第2章 連續(xù)動(dòng)態(tài)

機(jī)械部件的運(yùn)動(dòng)通常可以用微分方程或者等價(jià)地用積分方程來(lái)建模。實(shí)際上該類(lèi)模型僅對(duì)于“平滑”運(yùn)動(dòng)(通過(guò)采用線性、時(shí)間不變性和連續(xù)性等概念來(lái)使得這一描述更為精確)有良好的運(yùn)行效果。

2.1 牛頓力學(xué)

• 一個(gè)屋里系統(tǒng)的模型由將輸入信號(hào)與輸出信號(hào)進(jìn)行關(guān)聯(lián)的微分或積分方程給出。

物理對(duì)象的空間云頂可以表示為六自由度，其中三個(gè)代表三維空間中的位置（x，y，z），另外三個(gè)表示空間中的方向：滾轉(zhuǎn)角(roll)\theta _ { x }、偏航角(yaw)\theta _ { y }、俯仰角(pitch)\theta _ { z }。

由此，物理的空間位置就被辨識(shí)為形如f : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R }的6個(gè)函數(shù)，其中定義域表示時(shí)間，到達(dá)域表示某個(gè)軸上的距離或者與該軸的夾角。

Q：如何理解到達(dá)域？（函數(shù)的值域是到達(dá)域的子集）

牛頓力學(xué)中：

• 位置是速度的積分，而速度是加速度（力）的積分，所以有：

\begin{eqnarray} x ( t ) &=& x ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { t } \dot { x } ( \tau ) d \tau \ &=& x ( 0 ) + t \dot { x } ( 0 ) + \frac { 1 } { M } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \tau } F ( \alpha ) d \alpha d \tau \end{eqnarray}

• 方向是旋轉(zhuǎn)速度的積分，而旋轉(zhuǎn)速度是角加速度的積分，所以：
  \theta ( t ) = \theta ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { t } \dot { \theta } ( \tau ) d \tau
  若該物體是球體：則上式可以進(jìn)一步表達(dá)為：

\begin{eqnarray} \theta ( t ) &=& \theta ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { t } \dot { \theta } ( \tau ) d \tau \ & =& \theta ( 0 ) + t \dot { \theta } ( 0 ) + \frac { 1 } { I } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \tau } T ( \alpha ) d \alpha d \tau \end{eqnarray}

2.2 參元模型

輸入與輸出分別為一組函數(shù)的方框單元被稱(chēng)為一個(gè)參元（actor）。

注：“參元”表示一個(gè)參與活動(dòng)的對(duì)象模型或系統(tǒng)組件。

參元模型是可以組合的，eg：級(jí)聯(lián)組合

2.3 系統(tǒng)特性

介紹參元及其組成的系統(tǒng)可能具有的一些特性

2.3.1 因果系統(tǒng)

如果一個(gè)系統(tǒng)的輸出僅依賴(lài)于當(dāng)前及過(guò)去的輸入，那么這個(gè)系統(tǒng)就是因果關(guān)系的。

如果兩個(gè)可能的輸入x_{1}和x_{2}直到（且不包括）時(shí)間\tau都相同，且直到（且包括）時(shí)間\tau其輸出也都相同，那么該系統(tǒng)就是嚴(yán)格因果的

嚴(yán)格因果關(guān)系系統(tǒng)在t時(shí)刻的輸出并不依賴(lài)t時(shí)刻的輸入，而是僅依賴(lài)于之前的輸入。

eg： 積分器參元具有嚴(yán)格的因果關(guān)系，加法器參元不是嚴(yán)格因果的，但它是因果的。

2.3.2 無(wú)記憶系統(tǒng)

如果一個(gè)系統(tǒng)的輸出不僅依賴(lài)當(dāng)前輸入，還同樣依賴(lài)于之前的輸入（或者之后的輸入，如果系統(tǒng)不是因果的），那么該系統(tǒng)就是有記憶的。

一個(gè)時(shí)間連續(xù)系統(tǒng)S:X\rightarrow Y，在集合A、B上有X={A}^{\mathbb{R}}以及Y={B}^{\mathbb{R}}。形式化地，如果存在一個(gè)函數(shù)f:A\rightarrow B，對(duì)于所有的x\in X和t \in \mathbb {R},

(S(x))(t)=f(x(t))

那么該系統(tǒng)就是無(wú)記憶的。

Q：積分器是無(wú)記憶的，加法器是有記憶的，如何理解？

注：如果一個(gè)系統(tǒng)具有嚴(yán)格因果關(guān)系，且是無(wú)記憶的，那么對(duì)于任何輸入，其輸出都是恒定的。

2.3.3 線性與時(shí)不變性

考慮一個(gè)系統(tǒng)S:X \rightarrow Y，X和Y是信號(hào)集合，若滿(mǎn)足如下疊加（superposition）特性，那么該系統(tǒng)就是線性的。

\forall x_{1},x_{2} \in X且 \forall a ,b \in \mathbb{R} , S(ax_{1}+bx_{2})= aS(x_{1})+bS(x_{2})

為了定義時(shí)不變性，先定義一個(gè)特定的時(shí)間連續(xù)參元，稱(chēng)之為延遲。令D_{\tau}:X \rightarrow Y （X、Y均為時(shí)間連續(xù)信號(hào)）以下式來(lái)定義。

\forall x \in X 且\forall t \in \mathbb{R},(D_{\tau}(x))(t)=x(t-\tau)

這里，\tau是延遲參元的一個(gè)參數(shù)。如果滿(mǎn)足如下條件，系統(tǒng)S:S \rightarrow Y就是時(shí)不變的。

\forall x \in X 且\forall \tau \in \mathbb{R},S(D_{\tau}(S(x))=D_{\tau}(S(x))

線性時(shí)不變系統(tǒng)（LTI）是一個(gè)同事具有線性和時(shí)不變特性的系統(tǒng)。如果一個(gè)合理的近似可以生成一個(gè)LTI模型，這個(gè)近似就是有意義的。

2.3.4 穩(wěn)定性

如果對(duì)于所有有界的輸入信號(hào)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)都是有界的，那么就說(shuō)這個(gè)系統(tǒng)是有界輸入有界輸出穩(wěn)定的（即BIBO穩(wěn)定，或簡(jiǎn)稱(chēng)穩(wěn)定）。

2.4 反饋控制

反饋式系統(tǒng)具有一組有向環(huán)路，其中，參元的輸出又反向回饋到其輸入端。誤差為期望行為和實(shí)際行為之間的差異。

矯正信號(hào)通常只能影響未來(lái)的誤差，因此反饋式系統(tǒng)一般都必須在每一個(gè)有向環(huán)路中至少包含一個(gè)嚴(yán)格因果關(guān)系的參元。

Q：如何理解此處的“至少”？如果不包含嚴(yán)格因果關(guān)系的參元會(huì)怎樣？

2.5 小結(jié)

可以對(duì)一個(gè)系統(tǒng)使用多個(gè)模型，而且這些模型與鎖建模的系統(tǒng)是有區(qū)別的。一個(gè)模型的逼真度（近似于所建模系統(tǒng)的程度）是關(guān)系到任何工程計(jì)劃成功與否的重要因素。