基礎(chǔ)知識(shí)

數(shù)學(xué)期望

定義：衡量隨機(jī)變量在大量重復(fù)試驗(yàn)中的平均取值，即概率加權(quán)平均。

計(jì)算公式（只考慮離散型）：

  • 離散型：
  • E(X)=\sum_{i=1}^{n} x_i \, P(X=x_i)

核心性質(zhì)：

E(aX + b) = aE(x) + b

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

若X，Y獨(dú)立，則 E(XY) = E(X)E(Y)

方差

定義：衡量隨機(jī)變量與其期望的偏離程度，反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)性或穩(wěn)定性。

計(jì)算公式：

Var(X) = E[(X - E(X)^{2})] = E(X^{2}) - E(X)^{2}

標(biāo)準(zhǔn)差

定義：方差的平方根

\sigma(X) = \sqrt(Var(X))

核心性質(zhì)：

Var(aX+b) = a^{2}Var(X)

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)

若X，Y獨(dú)立，則Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

協(xié)方差

定義：衡量兩個(gè)隨機(jī)變量協(xié)同變化的趨勢(shì)。

計(jì)算公式：

Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)

符號(hào)意義：

  • 正值：同向變化（一增一也增）
  • 負(fù)值：反向變化（一增一減）
  • 零：無線性關(guān)系（但可能有非線性關(guān)系）

核心性質(zhì)：

Cov(X,Y) = Cov(Y,X)

Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)

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