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摘要

本片文章主要是推導(dǎo)球面距離公式的過程，需要您了解一些高中數(shù)學(xué)的三角函數(shù)的基本公式，簡單的向量運(yùn)算，如果你還記得的話，或者有興趣的話可以接著往下看；事情的起因是在項(xiàng)目的代碼中看到有一段根據(jù)手機(jī)定位的經(jīng)緯度數(shù)據(jù)計(jì)算兩個(gè)地理位置的距離。

export function calcDistance(point1, point2) {
  if (!point1 || !point2) return null;
  const EARTH_RADIUS = 6378.137;
  const { longitude: lng1, latitude: lat1 } = point1;
  const { longitude: lng2, latitude: lat2 } = point2;
  const radLat1 = (lat1 * Math.PI) / 180.0;
  const radLat2 = (lat2 * Math.PI) / 180.0;
  const radDiff = radLat1 - radLat2;
  const b = (lng1 * Math.PI) / 180.0 - (lng2 * Math.PI) / 180.0;
  const distance =
    2 *
    Math.asin(
      Math.sqrt(
        Math.pow(Math.sin(radDiff / 2), 2) +
          Math.cos(radLat1) * Math.cos(radLat2) * Math.pow(Math.sin(b / 2), 2)
      )
    );
  return distance * EARTH_RADIUS;
}

下面讓我來解釋一下上面這段代碼的意思，

球面坐標(biāo)系

假設(shè)地球半徑為 $R$ ，經(jīng)度longitude用希臘字母 $\lambda$ 表示；緯度latitude用希臘字母 $\varphi$ 表示，那么P1的坐標(biāo)就是 $(\lambda_1,\varphi_1)$ ；而P2的坐標(biāo)就是 $(\lambda_2,\varphi_2)$ ，那么代碼的核心就是下面這個(gè)公式：

$|P_1P_2|=2R\sqrt{\sin^2\frac{\Delta\varphi}{2}+\cos\varphi_1cos\varphi_2\sin^2\frac{\Delta\lambda}{2}}$

其中
$\Delta\varphi=\varphi_1-\varphi_2，\Delta\lambda=\lambda_1-\lambda_2$

這個(gè)公式就是傳說中的的半正矢公式Haversine formula，然后我就很好奇為啥這個(gè)公式是這樣的，糾結(jié)這個(gè)公式是怎么來的，光是根據(jù)球面坐標(biāo)系和這個(gè)公式，并不能理解，它并不像歐幾里得空間上的距離那么直觀。

下面我們根據(jù)空間直角坐標(biāo)系來定義一下球面坐標(biāo)系，球面上的任意一點(diǎn) $P(x,y,z)$ 用經(jīng)緯度來轉(zhuǎn)換可以用下面的公式來表示:

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} x=R\cos{\varphi}\cos{\lambda}\\ y=R\cos{\varphi}\sin{\lambda}\\ z=R\sin{\varphi} \end{array} \right. \end{equation}$

方法一：從弦長求大圓距離

用歐幾里得空間距離求解，對于球面上的兩點(diǎn) $P_1(x_1,y_1,z_1)$ 和 $P_2(x_2,y_2,z_2)$ 兩點(diǎn)之間的距離可以表示為：

$|P_1P_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$

那么轉(zhuǎn)換成球面坐標(biāo)以后就是將球面公式(1)代入到歐式距離公式中，則就有：

$|P_1P_2|^2=R^2[(\cos{\varphi_1}cos{\lambda_1}-\cos{\varphi_2}\cos{\lambda_2})^2+(\cos{\varphi_1}\sin{\lambda_1}-\cos{\varphi_2}\sin{\lambda_2})^2\\+(\sin{\varphi_1}-\sin{\varphi_2})^2]$

等價(jià)于

$|P_1P_2|^2=R^2[\cos^2{\varphi_1}\cos^2{\lambda_1}+\cos^2{\varphi_2}\cos^2{\lambda_2}-2\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\cos{\lambda_1}\cos{\lambda_2}\\ +\cos^2{\varphi_1}\sin^2{\lambda_1}+\cos^2{\varphi_2}\sin^2{\lambda_2}-2\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\sin{\lambda_1}\sin{\lambda_2}\\ +\sin^2{\varphi_1}+\sin^2{\varphi_2}-2\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2}]$

等價(jià)于

$|P_1P_2|^2=R^2[\cos^2{\varphi_1}+\cos^2{\varphi_2}+\sin^2{\varphi_1}+\sin^2{\varphi_2}\\ -2\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}(\cos{\lambda_1}\cos{\lambda_2}+\sin{\lambda_1}\sin{\lambda_2})\\ -2\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2}]$

