié)果更有價(jià)值。因?yàn)?，思想是活的，在思想指?dǎo)下的應(yīng)用是無限制的，而計(jì)算結(jié)果是死的，不一定用手工計(jì)算，還可以用計(jì)算機(jī)計(jì)算，沒有思想是不可能計(jì)算出結(jié)果的。
７.數(shù)項(xiàng)級數(shù)和廣義積分。數(shù)項(xiàng)級數(shù)可以和廣義積分緊密地聯(lián)系在一起，又可以和逼近思想緊密地聯(lián)系在一起。特別的，正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法和廣義積分的收斂判別聯(lián)系在一起，從中人們可以看出很多既直觀又淺顯的思想方法都聯(lián)系在一起。這種直觀、對比、聯(lián)想的思想方法是可以一輩子反復(fù)應(yīng)用到各個(gè)方面的思想方法。
８.冪級數(shù)。它是微積分知識在近似計(jì)算方面的應(yīng)用內(nèi)容。其中有兩個(gè)思想方法既重要又實(shí)用。
級數(shù)中的逼近思想方法是非常重要的。直觀地看，如果級數(shù)收斂，只要增加計(jì)算項(xiàng)就可以越來越逼近目標(biāo)。但是在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)產(chǎn)生2個(gè)問題。第一個(gè)問題是，要增加多少計(jì)算項(xiàng)才能滿足實(shí)際的誤差需要呢？要解決這個(gè)問題，并不需要理論分析，數(shù)值在逼近的過程中，數(shù)字的重復(fù)位數(shù)會(huì)越來越多，據(jù)此就可以判斷出計(jì)算誤差了，還可以做出終止計(jì)算的判斷。第二個(gè)問題是，用什么級數(shù)才能有效逼近某函數(shù)在A點(diǎn)處的函數(shù)值呢？如果級數(shù)的展開點(diǎn)遠(yuǎn)離A點(diǎn)，用這種級數(shù)去逼近A處的表現(xiàn)，效果不好；當(dāng)然，如果就在A點(diǎn)附近展開為級數(shù)，這種級數(shù)的逼近效果一定好，計(jì)算量小，精度高。
９.常微分方程。它可以看著是微積分基本知識的有關(guān)應(yīng)用。當(dāng)某些復(fù)雜的實(shí)際問題不能直接確定量與量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，還可以用它們的導(dǎo)數(shù)建立函數(shù)關(guān)系，這就是微分方程。微分方程是微積分的反向問題。常微分方程，不僅要把眾多科技常識綜合考慮；而且要把實(shí)際問題抽象為常微分方程，這個(gè)過程本身就是比函數(shù)關(guān)系更高一個(gè)層次，是一個(gè)智慧提升的過程；求解常微分方程也是將微積分反向思考的問題；這些過程都需要靈活的思考和變通方法。要知道，思想方法的鍛煉，智慧的提升是軟實(shí)力。至于怎么求解常微分方程，現(xiàn)在用計(jì)算機(jī)很快捷，手工計(jì)算不重要了。
現(xiàn)代社會(huì)中，人們必須懂得一些科技常識。所謂科技常識是指，在日常生活中經(jīng)常會(huì)遇到的一些事物或現(xiàn)象，利用科技常識就可以深刻地理解它和掌握它，沒有這些科技常識就會(huì)經(jīng)常犯錯(cuò)誤。
當(dāng)然，有些科技常識用物理知識能說清楚，有些需要用化學(xué)知識才能說清楚，有些則需要用數(shù)學(xué)知識才能說清楚。
例如，一個(gè)發(fā)聲的物體快速迎面駛來，聲音的頻率會(huì)發(fā)生怎樣的變化？一個(gè)發(fā)光體快速迎面駛來，光的頻率會(huì)發(fā)生怎樣的變化？這就需要物理和數(shù)學(xué)方面的科技常識。例如，如何測試水的酸堿性？這就需要化學(xué)和數(shù)學(xué)方面的科技常識。例如，高壓鍋煮牛肉，在蒸汽冒出后，大火或者小火燉60分鐘，哪種情形牛肉會(huì)更爛一些？這就需要物理和數(shù)學(xué)方面的常識。我們懂得的科技常識越多，對日常和科技中遇到的問題的判斷能力就越強(qiáng)，解決問題的能力也就會(huì)越強(qiáng)。
