畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了聲音和諧的數(shù)字規(guī)律，就是當(dāng)兩根琴弦一起發(fā)音時(shí)，這兩根琴弦的長(zhǎng)度之間的比例關(guān)系越是簡(jiǎn)單，兩個(gè)音同時(shí)發(fā)音的和聲效果就越和諧。如果兩根琴弦一樣長(zhǎng)，那它們發(fā)出的是一模一樣的兩個(gè)音，當(dāng)然非常和諧；如果一根琴弦的長(zhǎng)度正好是另一根琴弦的一半，那這根短的琴弦發(fā)出的音恰好就是長(zhǎng)琴弦上那個(gè)音的高八度重復(fù)。比如長(zhǎng)的琴弦發(fā)出中音do這個(gè)音，那么一半長(zhǎng)的琴弦發(fā)出的音就是高音do，這兩個(gè)音之所以和諧也是因?yàn)樗鼈兤鋵?shí)都是do，只不過是在八度關(guān)系上重復(fù)出現(xiàn)的兩個(gè)do而已，所以2:1的弦長(zhǎng)比例關(guān)系，兩個(gè)音的和聲非常和諧。

那么3:2的弦長(zhǎng)比例關(guān)系為什么也會(huì)和諧呢？這就要從琴弦的振動(dòng)原理來(lái)看了。

一根琴弦在振動(dòng)的時(shí)候，不僅是整根琴弦在振動(dòng)，它的很多個(gè)部分都在獨(dú)立振動(dòng)。就是說(shuō)琴弦的從正中間分開的兩部分也在獨(dú)立振動(dòng)，意思是琴弦的兩個(gè)1/2段都在獨(dú)立振動(dòng)；那么琴弦的三個(gè)1/3段都在獨(dú)立振動(dòng)；四個(gè)1/4段也在獨(dú)立振動(dòng)……，這些獨(dú)立振動(dòng)的琴弦片段都能夠發(fā)出相應(yīng)的音高來(lái)，所有的不同高度的聲音共同發(fā)聲，才構(gòu)成了一根琴弦的聲音。

一根琴弦振動(dòng)實(shí)際上有十六個(gè)音在同時(shí)發(fā)音，這個(gè)聲音被稱為“復(fù)合音”。如果以C（也就是人們一般說(shuō)的do)這個(gè)音為例，十六個(gè)音分別是：C、c、g、c1、e1、g1、降b1、c2、d2、e2、升f2、g2、降a2、降b2、b2、c3 （想用非專業(yè)人士能看懂的方法表示不同位置不同高度的音，還是很困難，只能使用音樂術(shù)語(yǔ)了，字母后面的數(shù)字應(yīng)該是“上標(biāo)”格式，可這個(gè)軟件不能顯示。C也就是人們常說(shuō)的do，大寫字母表示它是比較低的音，小寫字母再加數(shù)字表示越來(lái)越高的音高）。

既然有十六個(gè)音同時(shí)發(fā)音，那我們?yōu)槭裁催€說(shuō)這根琴弦的音是C（也就是do）呢？因?yàn)閐o不但是這個(gè)琴弦最低的那個(gè)音，最低的這個(gè)音就是整個(gè)琴弦的長(zhǎng)度振動(dòng)發(fā)出的聲音，它叫“基音”，代表了這根琴弦的基礎(chǔ)音高。其他那些由琴弦的不同片段發(fā)出的音就叫“泛音”。整個(gè)泛音列當(dāng)中，do出現(xiàn)了五次，是出現(xiàn)次數(shù)最多的音。這個(gè)音又是基音，又被重復(fù)了五次，所以聲音最為明顯，奠定了整根琴弦的音高基礎(chǔ)，所以這根琴弦就被稱作C（或者do）。

仔細(xì)數(shù)一數(shù)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，除了do之外，出現(xiàn)次數(shù)排第二的就是g（就是人們常說(shuō)的sol，出現(xiàn)了三次）。如果在安靜的環(huán)境下仔細(xì)傾聽，大多數(shù)人都能夠聽到，一根琴弦發(fā)音時(shí)，不僅能聽到那個(gè)最明顯的基音do，還能聽到另一個(gè)音就是sol。

在自然界中，各種聲音都遵循琴弦的泛音原理，不論是風(fēng)吹過空洞的竹子，還是水滴敲擊石板，只要能夠發(fā)出固定頻率的聲音，這些聲音都是由泛音組成的復(fù)合音。而復(fù)合音中間聽起來(lái)最明顯的就是do和sol，這是一個(gè)五度音程。五度音程之所以和諧悅耳，因?yàn)樗褪亲匀淮嬖诘囊舫剃P(guān)系，我們?cè)缫阉究找姂T，當(dāng)聽到do和sol一起發(fā)聲時(shí)，就自然而然地覺得這個(gè)和聲好聽。

do和sol的五度關(guān)系就是3:2的弦長(zhǎng)關(guān)系，整根琴弦發(fā)出do的音高，琴弦的2/3這一段發(fā)出sol的音高，所以3:2的弦長(zhǎng)比例關(guān)系就能發(fā)出和諧的聲音來(lái)，因?yàn)檫@個(gè)聲音是自然之聲。

那么4:3的弦長(zhǎng)關(guān)系為什么也會(huì)和諧悅耳呢？因?yàn)閺膁o向上數(shù)五度就是sol，那么反過來(lái)，從do向下數(shù)五度就是fa（do、xi、la、sol、fa），從fa到do還是五度關(guān)系，它之所以好聽，是因?yàn)樗卜献匀恢曋械奈宥汝P(guān)系。

弦長(zhǎng)比例為2:1時(shí)，相當(dāng)于同一個(gè)音在不同八度上的重復(fù)，它很和諧；弦長(zhǎng)比例為3:2和4:3時(shí)，相當(dāng)于是自然廣泛存在的泛音中的最明顯的五度關(guān)系音，所以同樣和諧悅耳。其他的比例關(guān)系都沒有這幾種那么自然，所以和諧程度也會(huì)明顯下降了。