題一
見圖1。
三種原創(chuàng)方法，如圖2和圖3。
方法一的三角換元是通法，如有趨同的意識也能產(chǎn)生試著把
后面就是數(shù)形結(jié)合，從一元二次函數(shù)圖像得出導(dǎo)數(shù)的變化趨勢，我們是從
這類似分步法，兩階段法。有時步子過大容易扯傷，一步直接到位不行不容易就分為兩步或更多步，例如流程設(shè)計中設(shè)計多個環(huán)節(jié)，計數(shù)中乘法原理的多步。
方法二是運用合情設(shè)想合情想象得到的。首先，考慮到自己孤身變形難以產(chǎn)生便于解題的結(jié)構(gòu)形式，俗話說孤陰不生。所以把它和已知條件
。合情設(shè)想結(jié)合方式為相減算子，
起到調(diào)節(jié)作用。 合情設(shè)想想象這樣結(jié)合組合后，能出現(xiàn)“-平方-平方+常數(shù)”的模式。再根據(jù)取等條件求出
，這也驗證了該設(shè)想可行。
方法3，用均值不等式放縮，與方法2本質(zhì)上是一樣的，但顯得簡潔。
題二
。求
的最小值。
原創(chuàng)方法如下圖4.
這個方法是如何想出來的？
1）見微知著的思想，看到3a-5b,這是二元一次，從蛛絲馬跡中見微知著，完形補美想到剩余的對應(yīng)的另一個二元一次方程式，而變形為
后，分子中的
不正是可以作為另一個二元一次式？a+b一次項的出現(xiàn)，它與3a-5b一次項對應(yīng)；而分母中ab的出現(xiàn)，它與3a-5b左邊的
對應(yīng)，且都能最終歸一到基本元素ab。這些出現(xiàn)也是預(yù)兆(吉兆)與信號，增加了這個見微知著念頭可行的權(quán)重。把這兩個二元一次聯(lián)系聯(lián)結(jié)組合起來，兩個聯(lián)立就是一個完整的二元一次方程組，這個完整的二元一次方程組就是見微知著的”著”，就是小中見大的"大"。有時候，當(dāng)見微知著聯(lián)想到的某些事物在問題中不存在時，我們還要主動把它創(chuàng)造出來，沒有條件就要主動創(chuàng)造條件。不存在的隱藏的事物&關(guān)系&規(guī)律&結(jié)構(gòu)是"無"，從各種見微知著的聯(lián)想類比等手段入手，順藤摸瓜按需創(chuàng)造出還不存在的這些東西，化隱為顯，撥云見日，這也屬于”有中生無”。
2）”看成”的能力與眼光以及模式識別的思想，在這道題中觀察題目，把的左邊看成為&識別為二元一次方程式的一部分,右邊看成常數(shù)。
? ? ? 這樣的模式識別，也體現(xiàn)本人先前講過的避重就輕、刪繁就簡、軟件設(shè)計中的高內(nèi)聚低耦合思想&從耦合最小的地方解耦分離的思想。對如果看成關(guān)于a或b的一元二次方程或ab的4次，顯然會導(dǎo)致問題變繁，變復(fù)雜化，也把一次和高次耦合在一起，增大了耦合度，對這道題導(dǎo)致問題變復(fù)雜。而切換思維視角與眼光，把
的左邊看成二元一次，右邊看成常數(shù)，看成和a、b無關(guān)的事物，例如看成
，這相當(dāng)于把一次式和右邊的四次進(jìn)行了解耦分離，分離后，a的一次只與b的一次同類高內(nèi)聚在一起，而一次和高次(四次)進(jìn)行了分離解耦，這種分離，耦合度最低，這樣的分離遵循庖丁解牛之道，從耦合最小最薄弱的地方進(jìn)行解耦分離。
。
3）辯證轉(zhuǎn)化和面向?qū)ο笏枷?，代?shù)式和等式的辯證轉(zhuǎn)化。根據(jù)計算機(jī)軟件設(shè)計中的面向?qū)ο笏枷耄?img src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%20%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%7D%20" alt="\frac{1}{a} +\frac{1} " mathimg="1">看成一個對象，最小值是這個對象的一個屬性。且根據(jù)面向?qū)ο蟮姆庋b手法，要有一個標(biāo)識&對象類來從整體上指代，也就是令或設(shè)
，用t這個對象實例來指代它。這樣封裝之后，也將代數(shù)式
轉(zhuǎn)化為等式
，這也增加了條件，變形后增加了一個方程式:
。
軟件設(shè)計中的面向?qū)ο笏枷牒驼w思想是一脈相通的，且面向?qū)ο笏枷肟梢院w整體思想，它比整體思想的含義更豐富?？梢?，融匯借鑒遷移軟件設(shè)計中的一些思想方法，可以使我們的數(shù)學(xué)思維方法論更通透更系統(tǒng)，可以更自然地自覺地產(chǎn)生靠譜的解題念頭。這也是本人一直強調(diào)的，通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方法論一定是眾多學(xué)科融合的，且不能只限于哲學(xué)、心理學(xué)、思維學(xué)等少數(shù)學(xué)科的融匯。道在日用，思維之道思維智慧也在日用，只是吃瓜群眾日用而不知，這就是需要有人來捅破這層窗戶紙，需要真正到位的思維熏陶鍛煉。
4） 解方程求出a與b后，兩式相乘得到關(guān)于ab(整體)與t的等式，這是觀察a、b之后作出的直覺行為，當(dāng)然要有組合思想、組合變化&變換的意識、關(guān)系思想(相乘就是創(chuàng)建了新的關(guān)系新的結(jié)構(gòu))作為支撐。
5）辯證法的變化觀和聯(lián)系觀。從面的內(nèi)容可以看出，解題思維過程中，思維就是在不斷地運動變化，在不斷地尋求聯(lián)系(關(guān)系)，創(chuàng)造關(guān)系。萬化由心，(心意識)思維(內(nèi)容)在變化，對應(yīng)地，解題操作和紙面上的東西也在變化。
熏陶鍛煉數(shù)學(xué)思維能力不是空話，在這道題的解題實戰(zhàn)思維過程中，如果點撥引導(dǎo)到位，就能讓學(xué)生們體驗到上述1）到5）中提及的多種數(shù)學(xué)思維方法、思想方法、策略與原則，這不就是在真正熏陶鍛煉學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維能力？這不正是在傳授思維智慧思維之道？
我們幾十年來的教育一直是灌輸知識，以學(xué)科知識為中心，不以學(xué)科思維為中心或喊著鍛煉學(xué)科思維的口號，實際上卻是及其不到位的學(xué)科思維鍛煉熏陶，特別是數(shù)學(xué)教育，這樣的教育是有”毒”的，是飲鴆止渴，事倍功半，只能靠題海戰(zhàn)術(shù)和大量培訓(xùn)折騰學(xué)生，短期內(nèi)暫時可以解決升學(xué)考試和競賽，長遠(yuǎn)看來卻是貽害無窮，只不過被忽悠的眾多吃瓜家長和學(xué)生不知道這些真相，沒人講出學(xué)科教育特別是數(shù)學(xué)教育的皇帝新裝。
? ? ? 道悅(王國波)? 2022.9.4于廣州
