3是什么？
如果要對一個小朋友解釋3是什么，我們該怎么做呢？伸出三根手指？擺出三支筆？告訴他這是一個可以和它的其他同類做加法乘法運(yùn)算的數(shù)字？或者只是一個寫在紙上的符號？
如果在我們的面前有一棵樹，我們指著它說這是樹，那它就代表了樹。相反，我們不能站在任何一個實(shí)體面前指著它說這是3，它似乎只是一個存在于我們大腦中的抽象概念。但是，幾乎沒有人認(rèn)為自己不知道3是什么東西，當(dāng)一個人提到3的時候沒有人會問3是什么。當(dāng)然，除了3，我們還知道0、1、2、4、5、6、7、8、9……，它們的存在性和對“它們是什么”這樣問題的回答就像是一個毋庸置疑的真理，如此自然，因此我們把它們稱之為自然數(shù)。
果真如此嗎？
假設(shè)我們想數(shù)一個筐子里有多少個蘋果，我們可以把蘋果一個個拿出來用自然數(shù)數(shù)：一個蘋果、兩個蘋果……直到我們發(fā)現(xiàn)，有一個蘋果被切開了一半。這時候我們要怎么繼續(xù)數(shù)下去呢？半個蘋果？這里涉及到一個同一性問題，如果我們不承認(rèn)一個蘋果是蘋果，倒也無妨。
但是隨著對精確性的追求，自然數(shù)無法再滿足人們的需求。例如，當(dāng)我們想定義2-3這樣的運(yùn)算；當(dāng)我們把一條3米長的線從正中間剪開，并且想測量剩下兩段的長度；以及，最最糟糕的，當(dāng)我們有一個邊長是3米的正方形，我們想測量它的對角線長度。
因此，隨著應(yīng)用的需求，整數(shù)、有理數(shù)以及實(shí)數(shù)的概念隨之產(chǎn)生。這些抽象概念的產(chǎn)生是一個逐步實(shí)現(xiàn)的過程，換言之，它們都有一個從模糊的概念到逐漸嚴(yán)格的過程。作為簡單的應(yīng)用，模糊的概念看起來已經(jīng)足夠，我們可以輕松地定義整數(shù)-1=2-3、有理數(shù)3/2是被剪開的那兩條線的長度，而無理數(shù)3乘根號2是邊長為3的正方形的對角線長度。但是，我們無法回答更深入更具有一般性的復(fù)雜問題，例如：
“任給兩個實(shí)數(shù)a和b，如果a<b，是否在a和b之間總是存在一個有理數(shù)c，使得a<c<b？”
“任給一堆非無窮實(shí)數(shù)，是否存在一個實(shí)數(shù)使得它比所有這堆實(shí)數(shù)都要大且又是所有比這堆實(shí)數(shù)都要大的實(shí)數(shù)中最小的那個？”
定義的不嚴(yán)格性為數(shù)學(xué)理論的研究帶來了很大的問題。微積分在17世紀(jì)就由牛頓和萊布尼茲提出并且在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中被極為廣泛的應(yīng)用，但是由于微積分中所謂“無限小”的這一概念在被提出之初并未被嚴(yán)格精確定義，人們對一些問題無法給出答案，例如：“一個函數(shù)的間斷點(diǎn)要多到什么程度才能使得我們不能求出它的積分？”、“對于一個函數(shù)的求導(dǎo)和積分運(yùn)算是否可以交換其運(yùn)算順序？”?！盁o窮小”概念的模糊引起了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，由此引發(fā)了一系列為數(shù)學(xué)提供更堅(jiān)實(shí)、更嚴(yán)格理論基礎(chǔ)的研究，嚴(yán)格性也成為了現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的一個最重要特點(diǎn)。
數(shù)學(xué)中很多概念的模糊性來源于“無窮”這個概念，而無窮這個概念幾乎出現(xiàn)在數(shù)學(xué)研究的每一個地方。在追求數(shù)學(xué)嚴(yán)格化地背景之下，數(shù)學(xué)家康托爾在19世紀(jì)末提出了集合論，對無窮的概念做出了一系列精確的定義。并且基于這些定義回答了諸如自然數(shù)和實(shí)數(shù)那個更多的問題，以及上面那兩個看似復(fù)雜的問題。
而集合論不僅限于此，在分析哲學(xué)鼻祖弗雷格等人的推動下，集合逐漸成為了定義許多數(shù)學(xué)概念甚至哲學(xué)概念的基礎(chǔ)，它在關(guān)于理性和智慧的精神世界中肆意的繁衍，逐漸成為了一切的定義一切的本原，讓我們可以用集合構(gòu)造出精神世界中的一切符合邏輯的東西，當(dāng)然也包括所有的數(shù)字。
現(xiàn)在我們可以回答這個問題了。3是什么？集合論告訴我們，3是一個集合。
然而，讓弗雷格沒想到的是，在他用集合論打下地基的大廈即將完工之際，當(dāng)時還年輕的哲學(xué)家羅素寫了一封信告訴他，大廈的地基似乎出了點(diǎn)問題。這個問題帶來了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，并且直到今日，那種看起來對其有些許拆東墻補(bǔ)西墻的挽救方式仍然存在爭論。
