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卡爾曼濾波本質(zhì)上是：非平穩(wěn)信號下的序貫線性最小均方誤差估計(jì)量

1、最小均方誤差

對于經(jīng)典的均方誤差（Mean Square Error, MSE）方法認(rèn)為，被估計(jì)量 $\boldsymbol{\theta}$ 是一個(gè)確定的未知常量，因此經(jīng)典MSE通過求解下式最小得到估計(jì)值
$\text{MSE}(\boldsymbol{\theta}) = \int \| \hat{\boldsymbol{\theta}} - \boldsymbol{\theta} \|^2 p(\boldsymbol{x}) d\boldsymbol{x}$

其中 $\hat{\boldsymbol{\theta}}$ 是觀測量 $\boldsymbol{x}$ 的函數(shù)，即 $\hat{\boldsymbol{\theta}} = f(\boldsymbol{x})$

而當(dāng)估計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量時(shí)，上述的結(jié)果并沒有考慮估計(jì)量 $\boldsymbol{\theta}$ 的先驗(yàn) $p(\boldsymbol{\theta})$ ，在添加先驗(yàn)信息后經(jīng)典MSE將會變成貝葉斯均方誤差（Bayes Mean Square Error, BMSE），其表達(dá)式如下
$\text{BMSE}(\boldsymbol{\theta}) = \iint \| \hat{\boldsymbol{\theta}} - \boldsymbol{\theta} \|^2 p(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{x} d\boldsymbol{\theta} =E(\| \hat{\boldsymbol{\theta}} - \boldsymbol{\theta} \|^2)$

同樣有 $\hat{\boldsymbol{\theta}} = f(\boldsymbol{x})$ ，其中期望是根據(jù) $p(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\theta})$ 來求解的，使得BMSE最小的 $\hat{\boldsymbol{\theta}}$ 被稱為最小貝葉斯均方誤差估計(jì)量也被稱為最小均方誤差（Minimum Mean Square Error, MMSE）估計(jì)量

2、線性最小均方誤差

如果對函數(shù) $\hat{\boldsymbol{\theta}} = f(\boldsymbol{x})$ 做線性假設(shè)，即認(rèn)為估計(jì)量由觀測 $\boldsymbol{x}$ 線性組合而成，則有 $\hat{\boldsymbol{\theta}} = \boldsymbol{K} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{t}$ ，其BMSE可以寫成
$\text{BMSE} = E(\| \boldsymbol{K} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{t} - \boldsymbol{\theta} \|^2)$

為了使得上式最小，對 $\boldsymbol{t}$ 求導(dǎo)等于 $\boldsymbol{0}$ 可以得到
$\begin{aligned} \frac{\partial }{\partial\boldsymbol{t}}E(\| \boldsymbol{K} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{t} - \boldsymbol{\theta} \|^2) =& 0 \\ \Rightarrow E(2\boldsymbol{t} + 2 \boldsymbol{K} \boldsymbol{x}- 2\boldsymbol{\theta}) =& 0 \\ \Rightarrow \boldsymbol{t} =& E(\boldsymbol{\theta}) -\boldsymbol{K} E(\boldsymbol{x}) \end{aligned}$

帶入原式中并且繼續(xù)對 $\boldsymbol{K}$ 進(jìn)行求導(dǎo)
$\begin{aligned} \frac{\partial }{\partial\boldsymbol{K}}E(\| \boldsymbol{K} (\boldsymbol{x} - E(\boldsymbol{x})) - (\boldsymbol{\theta} - E(\boldsymbol{\theta})) \|^2) = 0 \\ \Rightarrow E(2\boldsymbol{K}(\boldsymbol{x} - E(\boldsymbol{x}))(\boldsymbol{x} - E(\boldsymbol{x}))^T - 2(\boldsymbol{\theta} - E(\boldsymbol{\theta})) (\boldsymbol{x} - E(\boldsymbol{x})^T) = 0 \\ \Rightarrow \boldsymbol{K} = E((\boldsymbol{\theta} - E(\boldsymbol{\theta})) (\boldsymbol{x} - E(\boldsymbol{x})^T)E((\boldsymbol{x} - E(\boldsymbol{x})) (\boldsymbol{x} - E(\boldsymbol{x})^T)^{-1} \\ \Rightarrow \boldsymbol{K} = \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{\theta}\boldsymbol{x}}\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}}^{-1} \end{aligned}$

