任何旋轉(zhuǎn)，都可以用一個旋轉(zhuǎn)軸 $\hat \omega$ 和一個旋轉(zhuǎn)角 $\theta$ 來描述。

1. 坐標(biāo)系的線速度和角速度

如上圖，在旋轉(zhuǎn)的剛體上，附加一個body frame $b$ ，記為 $\hat{x},\hat{y},\hat{z}$ 。對于三個軸而言，繞著 $\hat \omega$ 旋轉(zhuǎn)的軌跡為圓。當(dāng)然，上述坐標(biāo)軸 $\hat{x},\hat{y},\hat{z}$ 和 $\hat \omega$ 是在fixed frame $S$ 坐標(biāo)系下的，下面將 $\hat \omega$ 記為 $\hat \omega_s$ ，

繞著軸 $\hat \omega$ 的角速度為，
$w_s=\hat{w}\dot{\theta} \tag{1}$
運動的線速度記為 $\dot{\hat{x}}$ ，三個軸的線速度則為，
$\begin{aligned} \dot{\hat{x}}&=w_s \times \hat{x} \\ \dot{\hat{y}}&=w_s \times \hat{y} \\ \dot{\hat{z}}&=w_s \times \hat{z} \end{aligned} \tag{2}$
將三個軸的線速度統(tǒng)一寫為，
$\dot{R}= \begin{bmatrix} w_s \times \hat{x} & w_s \times \hat{y} & w_s \times \hat{z} \end{bmatrix}=w_s \times R \tag{3}$
為了簡化公式(3)中的叉乘，特引入了 $[]$ 符號，將 $w \times R$ 可以記為矩陣的乘法 $[w]R$ ，其中 $[w]$ 的定義如下：
對于 $\mathbb{R}^3$ 中的向量 $x=\begin{bmatrix}x_1 & x_2 &x_3\end{bmatrix}$ ,定義 $[x]$ 為一個反對稱矩陣，
$[x]=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -x_{3} & x_{2} \\ x_{3} & 0 & -x_{1} \\ -x_{2} & x_{1} & 0 \end{array}\right]\tag{4}$
$[x]=-[x]^T \tag{5}$
上述所有 $3 \times 3$ 的反對稱矩陣統(tǒng)稱為 $so(3)$ ，小的。前面說過，旋轉(zhuǎn)矩陣屬于 $SO(3)$ ，大的。下面有一個兩者結(jié)合起來有趣的性質(zhì)，假定 $r_i^T$ 為 $R$ 的第 $i$ 行，即 $r_i$ 是 $R^T$ 的第 $i$ 列，則
$\begin{aligned} R[w]R^T &= R\begin{bmatrix} w_s\times r_1 & w_s\times r_2 &w_s\times r_3 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} r_1^{T}(w_s\times r_1) & r_1^T(w_s\times r_2) & r_1^T (w_s\times r_3) \\ r_2^{T}(w_s\times r_1) & r_2^T(w_s\times r_2) & r_2^T (w_s\times r_3) \\ r_3^{T}(w_s\times r_1) & r_3^T(w_s\times r_2) & r_3^T (w_s\times r_3) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -r_3^Tw_s & r_2^Tw_s\\ r_3^Tw_s & 0 &-r_1^Tw_s\\ -r_2^Tw_s&r_1^Tw_s&0 \end{bmatrix}\\ &=[Rw_s] \end{aligned} \tag{6}$

對于(6)中矩陣中的 $r_1^{T}(w_s\times r_2)$ ，是三個向量 $r_1,w_s,r_2$ 的混合積，也就是三個向量組成的六面體的體積，而我們知道矩陣的行列式的值的物理意義就是體積。根據(jù)下面的混合積的圖，很容易得到矩陣中對應(yīng)元素的反對稱的關(guān)系。

