本篇筆記因?yàn)槠L（共兩萬八千余字），超出簡書允許的字符數(shù)，所以拆成兩部分，各對應(yīng)書的上半部和下半部。下半部筆記在這里。因?yàn)槿藲獾南禄?，和這本書的專業(yè)性，我需要時間確定下如何寫這一篇文章，敬請期待。

上篇 集異璧 GEB

導(dǎo)言

• 巴赫
  • 巴赫以國王主題為題即興創(chuàng)作「音樂的奉獻(xiàn)」給普魯士國王腓德烈大帝
  • 卡農(nóng)和賦格
    • 卡農(nóng)：一個單一的主題與它自己相伴而奏
    • 賦格：單獨(dú)一個聲部唱出主題，唱完后第二個聲部或移高五度或降低四度進(jìn)入
  • 無窮升高的卡農(nóng)——Canon per Tonos
    • 引出怪圈的概念：向某一方向穿過某種層次系統(tǒng)中的一些層次時，正好回到了開始的地方
• 艾舍爾——怪圈的藝術(shù)
  • 「瀑布」，「上升與下降」、「畫手」、「畫廊」
• 哥德爾
  • 「艾皮曼尼蒂斯悖論」或「說謊者悖論」：這句子是假的。
  • 哥德爾不完備性定理
    • 數(shù)論的所有一致的公理化形式系統(tǒng)都包含有不可判定的命題
    • 無論涉及到什么公理系統(tǒng)，可證性總是比真理性弱
• 數(shù)理邏輯提要
  • 十九世紀(jì)晚期，整理出嚴(yán)格的演繹推理模式，成書「思維的法則」
  • 十九世紀(jì)八十年代，集合論
    • 集合論的悖論——怪圈仍然存在
      • 羅素悖論
      • 格瑞林悖論
  • 消除怪圈
    • 羅素和懷特海的「數(shù)學(xué)原理」：將所有集合分級，只有高一級的才可以包含該層，也就沒有了怪圈
      • 分層法：將語言分層來禁止循環(huán)，從最底層的對象語言、元語言、元元語言等等
      • 這種方法完全不能用在日常語言中
  • 一致性、完全性和希爾伯特方案
    • 利用數(shù)學(xué)的一小部分來證明整個數(shù)學(xué)方法是正確的（相當(dāng)于用手拽著鞋來確實(shí)地讓腳離地，相對于抓自己的頭發(fā)不能讓自己升高）
    • 哥德爾不完備性定理徹底否決了所有嘗試
  • 巴比奇、計(jì)算機(jī)、人工智能……和巴赫
    • 查爾斯·巴比奇（1792-1871）構(gòu)想出計(jì)算機(jī)的存儲和加工裝置
    • 計(jì)算機(jī)和人工智能
      • 利用不同層次的規(guī)則（上層管理控制下層）來模擬智能
    • 巴赫代表音樂，有神學(xué)家認(rèn)為人工智能永遠(yuǎn)無法理解音樂，那是靈魂的領(lǐng)域
• 哥德爾、艾舍爾、巴赫為三塊異璧

三部創(chuàng)意曲

• 芝諾與其為說明「芝諾定理」而創(chuàng)作的人物阿基里斯和烏龜
• 沒啥內(nèi)容，只作為起始介紹一下芝諾悖論和后面的出場兩位虛擬人物

第一章 WU謎題

• 形式系統(tǒng)
• WU謎題：只使用WUJ三個字母和4條已有規(guī)則，把WJ變換為WU
• 定理、公理和規(guī)則
  • 定理：在形式系統(tǒng)中按照一定的規(guī)則產(chǎn)生出來的
  • 公理：無償提供的定理
  • 規(guī)則：符號變換規(guī)則，生成規(guī)則，推導(dǎo)規(guī)則
  • 推導(dǎo)：按照形式系統(tǒng)中的規(guī)則逐行生成該定理的明顯論證
• 系統(tǒng)內(nèi)外
  • 機(jī)器有可能在做某件事的時不去觀察，而人不可能不去觀察。機(jī)器可以不知抱怨地重復(fù)做一樣的事情而不意識到模式上根本就不會有結(jié)果。
• 跳出系統(tǒng)
  • 如果系統(tǒng)的定義是按照規(guī)律做一些事情，那么計(jì)算機(jī)有能力跳出系統(tǒng)
  • 如果系統(tǒng)的定義是計(jì)算機(jī)按照程序做所作的一切，那計(jì)算機(jī)很顯然無法跳出系統(tǒng)
  • 人在做一件事情重復(fù)失敗的時候，會跳出系統(tǒng)觀察總結(jié)反思
• W方式、J方式和U方式
  • W方式：像有思維的人一樣工作
  • J方式：像機(jī)器一樣工作
  • U方式：禪宗的處世態(tài)度
• 判定過程：WU真的可以出現(xiàn)嗎？
  • 如果有一個檢驗(yàn)定理的測試，一個總是在有限長的時間內(nèi)終結(jié)的測試，那么，這個測試就叫做給定形式系統(tǒng)的判定過程。
  • 公理有判定過程，定理則可以沒有