最終求得
$\hat{\boldsymbol{\theta}} = E(\boldsymbol{\theta}) + \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{\theta}\boldsymbol{x}}\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}}^{-1} (\boldsymbol{x} - E(\boldsymbol{x}))$

在 $\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{x}$ 零均值的假設(shè)下，即 $E(\boldsymbol{\theta}) = 0, E(\boldsymbol{x}) = 0$ ，上式可以化簡成
$\hat{\boldsymbol{\theta}} = \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{\theta}\boldsymbol{x}}\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}}^{-1} \boldsymbol{x}$

該估計(jì)量被稱為線性最小方差估計(jì)量（Linear Minimum Mean Square Error, LMMSE）

3、卡爾曼濾波

如果所求變量 $\boldsymbol{s}$ 在當(dāng)前時(shí)刻 $n$ 的值 $\boldsymbol{s}[n]$ 和前一時(shí)刻的值 $\boldsymbol{s}[n - 1]$ 存在線性關(guān)系，即
$\boldsymbol{s}[n] = \boldsymbol{A}[n - 1]\boldsymbol{s}[n - 1]+\boldsymbol{B}[n - 1]\boldsymbol{u}[n]$

其中驅(qū)動噪聲 $\boldsymbol{u}[n] \backsim \mathcal{N}(\boldsymbol{0},\boldsymbol{Q})$ ，該方程俗稱狀態(tài)方程，表明了變量自身隨著時(shí)間的變化情況，該方程一般和物理學(xué)、運(yùn)動學(xué)等其他學(xué)科相關(guān)

同時(shí)對于所求變量 $\boldsymbol{s}$ 會有相應(yīng)的觀測 $\boldsymbol{x}$ ，在線性假設(shè)下，認(rèn)為有
$\boldsymbol{x}[n] = \boldsymbol{H}[n] \boldsymbol{s}[n] + \boldsymbol{w}[n]$

其中觀測噪聲 $\boldsymbol{w}[n] \backsim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{C}[n])$

令 $\boldsymbol{X}[n] = \begin{bmatrix} \boldsymbol{x}[0] \\ \vdots\\ \boldsymbol{x}[n] \end{bmatrix}$ ，在線性假設(shè)下，有 $\hat{\boldsymbol{s}}[n] = \boldsymbol{K} \boldsymbol{X}[n]+\boldsymbol{t}$ ，根據(jù)前面LMMSE的結(jié)果可知
$\hat{\boldsymbol{s}}[n] = E(\boldsymbol{s}[n]) + \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}\boldsymbol{X}}\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{X}\boldsymbol{X}}^{-1} (\boldsymbol{X}[n] - E(\boldsymbol{X}[n]))$

其中
$\begin{aligned} \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}\boldsymbol{X}} =& E((\boldsymbol{s}[i] - E(\boldsymbol{s}[i]))(\boldsymbol{X}[n] - E(\boldsymbol{X}[n]))^T) \\ \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{X}\boldsymbol{X}} =& E((\boldsymbol{X}[n] - E(\boldsymbol{X}[n]))(\boldsymbol{X}[n] - E(\boldsymbol{X}[n]))^T) \end{aligned}$

上式中 $\hat{\boldsymbol{s}}[n]$ 定義為 $\boldsymbol{X}[n]$ 的線性函數(shù)，結(jié)果記為 $\hat{\boldsymbol{s}}[n|n]$ ，可以看到每次計(jì)算都需要聯(lián)合 $\boldsymbol{x}[0], \cdots, \boldsymbol{x}[n]$ 的所有數(shù)據(jù)，考慮到在時(shí)序上有很多重復(fù)計(jì)算，是否可以利用前一幀的結(jié)果 $\hat{\boldsymbol{s}}[n-1|n-1]$ 和當(dāng)前的觀測 $\boldsymbol{x}[n]$ 計(jì)算得到 $\hat{\boldsymbol{s}}[n|n]$ ，即序貫LMMSE

