作者：亞馬遜的蝴蝶（Butterfly_of_Amazon）

上一篇文章《愛因斯坦和玻爾爭論的到底是什么》中，說到愛因斯坦通過EPR佯謬指出，哥本哈根解釋拋棄了實(shí)在性也就意味著違反定域性，玻爾的回答暗示了超距作用的存在。

不僅是愛因斯坦，相信大多數(shù)人都難以認(rèn)同玻爾的回答，但卻無法判定對錯。這個問題本來是科學(xué)問題，科學(xué)卻對它無能為力，爭論似乎只能停留在哲學(xué)層面。為量子力學(xué)理論立下汗馬功勞的泡利抱怨說：“與愛因斯坦?fàn)幷摚鶗w結(jié)到針尖上能站多少個天使這類問題上去”。此后的二十年，誰都無法說服誰。

1955年愛因斯坦去世，1962年玻爾離開這個世界，兩人都為各自的信念奮斗了一生。玻爾去世前，工作室的黑板上還畫著當(dāng)年與愛因斯坦“華山論劍”的光箱實(shí)驗(yàn)草圖，玻爾經(jīng)常用這個圖給來訪者解釋量子理論。盡管被愛因斯坦質(zhì)疑為不完備，幾十年間，量子理論已勢不可擋地發(fā)展起來，給人類社會帶來偉大的技術(shù)革命。雖然已很少有人提起，但兩人的爭論還在等待一個最終判決。

玻爾去世兩年后，終于有人將這個問題向前推進(jìn)了關(guān)鍵的一步。這個人就是英國物理學(xué)家約翰·斯圖爾特·貝爾(John Stewart Bell)，他提出了大名鼎鼎的貝爾不等式，為判決指出了方向。

貝爾不等式本身并不復(fù)雜，我后面會寫出推導(dǎo)過程。相信我，具備中學(xué)數(shù)學(xué)知識就可以看懂。
很多科普文章沒有把貝爾不等式講清楚，包括我很喜歡的《量子物理史話——上帝擲骰子嗎》，主要是因?yàn)榕掠绊懲ㄋ仔远÷粤藢?fù)雜環(huán)節(jié)和概念的描述。既然我把我的文章定位為“比科普深入，比論文淺顯”，我將嘗試增加我認(rèn)為必要的內(nèi)容。但作為科普文章，所謂的“深入”也只能是適可而止。
預(yù)警：雖然我能保證不難，但不動腦筋肯定是讀不懂的，請集中注意力。

一、判定對錯的難點(diǎn)

上一篇文章中說到：“愛因斯坦和玻爾關(guān)于EPR佯謬的解釋似乎無法分出對錯，因?yàn)闊o人能在粒子飛行過程中插入檢測點(diǎn)”。對于這個難點(diǎn)，該怎么解決呢？

先給大家講一個《羅輯思維》第172期中的故事。

日本有一項(xiàng)體育運(yùn)動叫相撲，帶有強(qiáng)烈的宗教和神圣色彩，無論是訓(xùn)練還是比賽，都充滿了儀式感，屬于日本民族文化圣壇上的東西，被日本人認(rèn)為是最干凈的運(yùn)動。

相撲運(yùn)動跟圍棋一樣，也分段位，共十級，最上面那級叫橫綱，在日本具有神一樣的地位。運(yùn)動員達(dá)到橫綱之后，將終身保持這個榮譽(yù)。

我們知道體育比賽往往會有各種各樣的作弊，比如賄賂裁判、服用興奮劑、假賽，等等。但日本人認(rèn)為相撲不會，因?yàn)橄鄵涫巧袷ズ透蓛舻?，每位相撲運(yùn)動員都信奉相撲哲學(xué)，有著崇高的道德感，在賽場上秉承武士道精神，拼死拼搏，絕對不會干出類似放水、假賽這樣骯臟的事情。

