概述

在圖形學(xué)渲染管線中，一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，大概要經(jīng)歷局部坐標(biāo)系、世界坐標(biāo)系、相機(jī)坐標(biāo)系、裁剪坐標(biāo)系，最后到窗口坐標(biāo)系，顯示在屏幕上。

坐標(biāo)空間變換示意圖

在這些過程中，從一個(gè)坐標(biāo)系到另一個(gè)坐標(biāo)系，都需要進(jìn)行一定的變換。下面，將介紹每次變換的方式。

注意，本文是針對(duì)OpenGL的。

局部空間->世界空間

這一變換過程，主要是將模型放置在世界空間中，進(jìn)行一定的縮放、旋轉(zhuǎn)或平移。這一步比較簡(jiǎn)單，只要將相應(yīng)的矩陣作用到模型的局部空間坐標(biāo)即可。

比如，對(duì)模型縮放 $\left(S_{x},S_{y},S_{z} \right)$ ，然后繞Z軸旋轉(zhuǎn) $\theta$ 度，再進(jìn)行 $\left(T_{x},T_{y},T_{z} \right)$ 的平移。注意，這里的變換順序是不能變的，即要先進(jìn)行縮放，再進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，最后進(jìn)行平移。據(jù)此，我們可以構(gòu)建模型變換矩陣。
$M_{model}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & T_{x} \\ 0 & 1 & 0 & T_{y} \\ 0 & 0 & 1 & T_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 & 0 \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} S_{x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S_{y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & S_{z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

世界空間->相機(jī)空間

首先定義一下相機(jī)：

坐標(biāo)為 $\vec{e}$
觀察方向 $\vec{g}$
向上方向 $\vec{t}$

示意圖如下所示：

相機(jī)坐標(biāo)系示意圖

有一個(gè)性質(zhì)注意一下：當(dāng)相機(jī)和相機(jī)“看“到的物體一起變換時(shí)，相機(jī)”看“到的內(nèi)容是不變的。這樣，可以將相機(jī)的坐標(biāo)移動(dòng)到世界坐標(biāo)的原點(diǎn)，向上方向?qū)R世界坐標(biāo)的Y軸，觀察方向?qū)R世界坐標(biāo)的-Z軸。然后，對(duì)物體進(jìn)行相同的變換即可。

在數(shù)學(xué)上，這個(gè)過程大概這樣：

將相機(jī)移動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)
旋轉(zhuǎn)觀察方向 $\vec{g}$ 到-Z軸
旋轉(zhuǎn)向上方向 $\vec{t}$ 到Y(jié)軸
旋轉(zhuǎn)( $\vec{g} \times \vec{t}$ )到X軸

大體分為兩步：先位移，后旋轉(zhuǎn)。即 $M_{view} = R_{view}T_{view}$ 。

平移部分：
$T_{view} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_{e} \\ 0 & 1 & 0 & -y_{e} \\ 0 & 0 & 1 & -z_{e} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$
對(duì)于旋轉(zhuǎn)部分，先補(bǔ)充一些知識(shí)點(diǎn)。對(duì)于二維空間來說：
$R_{\theta} = \begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \\ \end{pmatrix}$

$R_{-\theta} = \begin{pmatrix} \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ -\sin{\theta} & \cos{\theta} \\ \end{pmatrix} = R_{\theta}^\mathrm{T}$

根據(jù)定義，旋轉(zhuǎn) $\theta$ 角度和旋轉(zhuǎn) $-\theta$ 角度是互逆的，即： $R_{-\theta} = R_{\theta}^{-1}$ 。

所以，對(duì)于旋轉(zhuǎn)變換，可以得出旋轉(zhuǎn)矩陣的逆等于它的轉(zhuǎn)置，即：
$R_{\theta}^\mathrm{T} = R_{\theta}^{-1}$
回到上面的旋轉(zhuǎn)部分，直接求相機(jī)的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)到世界坐標(biāo)軸的矩陣不是很方便，但是反過來，求世界坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)到相機(jī)的坐標(biāo)軸很容易：
$R_{view}^{-1} = \begin{bmatrix} x_{\vec{g} \times \vec{t}} & x_{\vec{t}} & x_{-\vec{g}} & 0 \\ y_{\vec{g} \times \vec{t}} & y_{\vec{t}} & y_{-\vec{g}} & 0 \\ z_{\vec{g} \times \vec{t}} & z_{\vec{t}} & z_{-\vec{g}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$
根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣的逆等于它的轉(zhuǎn)置，得出：
$R_{view} = (R_{view}^{-1})^\mathrm{T} = \begin{bmatrix} x_{\vec{g} \times \vec{t}} & y_{\vec{g} \times \vec{t}} & z_{\vec{g} \times \vec{t}} & 0 \\ x_{\vec{t}} & y_{\vec{t}} & z_{\vec{t}} & 0 \\ x_{-\vec{g}} & y_{-\vec{g}} & z_{-\vec{g}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$
根據(jù) $M_{view} = R_{view}T_{view}$ ，可以得出：
$M_{view} = R_{view}T_{view} = \begin{bmatrix} x_{\vec{g} \times \vec{t}} & y_{\vec{g} \times \vec{t}} & z_{\vec{g} \times \vec{t}} & 0 \\ x_{\vec{t}} & y_{\vec{t}} & z_{\vec{t}} & 0 \\ x_{-\vec{g}} & y_{-\vec{g}} & z_{-\vec{g}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_{e} \\ 0 & 1 & 0 & -y_{e} \\ 0 & 0 & 1 & -z_{e} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