下面我們將三個軸的線速度表示為 $[w]$ 的寫法，
$\dot{R}=[w_s]R \tag{7}$

$[w_s]=\dot{R}R^{-1} \tag{8}$
前面我們提到的所有的向量和 $R$ 都是在fixed frame $S$ 下描述的，下面我們將 $w_s$ 在body frame $b$ 下進行描述，易得，
$w_s=R_{sb}w_b\tag{9}$
則旋轉(zhuǎn)軸在body frame $b$ 下，
$w_b=R_{sb}^{-1}w_s=R^{-1}w_s=R^{T}w_s \tag{10}$
因此可以得到，
$\begin{aligned} [w_b]&=[R^{T}w_s] \\ &= R^T[w_s]R \\ &= R^T(\dot{R}R^{T})R \\ &=R^T\dot{R} \\ &=R^{-1}\dot{R} \end{aligned}\tag{11}$

需要注意的是 $w_b$ 是在body frame $b$ 下的描述，所以它描述的角速度不是一個旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系的角速度(例如 $b$ 相對于 $S$ 旋轉(zhuǎn))，而是在某一瞬時， $w_b$ 相對于body frame $b$ 的旋轉(zhuǎn)。

2. 微分方程的解

給定下面一個簡單的線性微分方程，其中 $x(t) \in \mathbb{R}$ ， $a \in \mathbb{R}$ ，初始狀態(tài) $x(t) =x(0)$ ，
$\dot x(t)=ax(t) \tag{12}$
易得上述的解為，
$x(t)=e^{at}x(0) \tag{13}$
對 $e^{at}$ 在 $0$ 附近進行泰勒展開，可得，
$e^{a t}=1+a t+\frac{(a t)^{2}}{2 !}+\frac{(a t)^{3}}{3 !}+\cdots \tag{14}$
同理，當(dāng) $a$ 為矩陣 $A$ 時， $x(t)$ 為列向量，
$\dot x(t)=Ax(t) \tag{15}$
可得解為,
$x(t)=e^{At}x(0) \tag{16}$
其中，
$e^{A t}=1+A t+\frac{(A t)^{2}}{2 !}+\frac{(A t)^{3}}{3 !}+\cdots \tag{17}$

3. 指數(shù)形式的旋轉(zhuǎn)

任何旋轉(zhuǎn)，都可以用一個旋轉(zhuǎn)軸 $\hat \omega$ 和一個旋轉(zhuǎn)角 $\theta$ 來描述。其中 $\hat \omega \in \mathbb{R^3},\Vert{\hat \omega}\Vert=1$ ， $\theta \in \mathbb{R^3}$ 。
下面我們來分析如何利用一根旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角來描述旋轉(zhuǎn)，

假設(shè)向量 $p(t)$ 從 $p(0)$ 繞著 $\hat{\omega}$ 以恒定的角速度 $1rad/s$ 旋轉(zhuǎn)了 $\theta$ 秒，最終到 $p(\theta)$ ，定義 $p(t)$ 間斷的線速度為，
$\dot{p}= \hat{\omega} \times p \tag{18}$
由前面的分析，引入 $[\hat{\omega}]$ ，則
$\dot{p}= [\hat{\omega}] p \tag{19}$
該微分方程如前面介紹為，
$p(t)=e^{[\hat{\omega}] t} p(0) \tag{20}$

則，
$p(\theta)=e^{[\hat{\omega}] \theta} p(0) \tag{21}$

容易得到 $[\hat{\omega}]$ 兩個計算性質(zhì)，如下，
$[\hat{\omega}][\hat{\omega}]=\hat{\omega}\hat{\omega}^{T}-I \tag{22}$

$[\hat{\omega}][\hat{\omega}][\hat{\omega}]= [\hat{\omega}]^{3}=-[\hat{\omega}] \tag{23}$
所以公式21可以化簡為，
$\begin{aligned} e^{[\hat{\omega}] \theta} &=I+[\hat{\omega}] \theta+[\hat{\omega}]^{2} \frac{\theta^{2}}{2 !}+[\hat{\omega}]^{3} \frac{\theta^{3}}{3 !}+\cdots \\ &=I+\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3 !}+\frac{\theta^{5}}{5 !}-\cdots\right)[\hat{\omega}]+\left(\frac{\theta^{2}}{2 !}-\frac{\theta^{4}}{4 !}+\frac{\theta^{6}}{6 !}-\cdots\right)[\hat{\omega}]^{2} \\ &= I+sin(\theta)[\hat{\omega}]+(1-cos(\theta))[\hat{\omega}]^{2} \end{aligned} \tag{24}$
上式就是著名的羅德里格斯公式，即指數(shù)形式的旋轉(zhuǎn)，
$\operatorname{Rot}(\hat{\omega}, \theta)=e^{[\hat{\omega}] \theta}=I+\sin \theta[\hat{\omega}]+(1-\cos \theta)[\hat{\omega}]^{2} \in S O(3) \tag{25}$
經(jīng)過指數(shù)映射，將 $s o(3)$ 和旋轉(zhuǎn)的角度 $\theta$ 通過指數(shù)映射為 $S O(3)$ ，即三維的旋轉(zhuǎn)矩陣。