那么相撲的道德水準(zhǔn)是不是真的像他們說的那么高呢？曾經(jīng)有兩位橫綱，退休后合寫了一本書叫《賽場內(nèi)外》，書中有一小段影影綽綽說到假賽在相撲中普遍存在。這本書出版后引起軒然大波，民眾指責(zé)他倆“信口雌黃”，污蔑“民族心中的圣壇”。后來兩人死得非常慘，幾乎是在同一天，都因?yàn)楹粑ソ叨?。醫(yī)院的診斷結(jié)論是急性肺炎。當(dāng)然誰都能想明白，這肯定不是正常死亡，兩個人寫了同一本書，同一天死，一定是因?yàn)榈米锪耸裁慈?，妨礙了某些人的利益，被黑社會做掉了。

但相撲比賽到底存不存在假賽的情況呢？判定假賽就是要證明參賽者比賽時沒有盡力，但如何認(rèn)定參賽者沒有盡力呢？這個問題是不是和前面說的對愛因斯坦和玻爾的爭論做出判定有相似的地方？就像誰也不能中途觀察粒子一樣，誰也無法進(jìn)入?yún)①愓叩膬?nèi)心。

但是，這個看似無解的問題被科學(xué)找到了答案。

相撲運(yùn)動有個規(guī)則：每屆大賽，每個運(yùn)動員要打十五場，如果贏了八場及以上，就可以晉級。如果到最后一場時，你已經(jīng)贏了七場，那么這場對你就是關(guān)鍵場次，因?yàn)樗鼪Q定你是不是能晉級，性命攸關(guān)，所以你一定會非常拼命。而你的對手也許與你不一樣，他可能已經(jīng)贏了八場，或者只贏了六場，這場的輸贏對他沒有太大意義，他當(dāng)然沒有必要跟你拼命，為了避免受傷或交換利益，有可能故意讓你贏。

有人把幾十年間日本相撲運(yùn)動的資料全部調(diào)出來，共32000場，找出其中的關(guān)鍵場數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得出了一個驚人的發(fā)現(xiàn)：性命攸關(guān)方的勝率幾乎比平時高出一倍！但如果每位相撲運(yùn)動員都遵守相撲哲學(xué)和道德，拼死拼搏，怎么可能出現(xiàn)這么大的勝率變化呢？答案不言自明：對方放水了。日本文化圣壇上的相撲運(yùn)動其實(shí)并不如他們所說的那么干凈。

大家可能已經(jīng)猜出來了我想說的意思：統(tǒng)計(jì)和概率將在對愛因斯坦和玻爾爭論的判決上起著至關(guān)重要的作用。

那么EPR佯謬?yán)锏摹瓣P(guān)鍵場數(shù)”是什么呢？

二、愛玻之爭的“關(guān)鍵場數(shù)”

貝爾之所以能為判決指出方向，正是因?yàn)樗业搅藧鄄Ｖ疇幍摹瓣P(guān)鍵場數(shù)”。下面將依次講解粒子自旋的概念、自旋的測量、貝爾不等式的推導(dǎo)，最后得出愛玻之爭的“關(guān)鍵場數(shù)”。

描述過程中，我將略去對于理解貝爾不等式不必要的概念，只留下確保邏輯鏈條完整的內(nèi)容。
限于水平，部分描述可能專業(yè)性不足，還望包涵。如有硬傷，肯請批評指正。

（一）基本粒子的自旋

經(jīng)典物理中物體的自轉(zhuǎn)很好理解，一個物體圍繞自身軸心旋轉(zhuǎn)即為自轉(zhuǎn)，可用角動量來描述。角動量的大小為物體上每個點(diǎn)的質(zhì)量乘以該點(diǎn)速度再乘以該點(diǎn)與轉(zhuǎn)軸的距離的累加之和；角動量的方向用右手定則確定：右手除大拇指外的四指順著旋轉(zhuǎn)方向環(huán)握，此時右手大拇指所指方向即為角動量的方向。下圖中角動量方向是向上的，如果圖中轉(zhuǎn)盤反向旋轉(zhuǎn)，則角動量方向向下。對角動量不了解沒有關(guān)系，記住這是物理學(xué)的一個約定就可以了，按照這個約定，用一個有方向有長度的矢量（即箭頭）就可以準(zhǔn)確描述經(jīng)典物理中某個物體的旋轉(zhuǎn)。

