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(Sylow第一定理) 設(shè)群 $G$ 的階為 $p^m l$ ，其中 $p$ 為素數(shù)， $(m, p) = 1, l > 0$ 。

則對 $1 \leq k \leq l$ ， $G$ 中必有 $p^k$ 階子群，其中 $p^k$ 階子群稱為 $G$ 的 Sylow $p$ -子群。

(Sylow第二定理) 設(shè)群 $G$ 的階 $n = p^m l$ ， $p$ 為素數(shù)， $(m, p) = 1, l > 0$ ，則

對于 $1 \leq k \leq l$ ， $G$ 的任一 $p^k$ 階子群必包含于 $G$ 的某個 Sylow $p$ -子群中。
$G$ 的任意兩個 Sylow $p$ -子群為正規(guī)子群當(dāng)且僅當(dāng) $G$ 的 Sylow $p$ -子群個數(shù)為 $1$ 。

(Sylow第三定理) $G$ 中 Sylow $p$ -子群個數(shù) $m_p$ 同余于 $1$ ，且 $m_p$ 為 $l$ 內(nèi) $m$ 的因子。
$r \equiv 1 \pmod{p}\ \ 且\ \ \ r | m$

這三個定理分別說明了 $Sylow\ p-$ 子群的存在性，之間的關(guān)系和數(shù)量，以下的例題更加具體的體現(xiàn)出 $Sylow$ 定理的應(yīng)用。

方法一：直接通過某個 $Sylow\ p-$ 子群是唯一的，說明他是一個正規(guī)子群。
①證明 $148$ 階群不是單群。

證明：設(shè) $G$ 的階為 $148 = 2^2 \times 37$ ，考慮 $G$ 的 Sylow $37$ -子群。

$r = 37b + 1 \quad r | 4 \quad r = 1$

$G$ 的 Sylow $37$ -子群為正規(guī)子群， $G$ 不為單群。

方法二：證明非平凡正規(guī)子群的存在性
注意這種方法只有當(dāng) $r$ 不是很大，滿足 $S_r$ 小于 $G$ 的階數(shù)的時候才有效。
例一：證明 $12$ 階群不是單群。

證明：設(shè) $G$ 的階為 $12 = 2^2 \times 3$ ，考慮 $G$ 的 Sylow $2$ -子群（設(shè)為 $P_2$ ）和 Sylow $3$ -子群（設(shè)為 $P_3$ ）。

① 若 $r = 1$ ，則 $G$ 的 Sylow $2$ -子群為正規(guī)子群。

② 若 $r = 3$ ，則 $G$ 的 Sylow $2$ -子群有三個 $P_1,P_2,P_3$

$G$ 在 $\Omega$ 上有共軛作用： $g$ 作用在 $P_i$ 上成為 $gP_ig^{-1}$ ，這個共軛作用誘導(dǎo)出了 $G$ 到 $S_3$ 上的同態(tài)，
$G/\ker \varphi \cong \text{Im } \varphi$
由于 $\text{Im } \varphi \leq |S_3|=6$
所以 $|\ker \varphi| \geq 2$ $\ker \varphi \neq {e}$
再考慮，若 $\ker \varphi = G$ ，則對于任意 $g \in G$ $gP_1g^{-1}=P_1$ ， $P1$ 為正規(guī)子群。
與 $r = 3$ 矛盾，從而 $\ker \varphi$ 為非平凡正規(guī)子群。