二部創(chuàng)意曲

• 無論是何種的推理，哪怕是最簡單的三段論推理，仍然可以引入無窮多的前提，也就是說，永遠(yuǎn)無法完整無矛盾地證明

第二章 數(shù)學(xué)中的意義與形式

• 以pq形式系統(tǒng)來模仿現(xiàn)實(shí)中的加減法
  • 公理定義、定理和定理生成規(guī)則
  • 良構(gòu)：構(gòu)型良好的字符串，從形式上無法排除無法否認(rèn)的符號串
  • 自頂而下和自底而上
    • 自頂而下：拿到一條符號串，檢測是不是公理，如果不是公理，將其分解成多個更短些的字符串，再次檢查公理，一直分解下去，直到遇到公理或者不能再分解縮短為止（注：類似反證法，先假設(shè)要證明的是正確的，以此為條件來反推）
    • 自底而上：拿到一個符號串，將所有的公理和它能產(chǎn)生的定理，以及定理產(chǎn)生的定理等等一一列出，直到出現(xiàn)符合該符號串規(guī)則的為止（注：常見的正順序證明方法）
  • 同構(gòu)產(chǎn)生意義
    • 同構(gòu)：保存信息的變換。兩個復(fù)雜結(jié)果可以互相映射，并且每一個結(jié)構(gòu)的每一部分在另一個結(jié)構(gòu)中都有一個相應(yīng)的部分。
    • 同構(gòu)具有模糊性
    • 「解釋」：符號和詞語之間的同構(gòu)關(guān)系
    • 有意義和無意義的解釋——真理和定理相互對應(yīng)的解釋為有意義的
    • 主動意義之于被動意義
      • 主動意義：所得到的新的意義，創(chuàng)造定理的規(guī)則也同時增加了，意義變成了規(guī)則
      • 被動意義：在形式系統(tǒng)中，意義一定是被動的。我們沒有權(quán)利根據(jù)新的意義來創(chuàng)造出新的定理。
    • 雙重意義：行駛系統(tǒng)中的符號不一定只有一個確定意義，也有可能在其他的解釋下，定理同樣會變成真理。（2+3=5和2=5-3）
  • 形式系統(tǒng)和現(xiàn)實(shí)
    • 現(xiàn)實(shí)能不能用行駛系統(tǒng)來完整模仿嗎？答案仍然不確定，因?yàn)榇鸢戈P(guān)系到宇宙是否是以完全確定的方式運(yùn)動。
  • 數(shù)學(xué)和符號處理
    • 我們無法在有限時間內(nèi)通過窮舉法驗(yàn)證形式系統(tǒng)的完整正確性
    • 數(shù)學(xué)的乘法是基于一些加減法的性質(zhì)，而這些性質(zhì)被默認(rèn)假定為對所有數(shù)字都有效，人們可以試驗(yàn)2x3的結(jié)果，但是無法驗(yàn)證123456789x987654321的結(jié)果
  • 算術(shù)的基本法則
  • 理想的數(shù)：形式系統(tǒng)能夠徹底把我數(shù)論的性質(zhì)？
    • 歐幾里得定理及其證明（注：搜索到的歐幾里得定理和書中描寫素?cái)?shù)的定理不一致？）
  • 繞過無窮
    • 用有限的詞語和正確的使用理解方式，來推廣體現(xiàn)出無窮
    • 歐幾里得定理的仔細(xì)剖析可以得到數(shù)量極為龐大的互相有關(guān)聯(lián)的微小證明

無伴奏阿基里斯奏鳴曲

• 模仿巴赫的「無伴奏小提琴奏鳴曲」
• 阿基里斯的電話獨(dú)白
• 艾舍爾的「鑲嵌畫II」
• 開始引入「圖形」與「襯底」的概念

第三章 圖形與襯底

• 素?cái)?shù)之別于合數(shù)
• tq系統(tǒng)：pq系統(tǒng)的乘法版
• 把握合數(shù)：利用tq系統(tǒng)，如果xqy-tz-是定理，則Cx（是合數(shù)）是定理
• 對素?cái)?shù)的非法刻畫
  • 不能說對于一個數(shù)x，Cx不是定理，Px就是定理
• 圖形和襯底
  • 流暢可畫出圖形：襯底只是繪畫過程中的替代品
  • 倍流暢圖形：圖形和襯底都是流暢可畫出的
  • 例：以鳥作瓦、FIGURE-FIGURE
• 音樂中的圖形與襯底
• 遞歸可枚舉集之別與遞歸集
  • 存在一個形式系統(tǒng)，其負(fù)空間（非定理集）不是任何一個形式系統(tǒng)的正空間（定理集）
  • 存在非遞歸的遞歸可枚舉集
    • 遞歸可枚舉是藝術(shù)上的「流暢可畫出」
    • 遞歸是藝術(shù)上的「倍流暢」
• 素?cái)?shù)作為圖形而非襯底（證明素?cái)?shù)）
  • 測試一個數(shù)能否被2整除，然后是3、4、5一直到x-1