基本粒子自旋正是得名于與經(jīng)典物理中角動量的類比。了解經(jīng)典物理的角動量有助于理解粒子自旋，但僅限于對比相似點(diǎn)與不同點(diǎn)，不能用經(jīng)典物理中的現(xiàn)象解釋粒子自旋。

對于自旋的計(jì)算不屬于本文范圍，我僅通過列舉和對比兩者特點(diǎn)來幫大家形成基本概念：

1. 粒子自旋是粒子所具有的內(nèi)稟性質(zhì)，可理解為粒子與生俱來的一種角動量；其運(yùn)算規(guī)則與經(jīng)典物理中的角動量有類似之處；根據(jù)計(jì)算可知自旋會產(chǎn)生磁場，并已得到實(shí)驗(yàn)證實(shí)。
2. 粒子自旋的形成原理未知，不能像經(jīng)典物理中的自轉(zhuǎn)那樣理解為粒子圍繞自身質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)。
3. 粒子自旋的量值是量子化的，無法被改變，比如：測量電子任意方向的自旋，都將得到或正或負(fù)的固定數(shù)值。這點(diǎn)與經(jīng)典物理很不一樣，經(jīng)典物理中物體旋轉(zhuǎn)得越快則角動量越大，角動量的方向除了向上或向下，也可以向其它方向偏轉(zhuǎn)任何角度，角動量的大小和方向獨(dú)立于測量方法而存在。這一點(diǎn)非常重要，請認(rèn)真體會。

是不是有些暈？請放輕松，不只是你，相信任何人都無法理解。正像上一篇文章所說：所謂理解，只是用熟悉的事物進(jìn)行類比和推導(dǎo)，而量子世界里的概念大部分都無法在我們熟悉的事物中找到可類比的東西?；玖Ｗ悠娈愄匦缘陌l(fā)現(xiàn)得益于眾多科學(xué)家的開創(chuàng)性工作，他們基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，借助天才般的靈光乍現(xiàn)，從幾個基本假設(shè)出發(fā)，通過數(shù)學(xué)計(jì)算推導(dǎo)得出。經(jīng)典物理對此往往無法解釋，甚至連發(fā)現(xiàn)它們的科學(xué)家自己也無法理解。

（二）自旋方向的測量

1922年，德國物理學(xué)家奧托·斯特恩和瓦爾特·格拉赫通過著名的斯特恩—革拉赫實(shí)驗(yàn)，首次證實(shí)了原子角動量的量子化，奧托·斯特恩因此獲得1943年諾貝爾物理學(xué)獎。下面是實(shí)驗(yàn)示意圖。

斯特恩－革拉赫實(shí)驗(yàn)

大量銀原子從電爐內(nèi)蒸發(fā)射出，通過狹縫形成細(xì)束，經(jīng)過一個抽成真空的不均勻的磁場區(qū)域（磁場垂直于射束方向），最后到達(dá)照相底片上。按照經(jīng)典物理分析，銀原子自身磁矩方向是隨機(jī)的，因此受到裝置磁場的引力或斥力大小也是隨機(jī)分布的，因此銀原子可能擊打在底片上的任意位置。而實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)把底片顯像后，底片上出現(xiàn)了兩條黑斑，表明銀原子經(jīng)過不均勻磁場區(qū)域時分成了兩束，說明原子的角動量是量子化的，在磁場中不能任意取向。

1927 年，泡利將自旋概念應(yīng)用到量子力學(xué)體系中，同年弗萊塞在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)銀、氫和鈉原子的軌道角動量為零，才確定斯特恩—蓋拉赫實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象歸因于電子的自旋。銀原子最外層電子軌道只有一個電子，該電子的自旋磁矩導(dǎo)致銀原子成為一個小磁體。泡利通過計(jì)算推斷，測量電子自旋只能得到兩種量子態(tài)，分別稱為上旋或下旋，從而解釋了銀原子在不均勻外磁場作用下的向上或向下偏轉(zhuǎn)，見下圖。

