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來源背景

Cauchy列

在全體有理數(shù)組成的距離空間中，Cauchy列不一定收斂。
在全體實數(shù)組成的距離空間中，Cauchy列一定收斂。
Cauchy列一定收斂，反映了實數(shù)空間的完備性。

我們將把這個性質(zhì)“類比”地推廣到一般的距離空間。

一個點列 $\left\{{x_n}\right\}$ 是否收斂，除了點列自身的構(gòu)造性質(zhì)以外（越接近收斂點時點越密集，用 $\varepsilon-\delta$ 語言刻畫出來的，比如點列是個Cauchy列），還和空間的結(jié)構(gòu)（如空間是否完備）有很大關(guān)系。

注：空間中的Cauchy列可能不收斂，問題在于這個空間存在“缺陷”，或者說距離空間中有一些“縫隙”。

類似于實數(shù)空間，在距離空間，我們也引進(jìn)Cauchy列、完備性這些概念。

定義2：設(shè) $(X，d)$ 是一個距離空間， $\left\{{x_n}\right\}_{n=1}^{\infty} \subset (X,d)$ ，若對于任意的 $\varepsilon > 0$ ，存在正整數(shù) $N$ ，當(dāng) $m,n \geqslant N$ 時，有
$d(x_n,x_m) < \varepsilon$
稱 $\left\{{x_n}\right\}$ 是一個 $Cauchy$ 列。

定義5：若距離空間 $(X，d)$ 中的任意Cauchy列都收斂，則稱距離空間 $X$ 是完備的。

注1：完備性是十分重要的，有了完備性，極限運算（微積分）才能很好的進(jìn)行。在一個完備的距離空間，要判斷一個點列是否收斂，僅僅要判斷它是否是Cauchy列。

注2：距離空間中距離的定義不同，完備性將不同。

距離空間的完備化

任何一個不完備的距離空間都可以對其完備化。

設(shè) $(X，d)$ 是完備距離空間， $(X_0，d)\subset (X,d)$ 是一子空間。

如果 $X_0$ 在 $(X，d)$ 中是閉的，則 $(X_0，d)$ 是完備的。
如果 $X_0$ 不是閉集。我們知道 ${ \bar X_0}$ 在 $(X,d)$ 中是閉的，且是包含 $X_0$ 的最小閉集。
因此 $(X_0，d)$ 是完備的，且 $X_0$ 在 $(\bar X_0，d)$ 中稠密。

通俗的說，從 $(X_0，d)$ 到 ${ (\bar X_0，d)}$ 的過程，我們填滿了原來在 $(X_0，d)$ 空間中存在的“縫隙”，使之成為一個完備空間。

等距映射：映射前后空間中元素之間的距離保持不變。

完備距離空間的性質(zhì)

閉球套原理

壓縮映射原理

不動點問題是數(shù)學(xué)研究中的重要問題之一，所謂一個映射 $T$ 的不動點是指： $T$ 把這個點映射為自身，即 $Tx =x$ 。

如果這個映射（函數(shù)/運算）足夠好那么不斷迭代就能找到不動點（問題的解）。

任何解方程問題都可以轉(zhuǎn)化為求不動點的問題。

不動點定理是泛函分析中最基本的一個存在性定理。
分析中的許多存在性定理都是不動點定理的特例。
不動點理論已成為非線性泛函分析的重要內(nèi)容之一

考慮微分方程的初值問題：
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{dx}}{{dt}} = f\left( {x,t} \right)} \\ {{{\left. x \right|}_{t = 0}} = {x_0}} \end{array}} \right.$