等價(jià)于

$|P_1P_2|^2=R^2[2-2\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\cos{(\lambda_1-\lambda_2)}-2\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2}]$

等價(jià)于

$|P_1P_2|^2=2R^2(1-\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2}-\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\cos{\Delta\lambda})$

即

$|P_1P_2|=\sqrt{2}R\sqrt{1-\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2}-\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\cos{\Delta\lambda}}$

接下來我們把問題轉(zhuǎn)化到平面幾何上，參照下圖， $|P_1P_2|$ 的長度我們可以通過上門的公式求出，現(xiàn)在我們需要求出 $\stackrel{\frown}{|P_1P_2|}$ ，現(xiàn)在已知 $|OP_1|=|OP_2|=R$ ，假設(shè) $\angle P_1OP_2=\delta$ ，那么 $\stackrel{\frown}{|P_1P_2|}=\delta R$

球體在圓上的切片

由上圖顯然:

$\sin{\frac{\delta}{2}}=\frac{|P_1Q|}{R}=\frac{|P_2Q|}{R}=\frac{|P_1P_2|}{2R}$

這就等價(jià)于

$\delta=2\arcsin{\frac{|P_1P_2|}{2R}}$

所以

$\delta=2\arcsin{\sqrt{\frac{{1-\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2}-\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\cos{\Delta\lambda}}}{2}}}$

最終得到

$\stackrel{\frown}{|P_1P_2|}=2R\arcsin{\sqrt{\frac{{1-\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2}-\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\cos{\Delta\lambda}}}{2}}}$

以上是最大圓距離(Creat-circle distance)的一種表現(xiàn)形式。

方法二：用向量的余弦夾角公式求解大圓距離

用球面坐標(biāo)表示 $P_1(x_1,y_1,z_1)$ 和 $P_2(x_2,y_2,z_2)$ 的坐標(biāo)，可以得到

$P_1(R\cos{\varphi_1}\cos{\lambda_1},R\cos{\varphi_1}\sin{\lambda_1},R\sin{\varphi_1})$

$P_2(R\cos{\varphi_2}\cos{\lambda_2},R\cos{\varphi_2}\sin{\lambda_2},R\sin{\varphi_2})$

那么向量 $\overrightarrow{OP_1}$ 和向量 $\overrightarrow{OP_2}$ 的夾角 $\delta$ 的余弦：

$\cos{\angle P_1OP_2}=\cos{\delta}=\frac{\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}}{|\overrightarrow{OP_1}||\overrightarrow{OP_2}|}$

那么

$\cos{\delta}=\frac{x_1*x_2+y_1*y_2+z_1*z_2}{R^2}$

$\cos{\delta}=\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\cos{\lambda_1}\cos{\lambda_2}+\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\sin{\lambda_1}\sin{\lambda_2}+\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2}$

$\cos{\delta}=\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}[\cos{\lambda_1}\cos{\lambda_2}+\sin{\lambda_1}\sin{\lambda_2}]+\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2}$

$\cos{\delta}=\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\cos{(\lambda_1-\lambda_2)}+\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2}$

$\cos{\delta}=\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\cos{\Delta \lambda}+\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2}$

由此可知

$\delta=\arccos{(\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\cos{\Delta \lambda}+\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2})}$

最終得到最大圓距離(Creat-circle distance)的另一種表現(xiàn)形式，一般網(wǎng)上找到的Creat-circle distance指的就是這個(gè)公式

$\stackrel{\frown}{|P_1P_2|}=R\arccos{(\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\cos{\Delta \lambda}+\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2})}$

注：這個(gè)公式的余弦函數(shù)在地球上距離較近的兩點(diǎn)，有計(jì)算精度丟失的問題，因此在此基礎(chǔ)上我們可以利用余弦定理等價(jià)變換成另一種易于計(jì)算機(jī)較精確計(jì)算的公式，半正矢函數(shù)公式Haversine公式

方法三、用半正矢公式定義的距離

球體在圓上的切片

由余弦定理可知

$|P_1P_2|^2=|OP_1|^2+|OP_2|^2-2|OP_1|\cdot|OP_2|\cdot \cos{\delta}$

將 $\cos{\delta}=\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\cos{(\lambda_1-\lambda_2)}+\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2}$ 代入上式得到:

$|P_1P_2|^2=2R^2-2R^2(\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\cos{\Delta\lambda}+\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2})$