為了參數(shù)分離，首先將 $\boldsymbol{X}[n]$ 分為不相關(guān)的 $\boldsymbol{X}[n-1]$ 和新息 $\tilde{\boldsymbol{x}}[n]$ ，這可以通過 Gram-Schmidt 正交化來實(shí)現(xiàn)，如下式所示
$\tilde{\boldsymbol{x}}[n] = \boldsymbol{x}[n] - \hat{\boldsymbol{x}}[n|n-1]$

其中 $\hat{\boldsymbol{x}}[n|n-1]$ 是將 $\boldsymbol{x}[n]$ 看做估計(jì)量 $\boldsymbol{X}[n-1]$ 看做觀測量，在LMMSE下的結(jié)果，如下所示
$\hat{\boldsymbol{x}}[n|n-1] = E(\boldsymbol{x}[n]) + \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{X}[n-1]}\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{X}[n-1]\boldsymbol{X}[n-1]}^{-1} (\boldsymbol{X}[n-1] - E(\boldsymbol{X}[n-1]))$

可以證明 $E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n]\boldsymbol{X}^T[n-1]) = E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n])E(\boldsymbol{X}^T[n-1])$ ，過程如下
左邊等于
$\begin{aligned} &E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n]\boldsymbol{X}^T[n-1]) \\ =& E(\boldsymbol{x}[n]\boldsymbol{X}^T[n-1]) - E(\hat{\boldsymbol{x}}[n|n-1]\boldsymbol{X}^T[n-1]) \\ =& E(\boldsymbol{x}[n]\boldsymbol{X}^T[n-1]) - E(\boldsymbol{x}[n])E(\boldsymbol{X}^T[n-1]) \\ &-\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{X}[n-1]}\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{X}[n-1]\boldsymbol{X}[n-1]}^{-1}\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{X}[n-1]\boldsymbol{X}[n-1]} \\ =& E(\boldsymbol{x}[n]\boldsymbol{X}^T[n-1]) - E(\boldsymbol{x}[n])E(\boldsymbol{X}^T[n-1]) - \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{X}[n-1]} \\ =& \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{X}[n-1]} - \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{X}[n-1]} \\ =& 0 \end{aligned}$

右邊等于
$E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n]) = E(\boldsymbol{x}[n]) - E(\hat{\boldsymbol{x}}[n|n-1]) = 0$

將 $\boldsymbol{X}[n-1], \tilde{\boldsymbol{x}}[n]$ 組成新的向量 $\boldsymbol{X}'[n] = \begin{bmatrix} \boldsymbol{X}[n-1]\\ \tilde{\boldsymbol{x}}[n] \end{bmatrix}$ ，注意到 $\boldsymbol{X}[n]$ 可以由 $\boldsymbol{X}'[n]$ 線性變換得到，所以兩者的 LMMSE 結(jié)果一致，將前面得到的關(guān)于 $\boldsymbol{X}[n]$ 的 LMMSE 結(jié)果轉(zhuǎn)變成關(guān)于 $\boldsymbol{X}'[n]$ 的 LMMSE 結(jié)果，如下所示
$\hat{\boldsymbol{s}}[n|n] = E(\boldsymbol{s}[n]) + \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}\boldsymbol{X}'}\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X}'}^{-1} (\boldsymbol{X}'[n] - E(\boldsymbol{X}'[n]))$

其中
$\begin{aligned} \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}\boldsymbol{X}'} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}\boldsymbol{X}[n-1]} & \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}\tilde{\boldsymbol{x}}[n]} \end{bmatrix} \\ \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X}'} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{X}[n-1]\boldsymbol{X}[n-1]} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} &\boldsymbol{C}_{\tilde{\boldsymbol{x}}[n]\tilde{\boldsymbol{x}}[n]} \end{bmatrix} \end{aligned}$