相機(jī)空間->裁剪空間

在一個(gè)頂點(diǎn)著色器運(yùn)行的最后，期望所有的坐標(biāo)都能落在一個(gè)特定的范圍內(nèi)，且任何在這個(gè)范圍之外的點(diǎn)都應(yīng)該被裁剪掉(Clipped)。被裁剪掉的坐標(biāo)就會(huì)被忽略，所以剩下的坐標(biāo)就將變?yōu)槠聊簧峡梢姷钠巍＿@也就是裁剪空間(Clip Space)名字的由來。

因?yàn)閷⑺锌梢姷淖鴺?biāo)都指定在-1.0到1.0的范圍內(nèi)不是很直觀，所以我們會(huì)指定自己的坐標(biāo)集(Coordinate Set)并將它變換回標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)備坐標(biāo)系。

由投影矩陣創(chuàng)建的觀察箱(Viewing Box)被稱為平截頭體(Frustum)，每個(gè)出現(xiàn)在平截頭體范圍內(nèi)的坐標(biāo)都會(huì)最終出現(xiàn)在用戶的屏幕上。將特定范圍內(nèi)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化到標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)備坐標(biāo)系的過程（而且它很容易被映射到2D觀察空間坐標(biāo)）被稱之為投影(Projection)，因?yàn)槭褂猛队熬仃嚹軐?D坐標(biāo)投影(Project)到很容易映射到2D的標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)備坐標(biāo)系中。

這里要注意一下，OpenGL是右手坐標(biāo)系的，但是在NDC中，是左手坐標(biāo)系的，這里要特別注意?。?！

相機(jī)空間轉(zhuǎn)換到裁剪空間，有需要用到投影變換。有兩種投影變換：正交投影和透視投影。下面分別介紹一下。

正交投影

我們先定義一個(gè)正交投影的視錐體 $[l,r] \times [b,t] \times [f,n]$ （注意，n和f都是負(fù)數(shù)，f是遠(yuǎn)平面，所以f<n），它是一個(gè)長(zhǎng)方體。我們需要做的，就是將正交投影的視錐體轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)立方體（即標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)備坐標(biāo)， $[-1,1]^{3}$ ）。注意，這里 $[f,n]$ 映射到NDC中的[1,-1]。

image

這里，分成兩個(gè)步驟：平移和縮放。正交投影的矩陣如下：
$M_{ortho} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{f-n} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\frac{r+l}{r-l} \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & -\frac{t+b}{t-b} \\ 0 & 0 & \frac{2}{f-n} & -\frac{f+n}{f-n} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

透視投影

對(duì)于透視投影，分成兩步操作：

首先，“壓扁”視錐體成一個(gè)長(zhǎng)方體（n->n,f->f）（ $M_{persp->ortho}$ ）；
然后，做正交投影操作（ $M_{ortho}$ ，即上面的正交投影）。

透視投影和正交投影的視錐體示意圖

觀察下圖：

從X軸觀察

根據(jù)相似三角形的關(guān)系，可以得出：
$y^{'} = \frac{n}{z}y$
類似的，可以得出：
$x^{'} = \frac{n}{z}x$
由此，可以得出下面的關(guān)系：
$M_{persp->ortho}^{(4 \times 4)} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ 1\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{n}{z}x \\ \frac{n}{z}y \\ unknown \\ 1 \\ \end{pmatrix}$

下面，說一個(gè)齊次坐標(biāo)的性質(zhì)：在3D坐標(biāo)系統(tǒng)中， $\left ( x,y,z,1 \right )$ ， $\left ( kx,ky,kz,k \neq 0 \right )$ ， $\left ( xz,yz,z^{2},z \neq 0 \right )$ 都表示相同的坐標(biāo)--- $\left ( x,y,z \right )$ 。例如： $\left ( 1,0,0,1 \right )$ 和 $\left ( 2,0,0,2 \right )$ 都表示坐標(biāo) $\left ( 1,0,0 \right )$ 。