對位藏頭詩

• 播放機(jī)在播放一些音樂的時候自我震碎了
• Bach的上下前后顛倒以后，演奏尾聲的時候，阿基里斯送給烏龜?shù)陌秃盏母吣_杯炸碎

第四章 一致性、完全性和幾何學(xué)

• 隱含意義與顯明意義
  • 很容易犯的錯誤：把全部意義歸結(jié)于對象，而非對象與真實(shí)世界的聯(lián)結(jié)。
• 「對位藏頭詩」的顯明意義
  • 第一層意義是音樂意義
  • 第二層意義是唱機(jī)引起的震顫序列
    • 第二層意義依賴于兩個同構(gòu)
      • 任意紋道模式與空氣震顫之間的同構(gòu)（發(fā)出聲音）
      • 任意的空氣震顫與唱機(jī)震顫之間的同構(gòu)
• 「對位藏頭詩」的隱含意義
  • 烏龜在前半部分是惡作劇的始作俑者，在后半部分卻成了同樣一出戲的受害者，這是一層和惡作劇本身一樣的倒戈
• 「對位藏頭詩」與哥德爾定理之間的映射
• 賦格的藝術(shù)
  • 巴赫在將自己的名字使用進(jìn)樂譜的時候，健康狀況惡化，也是倒戈
• 哥德爾的結(jié)果造成的問題
  • 沒有一個足夠強(qiáng)有利的形式系統(tǒng)會在下述意義上是完備的：能夠把每一個真陳述都作為定理而重現(xiàn)在該系統(tǒng)中。
  • 不完全性：對于任何一個形式系統(tǒng)，真理超出該系統(tǒng)所規(guī)定的定理資格
• 修改了的pq系統(tǒng)與不一致性（x=x+1）
  • 外部不一致：與世界真理不一致
  • 內(nèi)部不一致：x到底等于幾？
• 重新獲得一致性：通過修改解釋方法，q不再是等于，而是等于或小于
• 歐幾里得幾何的歷史
  • 歐式幾何的五條公設(shè)中，最后一條平行線公設(shè)最不美觀
  • 無數(shù)人試圖證明第五共設(shè)是前四條共設(shè)的一部分，全部失敗
    • 濟(jì)羅拉莫·薩徹利，蘭伯特，最后由雅諾·鮑勃和尼古拉伊·羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)非歐氏幾何
• 未定義項(xiàng)：沒有確定的定義，而是借助在定理中扮演的角色而獲得被動意義的（必去q可以使等于也可以是小于等于）
• 多重解釋的可能性
  • 一致性不單是形式系統(tǒng)的性質(zhì)，還依賴于為之提出的解釋
• 各種各樣的一致性
  • 一致性：指其中每個定理經(jīng)解釋后都成為一個真陳述
  • 如果每個定理經(jīng)解釋后成為真的，則系統(tǒng)加上解釋是與外部世界一致的
  • 如果所有的定理經(jīng)解釋后成為彼此相容的，則系統(tǒng)加上解釋是內(nèi)部一致的
• 假想的世界和一致性
  • 一致性可以有很多標(biāo)準(zhǔn)：邏輯一致性、數(shù)學(xué)一致性、物理一致性、生物學(xué)一致性etc
  • 有意思和沒意思的分界線是年華在數(shù)學(xué)一致性和物理一致性之間的，也就是說，只有邏輯和書寫的不一致性才算是
  • 再次確認(rèn)，破壞一致性只需要改變某些解釋
• 形式系統(tǒng)中嵌入形式系統(tǒng)
  • 形式系統(tǒng)常常是以相繼的、或者說分層的方式構(gòu)造出來的（形式系統(tǒng)1并入形式系統(tǒng)2并入3并入4）
• 視知覺中的穩(wěn)定性層次
  • 艾舍爾的「相對性」
• 數(shù)論在每個可想象的世界里都是一樣的嗎？（注：拋磚引玉）
  • 皮亞諾算術(shù)
• 完全性
  • 如果一致性是獲得被動意義的最低條件，那么，完全性，是那些被動意義的最高確認(rèn)
  • 完全性：所有真的（在某個想象的世界里）且可表示成 系統(tǒng)中的良構(gòu)符號串的都是定理。
  • pq系統(tǒng)就是完全的，不過它就像是低保音唱機(jī)，無法包容改進(jìn)除了簡單自然數(shù)加法外的數(shù)學(xué)理論
• 一個解釋怎樣就能達(dá)到或破壞完全性？
  • 沒有精確反映出定理在系統(tǒng)中的作為
    • 可以向系統(tǒng)中添加新的規(guī)則
    • 可以緊縮解釋
  • 修改后的pq系統(tǒng)：q不再是小于等于，而是等于或加1后等于
• 形式化數(shù)論的不完全性
  • 試圖增加規(guī)則以克服數(shù)論的不完全性，會陷入不斷添加新的規(guī)則以克服之前添加規(guī)則的漏洞的無限迭代（類似「二部創(chuàng)意曲」一章）