在前面文章中介紹過，旋轉(zhuǎn)矩陣左乘和右乘的區(qū)別，這里也是類似的，假設(shè)body frame $b$ 在fixed frame $S$ 中的描述為 $R_{sb}$ ，則 $\operatorname{Rot}(\hat{\omega}, \theta)R_{sb}$ ，左乘，表示將 $R_{sb}$ 順著 $S$ 中的 $\hat{\omega}$ 旋轉(zhuǎn) $\theta$ 。而 $R_{sb}\operatorname{Rot}(\hat{\omega}, \theta)$ ，右乘，表示將 $R_{sb}$ 順著 $b$ 中的 $\hat{\omega}$ 旋轉(zhuǎn) $\theta$ 。

4. 旋轉(zhuǎn)矩陣的對數(shù)

上面描述的是從 $\hat{\omega}\theta$ 到旋轉(zhuǎn)矩陣 $R$ 的過程，下面介紹從旋轉(zhuǎn)矩陣 $R$ 求 $\hat{\omega}\theta$ 的過程，也就是求得旋轉(zhuǎn)向量和具體的旋轉(zhuǎn)角度，求 $R$ 矩陣的“對數(shù)”。可以將兩個對應(yīng)的過程描述成下面的形式，

$\begin{array}{cll} \exp : & [\hat{\omega}] \theta \in s o(3) & \rightarrow & R \in S O(3) \\ \log : & R \in S O(3) & \rightarrow & [\hat{\omega}] \theta \in \operatorname{so}(3) \end{array}$

下面將公式(25)展開，如下，
$\left[\begin{array}{ccc} c_{\theta}+\hat{\omega}_{1}^{2}\left(1-c_{\theta}\right) & \hat{\omega}_{1} \hat{\omega}_{2}\left(1-c_{\theta}\right)-\hat{\omega}_{3} \mathrm{s}_{\theta} & \hat{\omega}_{1} \hat{\omega}_{3}\left(1-c_{\theta}\right)+\hat{\omega}_{2} \mathrm{s}_{\theta} \\ \hat{\omega}_{1} \hat{\omega}_{2}\left(1-\mathrm{c}_{\theta}\right)+\hat{\omega}_{3} \mathrm{S}_{\theta} & c_{\theta}+\hat{\omega}_{2}^{2}\left(1-c_{\theta}\right) & \hat{\omega}_{2} \hat{\omega}_{3}\left(1-\mathrm{c}_{\theta}\right)-\hat{\omega}_{1} \mathrm{s}_{\theta} \\ \hat{\omega}_{1} \hat{\omega}_{3}\left(1-\mathrm{c}_{\theta}\right)-\hat{\omega}_{2} \mathrm{S}_{\theta} & \hat{\omega}_{2} \hat{\omega}_{3}\left(1-\mathrm{c}_{\theta}\right)+\hat{\omega}_{1} \mathrm{s}_{\theta} & \mathrm{c}_{\theta}+\hat{\omega}_{3}^{2}\left(1-\mathrm{c}_{\theta}\right) \end{array}\right] \tag{26}$
其中， $\hat{\omega} = \begin{bmatrix} \hat{w_1} \\ \hat{w_2} \\ \hat{w_3} \end{bmatrix}$ ， $\mathrm{c}_{\theta}=cos(\theta)$ ， $\mathrm{s}_{\theta}=sin(\theta)$ 。
記旋轉(zhuǎn)矩陣 $R$ 為 $r_{ij}$ ，則可以得到，
$\begin{aligned} r_{32}-r_{23}&=2 \hat{\omega}_{1}sin(\theta) \\ r_{13}-r_{31}&=2 \hat{\omega}_{2}sin(\theta) \\ r_{21}-r_{12}&=2 \hat{\omega}_{3}sin(\theta) \end{aligned} \tag{27}$
上式在 $sin(\theta)\ne 0$ 的情況下，可以得到，
$\begin{aligned} \hat{\omega}_{1}=\frac{1}{2sin(\theta)}(r_{32}-r_{23}) \\ \hat{\omega}_{2}=\frac{1}{2sin(\theta)}(r_{13}-r_{31}) \\ \hat{\omega}_{3}=\frac{1}{2sin(\theta)}(r_{21}-r_{12}) \end{aligned} \tag{28}$
上式也可以寫成，
$[\hat{\omega}]=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -\hat{\omega}_{3} & \hat{\omega}_{2} \\ \hat{\omega}_{3} & 0 & -\hat{\omega}_{1} \\ -\hat{\omega}_{2} & \hat{\omega}_{1} & 0 \end{array}\right]=\frac{1}{2 \sin \theta}\left(R-R^{\mathrm{T}}\right) \tag{29}$