注意到矩陣中存在部分0，因此轉(zhuǎn)變后的 LMMSE 結(jié)果可以拆成
$\begin{aligned} \hat{\boldsymbol{s}}[n|n] =& E(\boldsymbol{s}[n]) + \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}[n]\boldsymbol{X}[n-1]}\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{X}[n-1]\boldsymbol{X}[n-1]}^{-1} (\boldsymbol{X}[n-1] - E(\boldsymbol{X}[n-1]))\\ & + \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}\tilde{\boldsymbol{x}}[n]}\boldsymbol{C}_{\tilde{\boldsymbol{x}}[n]\tilde{\boldsymbol{x}}[n]}^{-1} (\tilde{\boldsymbol{x}}[n] - E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n])) \end{aligned}$

利用 $\boldsymbol{s}[n] - E(\boldsymbol{s}[n]) = \boldsymbol{A}[n - 1]\boldsymbol{s}[n - 1] - \boldsymbol{A}[n - 1]E(\boldsymbol{s}[n - 1])+\boldsymbol{B}[n - 1]\boldsymbol{u}[n]$ 可以得到
$\begin{aligned} \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}[n]\boldsymbol{X}[n-1]} =& E((\boldsymbol{s}[n] - E(\boldsymbol{s}[n]))(\boldsymbol{X}[n - 1] - E(\boldsymbol{X}[n - 1]))^T)\\ =& \boldsymbol{A}[n - 1]\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}[n-1]\boldsymbol{X}[n-1]} \end{aligned}$

繼而可以得到
$\begin{aligned} &\hat{\boldsymbol{s}}[n|n]\\ =& \boldsymbol{A}[n - 1]E(\boldsymbol{s}[n - 1]) \\ &+ \boldsymbol{A}[n - 1]\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}[n-1]\boldsymbol{X}[n-1]}\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{X}[n-1]\boldsymbol{X}[n-1]}^{-1} (\boldsymbol{X}[n-1] - E(\boldsymbol{X}[n-1]))\\ & + \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}\tilde{\boldsymbol{x}}[n]}\boldsymbol{C}_{\tilde{\boldsymbol{x}}[n]\tilde{\boldsymbol{x}}[n]}^{-1} (\tilde{\boldsymbol{x}}[n] - E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n])) \\ =& \boldsymbol{A}[n - 1] \hat{\boldsymbol{s}}[n-1|n-1] + \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}\tilde{\boldsymbol{x}}[n]}\boldsymbol{C}_{\tilde{\boldsymbol{x}}[n]\tilde{\boldsymbol{x}}[n]}^{-1} (\tilde{\boldsymbol{x}}[n] - E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n])) \end{aligned}$

如果令 $\hat{\boldsymbol{s}}[n|n-1] = \boldsymbol{A}[n - 1] \hat{\boldsymbol{s}}[n-1|n-1]$ ，則有
$\begin{aligned} \hat{\boldsymbol{s}}[n|n] =& \hat{\boldsymbol{s}}[n|n-1] + \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}\tilde{\boldsymbol{x}}[n]}\boldsymbol{C}_{\tilde{\boldsymbol{x}}[n]\tilde{\boldsymbol{x}}[n]}^{-1} (\tilde{\boldsymbol{x}}[n] - E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n])) \end{aligned}$

其中
$\begin{aligned} \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}\tilde{\boldsymbol{x}}[n]} =& E((\boldsymbol{s}[n] - E(\boldsymbol{s}[n]))(\tilde{\boldsymbol{x}}[n] - E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n]))^T) \\ \boldsymbol{C}_{\tilde{\boldsymbol{x}}[n]\tilde{\boldsymbol{x}}[n]} =& E((\tilde{\boldsymbol{x}}[n] - E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n]))(\tilde{\boldsymbol{x}}[n] - E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n]))^T) \end{aligned}$

根據(jù) $\hat{\boldsymbol{x}}[n|n - 1]$ 的表達(dá)式，很容易證明
$\hat{\boldsymbol{x}}[n|n - 1] = \boldsymbol{H}[n]\hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1]$

因此有
$\begin{aligned} \tilde{\boldsymbol{x}}[n] - E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n]) =& \tilde{\boldsymbol{x}}[n] \\ =& \boldsymbol{x}[n] - \hat{\boldsymbol{x}}[n|n-1] \\ =& \boldsymbol{x}[n] - \boldsymbol{H}[n]\hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1] \\ =& \boldsymbol{H}[n]\boldsymbol{s}[n] + \boldsymbol{w}[n] - \boldsymbol{H}[n]\hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1] \\ =& \boldsymbol{H}[n](\boldsymbol{s}[n] - \hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1]) + \boldsymbol{w}[n] \end{aligned}$