和聲小迷宮（圖p169）

• 阿基里斯和烏龜在游樂場玩，通過一條纜繩，在「大風(fēng)車」的最頂端被拽入一架直升飛機(jī)內(nèi)，郝暈說要把烏龜做成餡餅。阿基里斯和烏龜在郝暈的書房里發(fā)現(xiàn)一本叫做「阿基里斯和烏龜在全球瞎逛時引人入勝的歷險」，開始閱讀里面的一篇故事：「神怪和煮調(diào)飲」
  • 阿基里斯家
    • 故事中，阿基里斯和烏龜通過「推入露」進(jìn)入到艾舍爾的「凹與凸」中，他們帶著煮調(diào)飲以從畫中回到現(xiàn)實(shí)。在畫中，他們歷險拿到神燈，神怪許給他們?nèi)齻€愿望，阿基里斯許愿他們能有一百克愿望可以被實(shí)現(xiàn)，但是神怪無法完成「元愿望」，只有通過自己的「元燈」找「元神怪」，「元神怪」通過自己的「元元燈」找「元元神怪」，一直到造物主，然后再次遞歸回來，告訴阿基里斯可以許一個無類型愿望，即任意愿望。神怪解釋說，造物主「永遠(yuǎn)」到達(dá)不了，它不是某個神怪，而是在所有等級的神怪之外的概念。阿基里斯為了挑戰(zhàn)無類型愿望的極限，他說他希望自己的冤枉不被批準(zhǔn)。
    • 系統(tǒng)因此崩塌，二者都被彈到了艾舍爾的「爬蟲」中。阿基里斯不小心把帶來的煮調(diào)飲碰掉，烏龜在讀「烏龜和阿基里斯在全球各地轉(zhuǎn)悠時的歷險」，阿基里斯說要下一層去撿煮調(diào)飲，烏龜答應(yīng)。
      • 這次他們進(jìn)入了巴赫的「和聲小迷宮」的唱片，他們在溝回之中奔走，烏龜說巴赫的這首曲子是以繁復(fù)的變調(diào)出名，在最后會留下隱忍遐想的突然不和諧終止。阿基里斯和烏龜都掉進(jìn)大洞里，大洞是大雕（創(chuàng)造迷宮并且嘲笑一切迷路之人的大雕，暗指巴赫）的老窩，他們吃掉旁邊的「彈出鍋酥」，故事結(jié)束。
    • 二人向上爬了一層樓，從畫中退出。
  • 二人回到了烏龜?shù)姆孔?/li>

第五章 遞歸結(jié)構(gòu)和遞歸過程

• 遞歸即嵌套
  • 地規(guī)定以從來不以某一事物自身來定義這個事物，而總是用比其自身簡單一些的說法來定義這個事物。
• 推入、彈出和堆棧：計(jì)算機(jī)科學(xué)概念
  • 堆?？梢岳斫鉃橐晦P子，往最上方放一個盤子為推入，從上方拿走一個盤子為彈出
• 音樂中的堆棧
• 語言中的遞歸
  • 遞歸遷移網(wǎng)（RTN）：表示出為完成一項(xiàng)特殊任務(wù)可以遵循的各種通道
  • 「終了」和異層結(jié)構(gòu)
    • 定義中總會有一部分避免了自指，即到達(dá)了終了
    • 異層結(jié)構(gòu)：沒有最高層次或控制層的程序結(jié)構(gòu)，互相調(diào)用全部平等
  • 擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)：將所調(diào)用的程式代入調(diào)用的節(jié)點(diǎn)上
• 圖案G和遞歸序列（斐波那契數(shù)列）
  • 一個紊亂的序列
    • Q(n) = Q(n-Q(n-1)) + Q(n-Q(n-2)), when n>2
• 兩個令人驚異的遞歸圖
  • 遞歸的定義需要1基底和2遞歸規(guī)則
  • INT圖：由本身的無限迭代的副本組成的
  • G圖，一個磁場中理想晶體里的電子的能量帶
• 物質(zhì)最低層次上的遞歸
  • 裸粒子，即不和其他例子相互作用的粒子不存在。
  • 例：當(dāng)光子和電子為實(shí)際的「重正化了的」，二者要從A點(diǎn)到B點(diǎn)，必定會經(jīng)過無法統(tǒng)計(jì)的互相牽扯。
    • 費(fèi)因曼圖案
    • 每個存在的粒子都涉及到無數(shù)其他粒子的存在，在身后拖著「虛云」，「虛云」中的虛粒子又拖著它們的「虛云」，無限迭代
• 副本和同一性
  • 艾舍爾「魚和鱗」「蝴蝶」
  • 一個東西的部分是這個東西自身的副本，DNA，巴赫的音樂和艾舍爾的畫都具有同一性，見微知著
• 程序設(shè)計(jì)與遞歸：模塊性、循環(huán)、過程
  • 循環(huán)：一遍一遍地執(zhí)行某些相互有關(guān)聯(lián)的步驟，當(dāng)遇到指定的條件時就終止。
  • 過程：（procedure？）把一組操作集合在一起，以方便隨時調(diào)用
  • 無處不在的「模塊化」
• 弈棋程序中的遞歸
  • 侯世達(dá)定律：做事所花費(fèi)的時間總是比你預(yù)期的要長，及時你的預(yù)期中考慮了侯世達(dá)定律（注：這個定律其實(shí)也像是個遞歸）
• 遞歸和不可預(yù)測性
  • 復(fù)雜到一定程度的遞歸系統(tǒng)，其能力可能會強(qiáng)有力得足夠打破任何事先規(guī)定下來的模式。（使得智能能夠成為智能）