此外，由式(26)可以得到另外一個計算 $\theta$ 的公式，
$\operatorname{tr} R=r_{11}+r_{22}+r_{33}=1+2 \cos \theta \tag{30}$
至此， $sin(\theta)\ne 0$ 的情況下，利用旋轉(zhuǎn)矩陣 $R$ ，我們計算出了 $\hat{\omega}$ 和 $\theta$ 。接下來討論 $sin(\theta) = 0$ 的情況：

當(dāng) $\theta=k\pi$ ，且 $k$ 是偶數(shù)的情況下，此時相當(dāng)于沒有旋轉(zhuǎn)，回到了原位置， $R=I$ ；
當(dāng) $\theta=k\pi$ ，且 $k$ 是奇數(shù)的情況下，此時有，
$R=e^{[\hat{\omega}] \pi}=I+2[\hat{\omega}]^{2} \tag{31}$
因為式(31)三個矩陣都是對角矩陣，所以可以得到下面的結(jié)果(利用 $R$ 對角元素)
$\hat{\omega}_{i}=\pm \sqrt{\frac{r_{i i}+1}{2}}, \quad i=1,2,3 \tag{32}$
利用 $R$ 非對角元素，可得，
$\begin{aligned} 2 \hat{\omega}_{1} \hat{\omega}_{2} &=r_{12} \\ 2 \hat{\omega}_{2} \hat{\omega}_{3} &=r_{23} \\ 2 \hat{\omega}_{1} \hat{\omega}_{3} &=r_{13} \end{aligned} \tag{33}$
利用式(32)和式(33)我們就能計算出 $\hat{\omega}$ ，同時此時旋轉(zhuǎn)的角為 $\theta=\pm \pi, \pm 3 \pi, \ldots$ 。
從上面的計算過程很容易看出來，旋轉(zhuǎn)角度是以 $2\pi$ 為周期，其實也是符合物理意義的，旋轉(zhuǎn) $\pi$ 和旋轉(zhuǎn) $3\pi$ 的效果是一樣的，因此我們可以將旋轉(zhuǎn)的角度限定在 $[-\pi,\pi]$ 。此時計算的 $\hat{\omega}\theta$ 的長度是 $\le\pi$ 的。因此我們可以把 $S O (3)$ 想象為一個半徑為 $\pi$ 的實心球，如下圖所示，

當(dāng)給定球中的一點 $r\in\mathbb{R}^3$ ，我們可以將 $\hat{\omega}=\frac{r}{\Vert r\Vert}$ 作為單位長度的旋轉(zhuǎn)軸， $\Vert r\Vert$ 作為 $\theta$ 。和 $r$ 相對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣 $R$ 可以被看作是繞著 $\hat{\omega}$ 旋轉(zhuǎn)了 $\theta$ 角。對于 $R\in SO(3)$ ，同時 $trR \ne -1$ ，此時在實心球中總能找到一個唯一的 $r$ ，使得 $e^{[r]}=R$ 。當(dāng) $trR = -1$ 時，此時 $\Vert r\Vert=\pi$ ，在實心球的表面有一對正好相反的一對點，兩者的效果是一樣的， $r$ 和 $-r$ 都對應(yīng)了同一個 $R$ 。