利用 $\hat{\boldsymbol{s}}[n|n-1] = E(\boldsymbol{s}[n]) + \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}\boldsymbol{X}[n-1]}\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{X}[n-1]\boldsymbol{X}[n-1]}^{-1} (\boldsymbol{X}[n-1] - E(\boldsymbol{X}[n-1]))$ 和 $E((\boldsymbol{X}[n-1] - E(\boldsymbol{X}[n-1]))(\tilde{\boldsymbol{x}}[n] - E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n]))^T) = 0$ ，可以得到
$\begin{aligned} &\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}\tilde{\boldsymbol{x}}[n]}\\ =& E((\boldsymbol{s}[n] - E(\boldsymbol{s}[n]))(\tilde{\boldsymbol{x}}[n] - E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n]))^T) \\ =& E((\boldsymbol{s}[n] - \hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1])(\tilde{\boldsymbol{x}}[n] - E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n]))^T) \\ =& E((\boldsymbol{s}[n] - \hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1])(\boldsymbol{H}[n](\boldsymbol{s}[n] - \hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1]) + \boldsymbol{w}[n])^T) \\ =& E((\boldsymbol{s}[n] - \hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1])(\boldsymbol{s}[n] - \hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1])^T) \boldsymbol{H}^T[n] \end{aligned}$

令 $\boldsymbol{M}[n|n - 1] = E((\boldsymbol{s}[n] - \hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1])(\boldsymbol{s}[n] - \hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1])^T)$ ，則上式變成
$\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}\tilde{\boldsymbol{x}}[n]} = \boldsymbol{M}[n|n - 1]\boldsymbol{H}^T[n]$

另一方面利用 $\tilde{\boldsymbol{x}}[n] - E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n]) = \boldsymbol{H}[n](\boldsymbol{s}[n] - \hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1]) + \boldsymbol{w}[n]$ ，可以得到
$\begin{aligned} \boldsymbol{C}_{\tilde{\boldsymbol{x}}[n]\tilde{\boldsymbol{x}}[n]} =& E((\tilde{\boldsymbol{x}}[n] - E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n]))(\tilde{\boldsymbol{x}}[n] - E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n]))^T) \\ =& \boldsymbol{H}[n] \boldsymbol{M}[n|n - 1]\boldsymbol{H}^T[n] + \boldsymbol{C}[n] \end{aligned}$

因此有
$\hat{\boldsymbol{s}}[n|n] = \hat{\boldsymbol{s}}[n|n-1] + \boldsymbol{K}[n](\boldsymbol{x}[n] - \boldsymbol{H}[n]\hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1])$

其中
$\begin{aligned} \boldsymbol{K}[n] =& \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}\boldsymbol{X}[n-1]}\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{X}[n-1]\boldsymbol{X}[n-1]}^{-1} \\ =& \boldsymbol{M}[n|n - 1]\boldsymbol{H}^T[n](\boldsymbol{H}[n] \boldsymbol{M}[n|n - 1]\boldsymbol{H}^T[n] + \boldsymbol{C}[n])^{-1} \end{aligned}$

最后需要給出 $\boldsymbol{M}[n|n - 1]$ 和 $\boldsymbol{M}[n|n]$ 的遞推公式
利用 $\boldsymbol{s}[n] - \hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1] = \boldsymbol{A}[n - 1]\boldsymbol{s}[n-1] + \boldsymbol{B}[n - 1]\boldsymbol{u[n]} - \boldsymbol{A}[n - 1] \hat{\boldsymbol{s}}[n - 1|n - 1]$ ，可以得到
$\begin{aligned} \boldsymbol{M}[n|n - 1] =& E((\boldsymbol{s}[n] - \hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1])(\boldsymbol{s}[n] - \hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1])^T) \\ =& \boldsymbol{A}[n - 1]\boldsymbol{M}[n-1|n-1]\boldsymbol{A}^T[n - 1] + \boldsymbol{B}[n - 1]\boldsymbol{Q}\boldsymbol{B}^T[n - 1] \end{aligned}$