三．?dāng)?shù)學(xué)哲理與做人做事的哲理互通
1.學(xué)智慧、學(xué)哲理是要用心感悟的，不能無動(dòng)于衷。就是看一部電影，一本小說都應(yīng)該有所體會(huì)才對。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，老師講解是啟發(fā)同學(xué)們感悟，常常把幾個(gè)概念聯(lián)系起來思考問題，這也是一種感悟方法。感悟到的東西要把它記下來。數(shù)學(xué)是一種自然哲學(xué)，高數(shù)中處處存在著思想方法、智慧和哲理，老師在講課時(shí)講解了嗎，學(xué)生在學(xué)習(xí)中感悟了嗎，我們聯(lián)想了嗎。如果在學(xué)習(xí)中感悟出一些道理，那么我們的理解力、智力、都會(huì)得到極大的提升。如果在學(xué)習(xí)中，不去體會(huì)，那么你就會(huì)感到數(shù)學(xué)太抽象，沒興趣，沒意思。
2.任何一個(gè)高深知識都是由一個(gè)淺顯的思想產(chǎn)生的，懂得這個(gè)淺顯的道理，自己才能主動(dòng)思考?，F(xiàn)代科技好像很高深，當(dāng)你看了科普文章后就會(huì)明白，其原理都是同學(xué)們在中學(xué)里學(xué)過的，或者說利用中學(xué)知識就可以明白的。有了科普知識，就可以理解和思考更多的問題。高數(shù)知識也是如此，前面一節(jié)介紹過高數(shù)中很多的淺顯道理，立足于這個(gè)基礎(chǔ)，我們就可以思考更難、更高層次的問題了。例如在2維空間中有無窮個(gè)向量，只需要2個(gè)無關(guān)的向量就可以把這無窮個(gè)向量構(gòu)造出來。擴(kuò)展一步，只需要3個(gè)無關(guān)的向量就可以構(gòu)造出3維空間中的無窮個(gè)向量。進(jìn)一步思考，2維空間的本質(zhì)是2個(gè)自由度，2個(gè)無關(guān)向量就是不平行的向量；那么二階齊次常微分方程的解也有無窮個(gè)，也是2個(gè)自由度，找出2個(gè)無關(guān)的解是不是也可以構(gòu)造出所有的解呢？這樣的思考都是淺顯的，但認(rèn)識問題的層次不同了。
3.學(xué)習(xí)任何知識都要付出一定的努力，不通過努力就想得到的想法和作風(fēng)是錯(cuò)誤的?，F(xiàn)在就有好多年青人，就是想圖個(gè)輕松愉快，總希望像看電影，看小說，聽音樂那樣學(xué)習(xí)就好了，可這是不現(xiàn)實(shí)的。年青人應(yīng)該鍛煉自己，克服困難要有決心，做事情要有恒心，具體執(zhí)行要認(rèn)真和細(xì)心。這種好作風(fēng)要有2個(gè)條件才能獲得，一是自身愿意練，而是訓(xùn)練有個(gè)過程。做高數(shù)學(xué)作業(yè)，直接的目的是鞏固所學(xué)的知識，但同時(shí)也磨煉你的思維的靈活性，磨煉你的認(rèn)真和耐心。這種作風(fēng)方面的訓(xùn)練會(huì)影響到今后一輩子。
4.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以學(xué)習(xí)到把具體問題抽象歸類為數(shù)學(xué)問題，把數(shù)學(xué)問題又推廣使用到實(shí)際問題的思想方法。學(xué)習(xí)了這種方法，可以讓人們在看問題時(shí)站得更高，看問題時(shí)具有全局觀念；思維能力增強(qiáng)，不會(huì)糾纏于小事，能從小事中能看到共性的大問題；看問題習(xí)慣于看其本質(zhì)。這種分析思想和方法可以在高數(shù)的學(xué)習(xí)和做題訓(xùn)練中感受到。
5.從數(shù)學(xué)中可以學(xué)到邏輯推理過程。處事不妄下結(jié)論，有因才有果，有果必有因，而且在推理分析中始終不偏離主題。
