導(dǎo)熱微分方程一般形式推導(dǎo)及變形

1.根據(jù)熱力學(xué)第一定律，封閉系統(tǒng)的能量守恒(這里的大Q單位為焦耳，熱流密度的小q單位為瓦特每單位面積)

Q=\Delta U+W\text{（機(jī)械功）}

2.假設(shè)微元體無體積變化且不對(duì)外做工,則

W=0
Q=\Delta U\text{(熱流量引起內(nèi)能的增加)}

3.導(dǎo)熱沿著正方向dx,dy,dz>0的方向

以x軸為例，流過單位截面積的dQ（焦耳）的函數(shù)表達(dá)式如下：

熱流密度×面積(dydz)×單位時(shí)間

dQ=q_x\cdot dydz\cdot d\tau \tag{1}

其中熱流密度的q單位為W/m^2，熱力學(xué)的單位是J

所以W/m^2 \cdot m^2 \cdot s=J
那么x+dx界面上的熱量dQ_{x+dx}=q_{x+dx}\cdot dy\cdot dz \cdot d\tau \text{(J )} \tag{2}

4.能量核算，(1)進(jìn)入-(2)出去=導(dǎo)熱的凈熱量(3)

dQ_x-dQ_{x+dx}=q_x \cdot dydz\cdot d\tau-q_{x+dx}\cdot dydz\cdot d\tau =(q_x-q_{x+dx})\cdot dydz\cdot d\tau\tag{3}

熱流密度q的增量按泰勒級(jí)數(shù)第一項(xiàng)，并且?guī)霟崃髅芏萹的函數(shù)原型——傅里葉定律

q_{x+dx}=q_x+\frac{\partial q_x} {\partial x}\cdot dx
\begin{cases} q_x\cdot dy\cdot dz=-\lambda\frac{\partial t}{\partial x}\cdot dy\cdot dz \\ \therefore q_x=-\lambda\frac{\partial t}{\partial x}\\ \therefore \frac{\partial q_x} {\partial x}=-\frac{\partial}{\partial x}(\lambda\frac{\partial t}{\partial x})\\ \therefore q_x-q_{x+dx}=-\frac{\partial q_x} {\partial x}\cdot dx=-(-\frac{\partial}{\partial x}(\lambda\frac{\partial t}{\partial x}))\cdot dx \end{cases} \tag{4}
把推導(dǎo)過程(4)最后一個(gè)q_x-q_{x+dx}的結(jié)果帶入(3)中的括號(hào)得到如下結(jié)果
\begin{cases} dQ_x-dQ_{x+dx}=-\frac{\partial q_x} {\partial x}\cdot dx \cdot dy \cdot dz \cdot d\tau=\frac{\partial}{\partial x}(\lambda \cdot \frac{\partial t}{\partial x})\cdot dx \cdot dy \cdot dz \cdot d\tau\\ dQ_y-dQ_{y+dy}=-\frac{\partial q_y} {\partial y}\cdot dy \cdot dx \cdot dz \cdot d\tau=\frac{\partial}{\partial y}(\lambda \cdot \frac{\partial t}{\partial y})\cdot dy \cdot dx \cdot dz \cdot d\tau\\ dQ_z-dQ_{z+dz}=-\frac{\partial q_z} {\partial z}\cdot dz \cdot dx \cdot dy \cdot d\tau=\frac{\partial}{\partial z}(\lambda \cdot \frac{\partial t}{\partial z})\cdot dz \cdot dx \cdot dy \cdot d\tau\\ \end{cases} \tag{5}

5.不失一般性，比如電流發(fā)熱，加上微元體內(nèi)熱源發(fā)熱量，人為定義為熱為單位體積的發(fā)熱功率，因此內(nèi)熱源發(fā)熱量：q_v\cdot d_xd_yd_z\cdot d_\tau \tag{6}

6.導(dǎo)熱的凈熱量(5)+發(fā)熱量(6)=系統(tǒng)熱力學(xué)能增量\Delta U，=質(zhì)量×比熱×溫差，其中單位時(shí)間的溫差為\frac{\partial t}{\partial \tau} \cdot d_\tau，整個(gè)守恒方程的右邊為：

\rho c_p\frac{\partial t}{\partial \tau} \cdot d_xd_yd_zd_\tau \tag{7}

根據(jù)熱力學(xué)能量守恒定律 (5)+(6)=(7)，并注意到(5)，(6)，(7)中都有d_xd_yd_z\cdot d_\tau，約去這四個(gè)微分元項(xiàng)d_xd_yd_z\cdot d_\tau

我們得到導(dǎo)熱微分方程式為

\rho c_p\frac{\partial t}{\partial \tau}=\frac{\partial}{\partial x}(\lambda \cdot \frac{\partial t}{\partial x})+\frac{\partial}{\partial y}(\lambda \cdot \frac{\partial t}{\partial y})+\frac{\partial}{\partial z}(\lambda \cdot \frac{\partial t}{\partial z})+q_v\tag{8}

公式(8)為導(dǎo)熱微分方程的一般形式，如果物性c_p,\rho,\lambda為常數(shù)，并引入新物理量熱擴(kuò)散率a=\frac{\lambda}{\rho c_p}，單位為[m^2/s]，公式(8)除以\rho c_p

\frac{\partial t}{\partial \tau}=a(\frac{\partial^2t}{\partial x^2}+\frac{\partial^2t}{\partial y^2}+\frac{\partial^2t}{\partial z^2})+\frac{q_v}{\rho c_p} \tag{9}

其中，(9)中的二階偏微分可以簡寫為laplace算子

(9)進(jìn)一步簡化為：

\frac{\partial t}{\partial \tau}=a\nabla^2t+\frac{q_v}{\rho c_p} \tag{10}

熱擴(kuò)散率a反應(yīng)了導(dǎo)熱過程中材料的導(dǎo)熱能力\lambda與沿途物質(zhì)儲(chǔ)熱能力\rho c_p的關(guān)系，代表這溫度區(qū)域一致的能力（速度多快，單位和加速度相同）

如果a大，\lambda大，\rho c_p小，說明儲(chǔ)熱能力差，給一個(gè)溫度沖擊迅速擴(kuò)散

對(duì)于木頭來說，a_木=1.5×10^{-7}m^2/s，對(duì)于鉛塊來說a_鉛=9.45×10^{-5}m^2/s，兩者相差了600倍，所以熱擴(kuò)散率是反應(yīng)導(dǎo)熱過程動(dòng)態(tài)特性，在穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱中實(shí)際是用不到的。

在常物性的前提下，如果增加 沒有內(nèi)熱源的情況，進(jìn)一步簡化

\frac{\partial t}{\partial \tau}=a\nabla^2t \tag{11}

如果為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，溫度t不隨時(shí)間\tau變化，也就是\frac{\partial t}{\partial \tau}=0

穩(wěn)態(tài)常物性無內(nèi)熱源導(dǎo)熱微分方程

\nabla^2t=0 \tag{12}

一維情況下，沒有y，z方向，偏微分方程退化為常微分

\frac{d^2t}{dx^2}=0 \tag{13}

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