音程遞增的卡農(nóng)

• 對于同一文字序列的不同解釋
  • 俳句
  • 每個人都各有自己的方法來解譯我們接受的信息
• 音程增值的三首卡農(nóng)在同一唱機(jī)上播放
  • 「4分33秒」約翰·卡奇

第六章 意義位于何處

• 什么時候事物不總是同樣的？
  • 意義是一條消息固有的，還是心靈或機(jī)器與一條消息的相互作用中產(chǎn)生的？
• 信息攜帶者與信息揭示者：唱片與唱機(jī)
• 遺傳型和表現(xiàn)型：DNA和生物
• 異常同構(gòu)和平凡同構(gòu)
  • 平凡同構(gòu)：一個結(jié)構(gòu)的各部分可以很容易地對應(yīng)于另一個結(jié)構(gòu)的各部分（唱片和唱機(jī)）
  • 異常同構(gòu)：遺傳型和表現(xiàn)型的各部分不能很輕易地一一對應(yīng)（DNA和生物）
• 自動唱機(jī)和觸發(fā)器
  • 觸發(fā)器：觸發(fā)了從遺傳型到表現(xiàn)型的變化過程
  • 唱機(jī)和唱片可以完全分離，意義位于長篇中，而唱機(jī)不過是大環(huán)境。DNA是否也是如此？
• DNA和化學(xué)環(huán)境的必要性
  • 一種觀點(diǎn)認(rèn)為：為了使DNA有意義，化學(xué)環(huán)境是必須的；另一種觀點(diǎn)認(rèn)為：揭示一束DNA的固有意義，只有智能是必須的
• 一個假想的飛碟：如果一個
• 消息的理解層次
  • 就算外星人能夠造出以太昌吉來播放唱片，仍然不能算是理解了唱片的真正意義
  • 如果能直接在目標(biāo)腦袋里制造同樣的反應(yīng)、景象和聯(lián)想，那么不通過聲音或光當(dāng)做媒介也是可以的
• 太空幻景
  • 任何消息是否在本質(zhì)上都具有足夠的內(nèi)在邏輯，一旦遇到具有充分高智能的生物，其環(huán)境總能自動地建立起來？
• 了不起的釋讀者
  • 「羅塞達(dá)碑」
  • 意義在多大程度上以可以預(yù)測的方式作用于只能，就在此程度上是對象的一部分
• 任何消息都分三層
  • 理解內(nèi)在消息就是抽取出發(fā)送人所要傳遞的意義
  • 理解框架消息就是確認(rèn)需要一種解碼機(jī)制
  • 理解外在消息就是建造——或知道如何健在——能正確解譯內(nèi)在消息的解碼機(jī)制
• 薛定諤的非周期性晶體結(jié)構(gòu)
  • 如果我們再某處發(fā)現(xiàn)一個非常規(guī)則的幾何結(jié)構(gòu)中「包裹著」非周期性晶體結(jié)構(gòu)，那里就可能隱藏著一些內(nèi)在信息
• 三個層次行的語言
  • 如何從外部發(fā)現(xiàn)釋讀內(nèi)在信息，如何在人們可能不知道內(nèi)在信息解碼機(jī)制的情況下，在外部信息中包括可以理解的解碼機(jī)制？
• 意義的「自動唱機(jī)」理論
  • 這個觀點(diǎn)認(rèn)為：消息不包含固有意義，因?yàn)樵谌魏蜗⒈焕斫庵?，它都會被用作某個「自動唱機(jī)」的輸入，而這就意味著該「自動唱機(jī)」所包含的信息一定會在消息中的意義被獲取之前加在它上面。
  • 悖論：但是人確實(shí)在理解一切，為什么？
• 反駁自動唱機(jī)理論
  • 這個無限循環(huán)的迭代在人腦這一關(guān)卡停止，因?yàn)榇竽X是物理實(shí)體，并且運(yùn)轉(zhuǎn)過程中無需被告知如何運(yùn)轉(zhuǎn)，所以悖論被打破
• 若智能是自然的，則意義是固有的
  • 在同樣條件下，一個腦和另一和腦對一個給定的觸發(fā)信號幾乎產(chǎn)生完全一樣的反應(yīng)
  • 如果我們相信人類只能只不過是一種普遍存在的自然現(xiàn)象的一個特例，那么所有智能生物都趨向于以和我們永陽的方式對這些觸發(fā)信號做出反應(yīng)，即以同樣的方式解讀意義
• 地球沙文主義
  • 把意義歸因于消息是出于：分布在宇宙各處的智能生物對消息所進(jìn)行的處理具有不變性。但是這樣考慮問題，會有地球沙文主義的嫌疑。
• 太空中的兩塊金屬板
  • 長遺傳型：所包含的信息足以使智能生物能夠僅從遺傳型中推出把表現(xiàn)型從遺傳型中抽取出來所需要的機(jī)制。
• 再談巴赫之別于卡奇
  • 智能喜愛模式化，厭惡隨機(jī)性
  • 要欣賞卡奇的藝術(shù)「4分33秒」，那么需要把整個藝術(shù)文化史和大環(huán)境全部表達(dá)出去，但要欣賞巴赫的音樂就不需要很多
• DNA中的消息有多大的普遍性
  • DNA中的消息有限制地包含了一些其所在化學(xué)環(huán)境的信息
  • 如果DNA序列使用堿基序列符號傳送出去的話，那么就完全無法回復(fù)其化學(xué)環(huán)境，也就不可能被破譯