6.在高數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，可以訓(xùn)練分析問題和解決問題的能力。處理任何事情，都要分析其原因，找到相應(yīng)的辦法，再認(rèn)真地解決它。這個(gè)過程就和數(shù)學(xué)的解題過程類似。數(shù)學(xué)的課時(shí)都是比較多的，這么長的時(shí)間內(nèi)，總是提出問題，分析問題，拿出相應(yīng)的辦法，再解決問題，這樣的反復(fù)訓(xùn)練一定對同學(xué)們的邏輯思維方式和邏輯思維能力會(huì)產(chǎn)生重大的影響，也就是說，高數(shù)學(xué)習(xí)對同學(xué)們今后的思維方式、工作作風(fēng)和工作能力會(huì)產(chǎn)生重大的影響。
7.從高數(shù)的學(xué)習(xí)中，還能學(xué)到不少其它的分析方法。例如，歸類法、歸納法、對比法、聯(lián)想法、轉(zhuǎn)換法。這對提高智力有極大的幫助。
8.從高數(shù)的學(xué)習(xí)中，可以提高總結(jié)能力，寫作能力，辦事的條理能力。做事有計(jì)劃，辦事有條理，方法能應(yīng)變。
總之，學(xué)習(xí)高數(shù)可以培養(yǎng)學(xué)生的十個(gè)方面的能力：總結(jié)歸納能力，演繹推理能力，發(fā)現(xiàn)問題分析問題和解決問題的能力，抽象能力，聯(lián)想能力，學(xué)習(xí)新知識的能力，創(chuàng)新能力，準(zhǔn)確的計(jì)算能力，口頭和書面表達(dá)的能力，靈活運(yùn)用軟件的能力。
現(xiàn)在的問題是，很多同學(xué)煩數(shù)學(xué)，怕數(shù)學(xué)，為什么？原因是兩方面的。
一方面，是教材和教師的問題，他們過多地強(qiáng)調(diào)了“抽象思維與訓(xùn)練”，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程變得像脫離地面太遠(yuǎn)的空中樓閣，數(shù)學(xué)訓(xùn)練僅僅是在“空”對“空”中進(jìn)行，學(xué)生如果稍有脫節(jié)，就會(huì)覺得跟不上，于是煩數(shù)學(xué)，怕數(shù)學(xué)的現(xiàn)象就出現(xiàn)了。這就給教材和教師提出要求，除了數(shù)學(xué)系以外的微積分教學(xué)中，都應(yīng)該深入淺出地多講“數(shù)學(xué)道理”，抽象思維要適度，不能過分；大多數(shù)定理都是淺顯的數(shù)學(xué)常識，無需理論上抽象地證明；可以多講解定理在多方面的含義和多方面應(yīng)用；多留點(diǎn)時(shí)間講解那些分析問題和解決問題的思維訓(xùn)練，多在啟發(fā)思考上下功夫；多講些數(shù)學(xué)的應(yīng)用；具體計(jì)算過程也不易太難，讓學(xué)生感到學(xué)到了東西為好。如果把數(shù)學(xué)講鮮活了，學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣就會(huì)增加。就像學(xué)下棋一樣，同樣是抽象思維訓(xùn)練，有興趣才能提高學(xué)習(xí)的積極性。
第二方面的原因是來自同學(xué)們自己，部分同學(xué)沒有認(rèn)識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的深遠(yuǎn)作用，不愿意受“累”，也不愿意做作業(yè)，也不愿意記住一些結(jié)論，造成學(xué)習(xí)過程中缺失某些環(huán)節(jié)，于是學(xué)習(xí)越來越困難，結(jié)果只能是學(xué)不好數(shù)學(xué)。
四．學(xué)好高數(shù)的關(guān)鍵
1.首先要有“我想學(xué)好高數(shù)”的要求。內(nèi)心沒有動(dòng)力，學(xué)什么都不可能學(xué)得好，內(nèi)心的動(dòng)力來源于上進(jìn)的要求。上進(jìn)的內(nèi)容很多，同學(xué)們可以根據(jù)自己的情況挑選幾項(xiàng)，對自己提出目標(biāo)要求，再努力實(shí)現(xiàn)它。年青人都應(yīng)該有上進(jìn)心，沒有上進(jìn)心就不會(huì)有人生的前途。