利用 $\hat{\boldsymbol{s}}[n|n] = \hat{\boldsymbol{s}}[n|n-1] + \boldsymbol{K}[n](\tilde{\boldsymbol{x}}[n] - E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n]))$ 可以得到
$\begin{aligned} \boldsymbol{M}[n|n] =& E((\boldsymbol{s}[n] - \hat{\boldsymbol{s}}[n|n])(\boldsymbol{s}[n] - \hat{\boldsymbol{s}}[n|n])^T) \\ =& E((\boldsymbol{s}[n] - \hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1])(\boldsymbol{s}[n] - \hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1])^T)\\ &- 2E((\boldsymbol{s}[n] - \hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1])(\tilde{\boldsymbol{x}}[n] - E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n]))^T) \boldsymbol{K}^T[n]\\ &+\boldsymbol{K}[n] E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n] - E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n]))(\tilde{\boldsymbol{x}}[n] - E(\tilde{\boldsymbol{x}}[n]))^T) \boldsymbol{K}^T[n]\\ =& \boldsymbol{M}[n|n-1] \\ &- 2 \boldsymbol{M}[n|n-1] \boldsymbol{H}^T[n]\boldsymbol{K}^T[n]\\ &+ \boldsymbol{M}[n|n-1] \boldsymbol{H}^T[n]\boldsymbol{K}^T[n] \\ =& (\boldsymbol{I} - \boldsymbol{K}[n]\boldsymbol{H}[n])\boldsymbol{M}[n|n - 1] \end{aligned}$

至此所有遞推公式都推導(dǎo)完畢，可以很清楚地看到一切皆起源于方程
$\hat{\boldsymbol{s}}[n] = E(\boldsymbol{s}[n]) + \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}\boldsymbol{X}}\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{X}\boldsymbol{X}}^{-1} (\boldsymbol{X}[n] - E(\boldsymbol{X}[n]))$

后面的推導(dǎo)只是在完成該方程序貫形式下的結(jié)果罷了，而該方程的起源來自于線性假設(shè)，所以卡爾曼濾波本質(zhì)上是非平穩(wěn)信號下的序貫線性最小均方誤差估計(jì)量，其最終結(jié)果可以總結(jié)如下步驟：
初始化：
$\hat{\boldsymbol{s}}[-1|-1] = \boldsymbol{\mu}_{\boldsymbol{s}}, \boldsymbol{M}[-1|-1] = \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}}$

預(yù)測估計(jì)量：
$\hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1] = \boldsymbol{A}[n - 1]\hat{\boldsymbol{s}}[n - 1|n - 1]$

預(yù)測最小 MSE 矩陣：
$\boldsymbol{M}[n|n - 1] = \boldsymbol{A}[n - 1] \boldsymbol{M}[n - 1| n - 1] \boldsymbol{A}^T[n - 1] + \boldsymbol{B}[n - 1]\boldsymbol{Q}\boldsymbol{B}^T[n - 1]$

增益矩陣：
$\boldsymbol{K}[n] = \boldsymbol{M}[n|n - 1] \boldsymbol{H}^T[n](\boldsymbol{H}[n]\boldsymbol{M}[n|n - 1]\boldsymbol{H}^T[n] + \boldsymbol{C}[n])^{-1}$

修正估計(jì)量：
$\hat{\boldsymbol{s}}[n|n] = \hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1] + \boldsymbol{K}[n](\boldsymbol{x}[n] - \boldsymbol{H}[n] \hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1])$

修正最小 MSE 矩陣：
$\boldsymbol{M}[n|n] = (\boldsymbol{I} - \boldsymbol{K}[n] \boldsymbol{H}[n]) \boldsymbol{M}[n|n - 1]$

4、擴(kuò)展卡爾曼濾波

卡爾曼濾波基于線性假設(shè)，當(dāng)狀態(tài)方程和觀測方程均不為線性的時(shí)候，如下所示
$\begin{aligned} \boldsymbol{s}[n] =& a(\boldsymbol{s}[n - 1]) + \boldsymbol{B}[n - 1]\boldsymbol{u}[n] \\ \boldsymbol{x}[n] =& h(\boldsymbol{s}[n]) + \boldsymbol{w}[n] \end{aligned}$