$|P_1P_2|^2=2R^2-2R^2[\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}(1-2\sin^2{\frac{\Delta\lambda}{2}})+\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2}]$

$|P_1P_2|^2=2R^2-2R^2[\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}-2\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\sin^2{\frac{\Delta\lambda}{2}}+\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2}]$

$|P_1P_2|^2=2R^2-2R^2[\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}+\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2}-2\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\sin^2{\frac{\Delta\lambda}{2}}]$

$|P_1P_2|^2=2R^2-2R^2[\cos{(\varphi_1-\varphi_2)}-2\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\sin^2{\frac{\Delta\lambda}{2}}]$

$|P_1P_2|^2=2R^2-2R^2[\cos{\Delta\varphi}-2\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\sin^2{\frac{\Delta\lambda}{2}}]$

$|P_1P_2|^2=2R^2-2R^2\cos{\Delta\varphi}+4R^2\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\sin^2{\frac{\Delta\lambda}{2}}$

$|P_1P_2|^2=2R^2(1-\cos{\Delta\varphi})+4R^2\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\sin^2{\frac{\Delta\lambda}{2}}$

$|P_1P_2|^2=4R^2\sin^2{\frac{\Delta\varphi}{2}}+4R^2\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\sin^2{\frac{\Delta\lambda}{2}}$

由正弦定義可知：

$\sin{\frac{\delta}{2}}=\frac{|P_1P_2|}{2R}$

這等價(jià)于

$\sin^2{\frac{\delta}{2}}=\frac{|P_1P_2|^2}{4R^2}$

即

$\sin^2{\frac{\delta}{2}}=\frac{|P_1P_2|^2}{4R^2}=\sin^2{\frac{\Delta\varphi}{2}}+\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\sin^2{\frac{\Delta\lambda}{2}}$

$\sin{\frac{\delta}{2}}=\sqrt{\sin^2{\frac{\Delta\varphi}{2}}+\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\sin^2{\frac{\Delta\lambda}{2}}}$

所以

$\delta=2\arcsin{\sqrt{\sin^2{\frac{\Delta\varphi}{2}}+\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\sin^2{\frac{\Delta\lambda}{2}}}}$

最終得到

$\stackrel{\frown}{|P_1P_2|}=2R\arcsin{\sqrt{\sin^2{\frac{\Delta\varphi}{2}}+\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\sin^2{\frac{\Delta\lambda}{2}}}}$

這便是開篇代碼中用的Haversine公式推導(dǎo)的距離。

總結(jié)三個(gè)公式

對于球面上的兩個(gè)點(diǎn) $P_1$ 和 $P_2$ ，已知他們的經(jīng)度 $\lambda$ 和維度 $\varphi$ ，就會有以下三種距離

$\stackrel{\frown}{|P_1P_2|}=2R\arcsin{\sqrt{\frac{{1-\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2}-\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\cos{\Delta\lambda}}}{2}}}$

$\stackrel{\frown}{|P_1P_2|}=R\arccos{(\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\cos{\Delta \lambda}+\sin{\varphi_1}\sin{\varphi_2})}$

$\stackrel{\frown}{|P_1P_2|}=2R\arcsin{\sqrt{\sin^2{\frac{\Delta\varphi}{2}}+\cos{\varphi_1}\cos{\varphi_2}\sin^2{\frac{\Delta\lambda}{2}}}}$

其實(shí)正半矢公式是余弦公式的一個(gè)轉(zhuǎn)換，只是在相同緯度或者比較接近的兩個(gè)位置距離求解的情況下更適用于計(jì)算機(jī)的精確計(jì)算，因?yàn)椴蝗菀讈G失精度，但是由于摩爾定律，目前的64位的機(jī)器應(yīng)該表現(xiàn)的越來越好，具體是否有所改善有待于實(shí)驗(yàn)。說到底求解的過程其實(shí)就是，當(dāng)知道了兩點(diǎn)的經(jīng)度和緯度，然后求出球心到兩點(diǎn)形成的兩個(gè)向量的夾角，用夾角和地球半徑就求出了球面距離；還有一種思路就是，直接在直角坐標(biāo)系下求出兩點(diǎn)的歐式距離，然后利用畢達(dá)哥拉斯定理(裝逼說法，其實(shí)就是勾股定理)求出兩個(gè)向量的夾角，然后同理求出球面距離。

參考文獻(xiàn)

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E5%9C%86%E8%B7%9D%E7%A6%BB

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根據(jù)經(jīng)緯度對球面距離的求解