半音階幻想曲，及互格

• 烏龜一直在自我矛盾，阿基里斯在為其指正，但阿基里斯最后居然被烏龜說服了

第七章 命題演算（注：百度百科詞條「命題邏輯」）

• 詞與符號
• 字母表和命題演算規(guī)則
  • 原子：演算過程中沒有完全定義的placeholder，經(jīng)常是大學(xué)英文字母或者小寫希臘字母。一個原子沒有固定的單一解釋。
  • 聯(lián)結(jié)規(guī)則、分隔規(guī)則、雙彎號規(guī)則、幻想規(guī)則、搬入規(guī)則、分離規(guī)則、易位規(guī)則、德·摩根（deMorgan）規(guī)則和思維陀螺（斯維徹羅？）規(guī)則
• 良構(gòu)串
  • 對于這個命題演算符號規(guī)則的一批例子
• 幻想規(guī)則和遞歸
  • 無中生有制造定理的規(guī)則，一切定理的開始規(guī)則，用「[」和「]」表示開始和結(jié)束
  • 幻想規(guī)則可以嵌套遞歸
• 符號的預(yù)期解釋
  • 對于原子的解釋可以隨著本身意義多種多樣，<PVQ>可以解釋為：要么你請客，要么我請客（要么兩人都付錢AA制）
  • 在命題演算中，所有的事情是純粹「符號地」做出來的，完全機(jī)械的，不經(jīng)思考的，硬性規(guī)定的，甚至是傻乎乎的。
• 對規(guī)則的論證
• 擺弄這個系統(tǒng)（由這些規(guī)則進(jìn)行一步一步的推理）
• 半解釋：直接讀出定理而不對原子進(jìn)行解釋
• 巖頭之斧（一個由禪宗公案而來的復(fù)雜推理的例子）
• 存在一個對定理的判定過程嗎？
  • 命題演算的結(jié)果是簡單的，沒有內(nèi)容的，甚至感覺是浪費(fèi)時間的，也正因如此，才能確保它在任何可能世界中都是真的，確保它是切合宇宙核心真理的。
  • 判定過程：真值表方法（true table）
• 我們知道系統(tǒng)是一致的嗎？哪些預(yù)期的解釋是否有資格被稱為符號的被動意義？
  • 嚴(yán)謹(jǐn)觀點(diǎn)（只有證明命題演算和世界的一致性） vs 馬虎觀點(diǎn)（命題演算的額定義本身就說明了其一致性）
• 再談卡羅爾對話（上一章中烏龜和阿基里斯的對話）
• 捷徑與導(dǎo)出規(guī)則
  • 捷徑：當(dāng)一個定理被推倒證明了以后，就可以被用作一條新定理來證明其他的
  • 但是因?yàn)閷?dǎo)出的規(guī)則是非形式地導(dǎo)出的，它是在系統(tǒng)之外的，所以走這樣的捷徑丟丟掉了系統(tǒng)的形式性。
• 將更高的層次格式化
  • 不能把不同層次的的推理混同在一起，就好像形式系統(tǒng)的語言和日常語言不能混淆一樣
• 對系統(tǒng)的長處和短處的思考
  • 可以對它本身的一些性質(zhì)進(jìn)行研究
  • 命題演算能夠很容易地?cái)U(kuò)充，把推理的其他一些主要的方面包括進(jìn)來
• 證明之別于推導(dǎo)
  • 一個證明是某種非形式的東西
  • 一個推導(dǎo)是證明的人造對應(yīng)物
  • 證明是簡單的，是我因?yàn)槊恳徊蕉伎瓷先ナ菍Φ?；推?dǎo)是簡單的，是指它的無數(shù)步驟中的每一步都被認(rèn)為是微不足道的
  • 命題演算應(yīng)被當(dāng)做是綜合人工證明之類的結(jié)構(gòu)的一般方法的一部分，它并沒有很大的靈活性或一般性
• 對付矛盾
  • 當(dāng)我們遇到了一個矛盾，更可能會對導(dǎo)致了矛盾思維的信仰或推理方式產(chǎn)生疑問，而不是根據(jù)矛盾進(jìn)行命題演算而得出結(jié)論
  • 我們的思考方式和命題演算之間就存在著矛盾，也一直有人試圖解決這種矛盾
    • 「相關(guān)蘊(yùn)含」：僅當(dāng)二者有關(guān)聯(lián)的時候，一者才能由另外一者推導(dǎo)出