2.認(rèn)真聽課。老師的講解既有書本上的內(nèi)容，還會(huì)有體會(huì)、比較和總結(jié)這些書本上沒有的內(nèi)容。聽好講課再直接看書，那就會(huì)理解得好、體會(huì)得深。反之，不聽課的損失太大了。
3.認(rèn)真作業(yè)。做作業(yè)是鞏固所學(xué)知識的環(huán)節(jié)，也是自我訓(xùn)練的環(huán)節(jié)，應(yīng)該認(rèn)真?？墒怯行┩瑢W(xué)往往想偷懶，抄一抄交差了事。要知道，數(shù)學(xué)是順序漸進(jìn)的，環(huán)環(huán)相扣的，如果在這個(gè)知識鏈中缺失了某些環(huán)節(jié)，高數(shù)就沒有辦法學(xué)好了。
4.該記住的要記，該練習(xí)的要練，不能缺失環(huán)節(jié)。學(xué)數(shù)學(xué)就像學(xué)外語類似。學(xué)外語不記單詞不記語法，就無法知道一句語言的含義，無法“外譯中”也無法“中譯外”。學(xué)數(shù)學(xué)也要理解并記住數(shù)學(xué)符號的含義，這樣才能知道一個(gè)數(shù)學(xué)式子在說什么。要記住定理和公式，沒有這些結(jié)論就不能進(jìn)一步的思考和推演。怎樣才能記得住這些了？
①數(shù)學(xué)里所有的知識和公式，都是在理解的基礎(chǔ)上記住的，決不能死記硬背。
②要適當(dāng)筆記來幫助記憶。老師講的數(shù)學(xué)公式一般都在教材書中，劃上記號。老師講的一些對公式的理解，有的書上有，也劃上記號，書上沒有的可筆記在旁邊。聽課中的一些其它理解，你覺得有用有意思，可以記在頁面的頂部。強(qiáng)調(diào)一下，筆記不是什么都記，僅僅記下自己要反復(fù)記憶的東西。有條件的可以單獨(dú)用一個(gè)筆記本。
③筆記的內(nèi)容是要反復(fù)才能記住的，所以過一兩周就要把要記住的內(nèi)容再反復(fù)記憶一遍。
④獨(dú)立完成作業(yè)就是一個(gè)反復(fù)記憶的過程。
⑤考試前僅僅復(fù)習(xí)要記憶的內(nèi)容，記住原理、方法和結(jié)論即可，不再需要詳細(xì)看書了。按照這樣的學(xué)習(xí)方法，小考小玩大考大玩，學(xué)數(shù)學(xué)一定輕松，成績一定會(huì)好，自信心一定會(huì)增強(qiáng)。反過來，數(shù)學(xué)符號的含義都不懂，不知道在說什么和干什么，自然就覺得數(shù)學(xué)抽象、太難、不想學(xué)了。
五. 傳統(tǒng)的微積分教材必須改革
數(shù)學(xué)教材都存在一種傳統(tǒng)的通病，非常注重“公理化”、“嚴(yán)格”、“抽象”，少顧或不顧某種數(shù)學(xué)方法的出處與應(yīng)用，完全不顧讀者的思維方式，始終讓人對數(shù)學(xué)有一種所謂“高深和崇拜”的感覺。
我國傳統(tǒng)的微積分教材是上世紀(jì)50年代從蘇聯(lián)引進(jìn)的，傳統(tǒng)的毛病不少。雖然高校在文革中曾經(jīng)發(fā)生過幾次大規(guī)模的關(guān)于改革數(shù)學(xué)教材的討論，雖然后來不少教師也編寫了微積分教材，做了一些改進(jìn)，但是體系基本上沒有變化，沒有改掉傳統(tǒng)的通病。
其實(shí)，微積分中的各類方法，都是來源于實(shí)際問題，為什么不能夠形象直觀地撰寫/講解?
微積分是一種分析問題解決問題的工具，既然是工具，教材和講解首要任務(wù)應(yīng)該是讓學(xué)生盡快地“入門”，應(yīng)該告訴學(xué)生，如何使用這種工具，這種工具如何擴(kuò)展應(yīng)用，而不是“盲目地打基礎(chǔ)搞抽象訓(xùn)練”。如果有些人需要深造，那就另外閱讀有關(guān)數(shù)學(xué)分析的書籍為好。