如果認(rèn)為前一時(shí)刻的值幾乎在真值附近，將非線性函數(shù) $a,h$ 進(jìn)行泰勒展開可以得到
$\begin{aligned} a(\boldsymbol{s}[n - 1]) \approx& a(\tilde{\boldsymbol{s}}[n - 1 | n - 1]) + \boldsymbol{A}[n - 1](\boldsymbol{s}[n - 1] - \tilde{\boldsymbol{s}}[n - 1 | n - 1]) \\ h(\boldsymbol{s}[n]) \approx& h(\tilde{\boldsymbol{s}}[n| n - 1]) + \boldsymbol{H}[n](\boldsymbol{s}[n] - \tilde{\boldsymbol{s}}[n | n - 1]) \\ \end{aligned}$

其中 $\boldsymbol{A}[n - 1] = \frac{\partial a(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}}\bigg|_{\boldsymbol{x} = \tilde{\boldsymbol{s}}[n - 1 | n - 1]}, \boldsymbol{H}[n] = \frac{\partial h(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}} \bigg|_{\boldsymbol{x} = \tilde{\boldsymbol{s}}[n | n - 1]}$

則原狀態(tài)和觀測方程將會變?yōu)?br> $\begin{aligned} \boldsymbol{s}[n] =& \boldsymbol{A}[n - 1] \boldsymbol{s}[n - 1] + \boldsymbol{B}[n - 1]\boldsymbol{u}[n] + \boldsymbol{a}[n - 1] \\ \boldsymbol{x}[n] =& \boldsymbol{H}[n] \boldsymbol{s}[n] + \boldsymbol{w}[n] + \boldsymbol{h}[n - 1] \end{aligned}$

其中 $\boldsymbol{a}[n - 1] = a(\tilde{\boldsymbol{s}}[n - 1 | n - 1]) - \boldsymbol{A}[n - 1] \tilde{\boldsymbol{s}}[n - 1 | n - 1]$ ， $\boldsymbol{h}[n - 1] = h(\tilde{\boldsymbol{s}}[n| n - 1]) - \boldsymbol{H}[n] \tilde{\boldsymbol{s}}[n | n - 1]$

最終結(jié)果可以總結(jié)如下步驟：
初始化：
$\hat{\boldsymbol{s}}[-1|-1] = \boldsymbol{\mu}_{\boldsymbol{s}}, \boldsymbol{M}[-1|-1] = \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{s}}$

預(yù)測估計(jì)量：
$\hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1] = a(\hat{\boldsymbol{s}}[n - 1|n - 1])$

預(yù)測最小 MSE 矩陣：
$\boldsymbol{M}[n|n - 1] = \boldsymbol{A}[n - 1] \boldsymbol{M}[n - 1| n - 1] \boldsymbol{A}^T[n - 1] + \boldsymbol{B}[n - 1]\boldsymbol{Q}\boldsymbol{B}^T[n - 1]$

增益矩陣：
$\boldsymbol{K}[n] = \boldsymbol{M}[n|n - 1] \boldsymbol{H}^T[n](\boldsymbol{H}[n]\boldsymbol{M}[n|n - 1]\boldsymbol{H}^T[n] + \boldsymbol{C}[n])^{-1}$

修正估計(jì)量：
$\hat{\boldsymbol{s}}[n|n] = \hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1] + \boldsymbol{K}[n](\boldsymbol{x}[n] - h(\hat{\boldsymbol{s}}[n|n - 1]))$

修正最小 MSE 矩陣：
$\boldsymbol{M}[n|n] = (\boldsymbol{I} - \boldsymbol{K}[n] \boldsymbol{H}[n]) \boldsymbol{M}[n|n - 1]$

可以看到與前面有差別的部分主要在于 “預(yù)測估計(jì)量” 和 “修正估計(jì)量” 兩個(gè)步驟

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卡爾曼濾波

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1、最小均方誤差

2、線性最小均方誤差

3、卡爾曼濾波

4、擴(kuò)展卡爾曼濾波

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