螃蟹卡農(nóng)

• 巴赫的BWV1079：螃蟹卡農(nóng)
• 模仿螃蟹卡農(nóng)，所有人說的話在后半段以相反的順序排列出來

第八章 印符數(shù)論

• 螃蟹卡農(nóng)和間接自指
  • 印符數(shù)論TNT：Typographical Number Theory
• 我們希望在TNT中都能表示些什么
• 數(shù)字 - 以0 為基礎(chǔ)，S代表「后繼」
  • 0 - 0
  • S0 - 1
  • SS0 - 2
• 變元和術(shù)語
  • 變元：a,b,c,d,e,a’,a’’,b’''
  • 術(shù)語：加+、乘·、等=
  • 需要非常注意，不要把詞語的普通意義和形式符號的嚴(yán)格手規(guī)則管轄的行為相混淆，盡管二者經(jīng)常非常類似
• 自由變元與量詞

  • 量詞

    • <span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: nowrap; widows: 1; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; float: none; background-color: rgb(255, 255, 255);">?：exist 存在斷言</span>
    • <div style="padding: 0px; color: rgb(0, 0, 0); word-break: keep-all; white-space: nowrap; -webkit-font-smoothing: antialiased; text-shadow: rgba(0, 0, 0, 0.00392157) 1px 1px 1px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; widows: 1; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; top: 6731px; left: 7297px; z-index: 350; background-color: rgb(255, 255, 255);">? ：any 全稱斷言

  • 量化變元：在量詞管轄下的變元稱為量化變元

  • 帶有自由變元的串表達(dá)了一個性質(zhì)，量化變元的串表達(dá)了一個真實(shí)或者虛假的斷言

• 怎樣區(qū)分真假
• 關(guān)于良構(gòu)性的規(guī)則
  • 關(guān)于數(shù)字、變元、項(xiàng)（所有數(shù)字和變元以及其結(jié)合）、原子（如果s和t是項(xiàng)，s=t是原子）、否定、復(fù)合、量化的規(guī)則
• 一個非印符系統(tǒng)
  • 是否可能，以及如何印符地刻畫所有對應(yīng)于真理的串
• TNT的五條公理和第一條規(guī)則
• 皮亞諾五條公設(shè)：盡量把自然數(shù)的本質(zhì)納入到這五條公設(shè)支中
• TNT的新規(guī)則：特稱和概括
  • 特稱的限制：用來替換串?u:x中的u的項(xiàng)必須不包含任何在x中被量化了的變元
  • 概括的限制：在一個幻想，不允許任何自由出現(xiàn)在該幻想的前提中的變元作概括
• 存在量詞
  • 互換規(guī)則：?u:~ 和 ~<span style="color: rgb(0, 0, 0); font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: nowrap; widows: 1; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; float: none; background-color: rgb(255, 255, 255);">?u:</span>
  • 存在規(guī)則
• 等號規(guī)則和后繼規(guī)則
• 「全規(guī)則」
  • 如果在一個金字塔中的所有的串都是定理，那么，用來形容它們的全稱量化的串同樣也是定理。這一「全規(guī)則」的問題在于，只有從外部系統(tǒng)才能知道一個無窮集合的全部定理，所以超出了形式系統(tǒng)的范疇。
  • ω不完全系統(tǒng)與不可判定串
    • ω不完全：一個系統(tǒng)的金字塔中所有的串都是定理，而全稱量化的概述串卻不是一個定理。
• 最后一條規(guī)則
  • 有一個起點(diǎn)，并且可以真理可以層層推下，那么可以歸納為?
  • 歸納規(guī)則：以0 為基礎(chǔ)是真理，并且前一條真理（X{u}）指向了后一條真理(X{Su})，那么?u:X{u}
• TNT中的緊張與解決
  • 數(shù)學(xué)推理中的美感和節(jié)奏
• 形式推理之別于非形式推理
  • 在進(jìn)行了徹底形式化之后，唯一可行的到道路就是放松形式化原則。否則，形式系統(tǒng)會過于龐大而笨重，以至于對任何實(shí)際的目的而言都是毫無用處的。
  • 將所有思維模式放入TNT系統(tǒng)，對元語言進(jìn)行形式化
• 數(shù)論學(xué)家賦閑：如果TNT是完全的，那么所有數(shù)論問題都完全能夠用純粹機(jī)械的窮舉法來解決了
• 希爾伯特方案
  • 希爾伯特和他領(lǐng)導(dǎo)的數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)家希望，能夠通過比TNT的推理模式更弱的推理系統(tǒng)來證明TNT的一致性
  • 哥德爾定理證明：任何一個強(qiáng)得足以證明TNT的一致性的系統(tǒng)起碼與TNT本身一樣強(qiáng)