所以，有如下關(guān)系：
$M_{persp->ortho}^{(4 \times 4)} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ 1\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{n}{z}x \\ \frac{n}{z}y \\ unknown \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ unknown \\ z \\ \end{pmatrix}$
更進(jìn)一步的，可以得到：
$M_{persp->ortho} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$
現(xiàn)在，還剩下第三列是未知的。

經(jīng)過觀察上面的透視投影視錐體，可以得出以下推論：

近平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不會(huì)改變；
遠(yuǎn)平面上的點(diǎn)，Z坐標(biāo)不改變。

根據(jù)推論1，近平面上的點(diǎn) $\left (x,y,n,1 \right )$ 經(jīng)過變換后，不會(huì)改變。即：
$M_{persp->ortho} \begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ n^{2} \\ n \\ \end{pmatrix}$
根據(jù)：
$M_{persp->ortho} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ 1\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ unknown \\ z \\ \end{pmatrix}$
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=n%5E%7B2%7D" alt="n^{2}" mathimg="1">與x和y都沒有關(guān)系，所以可以得出 $M_{persp->ortho}$ 的第三列的形式是 $\left (0,0,A,B \right )$ 。

根據(jù)：
$\left(0,0,A,B \right) \begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \\ \end{pmatrix} = n^{2}$
可以得出：
$An+B = n^{2}$
根據(jù)推論2，遠(yuǎn)平面的中心點(diǎn) $\left (0,0,f,1 \right)$ ，經(jīng)過變換后，還是本身。如下：
$M_{persp->ortho} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f^{2} \\ f \\ \end{pmatrix}$
所以，可以得出：
$\left(0,0,A,B \right) \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \\ \end{pmatrix} = f^{2}$

即：
$Af + B = f^{2}$
到這里，可以得出方程組：
$\begin{cases} An + B = n^{2} \\ Af + B = f^{2} \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{matrix} A = n + f \\ B = -nf \\ \end{matrix}$
到這里，可以得出 $M_{persp->ortho}$ :
$M_{persp->ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$
最終，透視投影矩陣：
$M_{persp} = M_{ortho}M_{persp->ortho} = \begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{l+r}{l-r} & 0 \\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{b+t}{b-t} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{f+n}{f-n} & \frac{2nf}{n-f} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$

裁剪空間->窗口空間

在裁剪空間的最后，所以的可見的點(diǎn)都在標(biāo)準(zhǔn)設(shè)備坐標(biāo)系（NDC）中，即坐標(biāo)坐落在范圍 $[-1,1]^{3}$ 內(nèi)。

先不考慮Z軸的變換。

從NDC到窗口空間，需要經(jīng)過視口變換。定義一個(gè)屏幕空間： $\left (0,0,w,h \right)$ 。平面左下角的坐標(biāo)位 $\left (0,0 \right)$ ，右上角的坐標(biāo)為 $\left (w,h \right)$ 。對(duì)于X和Y坐標(biāo)的變換，即從 $\left(-1,1\right) \times \left(-1,1\right)$ 到 $\left(0,w\right) \times \left(0,h\right)$ 。

這里，經(jīng)過兩步變換：

將NDC的中心平移到窗口的中心；
$T_{viewport} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{w}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{h}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$
將NDC的大小縮放到屏幕的大小。

$R_{viewport} = \begin{pmatrix} \frac{w}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{h}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

合并到一起：
$M_{viewport} = R_{viewport}T_{viewport} = \begin{pmatrix} \frac{w}{2} & 0 & 0 & \frac{w}{2} \\ 0 & \frac{h}{2} & 0 & \frac{h}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$
對(duì)于Z坐標(biāo)，從 $\left(-1,1\right)$ 映射到了 $\left(0,1\right)$ 。這里只是簡(jiǎn)單的線性映射。假設(shè) $z^{'} = Az+B$ ，當(dāng) $z$ 等于-1時(shí)， $z^{'}$ 等于0；當(dāng) $z$ 等于1時(shí)， $z^{'}$ 等于1?？傻萌缦路匠探M：
$\begin{cases} A(-1) + B = 0 \\ A(1) + B = 1 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} A = \frac{1}{2} \\ B = \frac{1}{2} \\ \end{cases}$
所以， $z^{'} = \frac{1}{2}z + \frac{1}{2}$ 。代入上述 $M_{viewport}$ 矩陣，可得：
$M_{viewport} = \begin{pmatrix} \frac{w}{2} & 0 & 0 & \frac{w}{2} \\ 0 & \frac{h}{2} & 0 & \frac{h}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$