一首無的奉獻(xiàn)

• 禪宗公案
  • 把公案（一個詞語序列）變成一個折起的串（一種三維的東西）
    • 轉(zhuǎn)錄：用拼音寫出該公案，這種拼音只包涵四種符號，翻譯出來的形式成為信使
    • 翻譯：利用「幾何編碼」，每三個幾何符號決定了下一個折疊方式，將整個信使串完全折疊
  • 俱胝一指：對于模仿的反駁
• DNA

第九章 無門與哥德爾

• 什么是禪宗？
  • 沒有任何辦法能夠刻畫禪宗是什么。當(dāng)試圖用言語解釋的時候，它總會跳到外面去
  • 「破壞邏輯頭腦」：只有跨出邏輯，擺脫理論，人才能躍入頓悟境地
• 無門禪師
• 禪宗反對二元論的斗爭
  • 二元論：把世界從概念上劃分為種種范疇
    • 一旦你感知到一個客體，就已經(jīng)把它與世界的其余部分化分開了
    • 詞語把我們引向某些真理（或某些虛假），但肯定不能引向所有真理
• 主義、無方式以及云門
  • 「主義」：禪所追求的東西。反哲學(xué)的，一種摒棄思維的存在方式
  • 禪宗采納整體論，并且推向邏輯的極端，認(rèn)為整個世界根本不能被劃分為一個個的事物，只能整體理解感悟
  • 頓悟狀態(tài)意味著自我和宇宙之間的分界消失了
• 禪宗與墮界
  • 禪宗是一個系統(tǒng)，永遠(yuǎn)無法成為自己的元系統(tǒng)
  • 艾舍爾和禪宗
• 因陀羅之網(wǎng)：一切事物互相反映包含的網(wǎng)
• 無門論無
• WU謎題的解：只有兩條規(guī)則影響到J的數(shù)量，而除非一開始J的數(shù)量就是3的倍數(shù)，否則它們永遠(yuǎn)產(chǎn)生不了3的倍數(shù)來，所以WU不是WJU系統(tǒng)的定理
• 哥德爾配數(shù)
  • 將任何形式系統(tǒng)的問題都嵌入到數(shù)論之中，以數(shù)論規(guī)則來理解和解決
  • 將每個符號都表示成一個數(shù)字，并且將規(guī)則用數(shù)字的變化規(guī)律表達(dá)出來
• 從印符和算術(shù)兩個角度看問題
  • WJU系統(tǒng)可以視為一系列的音符操作，改變著符號的排列模式；也可以視為一系列算術(shù)運(yùn)算，改變著數(shù)的量級
  • 中心命題：在十進(jìn)制中，若有一條印符規(guī)則表示為在數(shù)中進(jìn)行移動、改變、刪除或者插入，那么可以用算術(shù)運(yùn)算法則來將其替代
• WJU可產(chǎn)生的數(shù)
• 「無朋」的兩重性
  • 「無朋」：一個談?wù)揥U謎題的TNT超長（注：長到?jīng)]朋友？）符號串
  • 兩重性
    • 一個陳述可以通過哥德爾同構(gòu)編碼成一個數(shù)論問題（無朋成為編碼消息）
    • 數(shù)論陳述可以翻譯到TNT系統(tǒng)中去（編碼的符號成為了TNT符號）
• 編碼與隱含意義
  • 現(xiàn)實(shí)中不存在未編碼的消息
  • 意義是在我們在辨認(rèn)出同構(gòu)時自動出現(xiàn)的副產(chǎn)品
• 對TNT進(jìn)行哥德爾配數(shù)
  • TNT數(shù)會是一個遞歸可枚舉集合
  • TNT試圖吞掉自己：數(shù)論的形式化的本質(zhì)導(dǎo)致其元語言嵌在其自身中
• G：以編碼方式談?wù)撟陨淼姆柎?
  • G就是TNT的不完全的原因（注：類似第一章中的艾皮曼尼蒂斯悖論，即說謊者悖論），它表發(fā)了一個真理，然而卻不是一個定理