斯特恩—革拉赫實(shí)驗(yàn)裝置成為測量電子自旋角動量方向的重要工具。

（三）貝爾不等式的推導(dǎo)

主角終于登場了。1928年7月28日，約翰?斯圖爾特?貝爾出生在北愛爾蘭的首府貝爾法斯特，從小聰穎過人。貝爾讀大學(xué)時，量子理論主要的開創(chuàng)性工作已基本完成，正在推動技術(shù)革命中發(fā)揮重要作用，但貝爾發(fā)現(xiàn)自己像愛因斯坦一樣難以接受現(xiàn)有的量子理論，他認(rèn)為物理世界一定是確定的，他把自己描述為愛因斯坦的忠實(shí)追隨者。

貝爾用電子自旋代替粒子的動量與位置，仔細(xì)琢磨EPR論文描述的情景：“一對糾纏中的電子背向飛往遠(yuǎn)處，分別測量它們在同一方向的自旋，一定會得出一個上旋一個下旋的結(jié)果”。他突發(fā)奇想：“如果測量不同方向的自旋會怎么樣？” 經(jīng)過反復(fù)把玩各種可能情況下的數(shù)據(jù)，他漸漸理清了思路，于1964年發(fā)表了論文《On the Einstein-Podolsky-Rosen Paradox》（論EPR佯謬）（論文下載）。

文章寫到這里，我停了很多天。
科普文章的困難是要在專業(yè)性和通俗性之間找平衡，不能寫太多太復(fù)雜的計(jì)算和推導(dǎo)（說實(shí)話，對于量子力學(xué)，復(fù)雜的計(jì)算我目前的能力也做不到），只能參考其它資料進(jìn)行相對通俗易懂的描述，但有時會擔(dān)心參考資料的權(quán)威性而不敢下筆，怕描述不嚴(yán)謹(jǐn)，誤導(dǎo)讀者。
我設(shè)法找到了1964年貝爾論文的英文原文，認(rèn)真讀完才敢放心接著寫。后面我會說到具體是哪個點(diǎn)讓我停了這么久。

下面寫的貝爾不等式推導(dǎo)過程是改編簡化版，只考慮了離散輸入與輸出的情況，而貝爾的原論文涵蓋連續(xù)和離散輸入輸出的所有情況，更有普適性，不過兩者基本思想是一樣的。

貝爾和愛因斯坦一樣，相信糾纏狀態(tài)的兩個粒子在分離的瞬間，已經(jīng)“約定好”之后的行為，確定了每時每刻的相關(guān)物理量值（注：貝爾實(shí)際相信的是玻姆的隱變量理論，這里略去不寫，否則文章將過于復(fù)雜）。基于這點(diǎn)，他想：

假設(shè)有兩個糾纏狀態(tài)的電子A和B，現(xiàn)指定三個方向x、y、z（這三個方向相互間不一定垂直，可以是任意夾角）。對于A，在x方向測量它的自旋，測量結(jié)果可能是上旋，也可能是下旋，分別用Ax+、Ax-表示；類似的，對于A，在y方向測量，結(jié)果可能是Ay+或Ay-，同理有Az+、Az-。

按照愛因斯坦的觀點(diǎn)，由于測量前，電子在x、y、z方向上已經(jīng)有確定的自旋方向，那么，Ax、Ay、Az的全部組合將包含在下表中：

同理，B也符合上表情況。考慮到在相同方向上B的自旋測量結(jié)果與A相反，故A、B自旋的全部組合將包含在下表中：

表1

上表中顯然有：N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7+N8=1

下面考察“相關(guān)率”在這個場景中的情況。

所謂相關(guān)率，是指兩個變量的關(guān)聯(lián)程度，通俗地說，就是衡量兩個變量的協(xié)作程度。比如：甲乙兩個人，如果我們把“當(dāng)甲做A事時乙做B事；甲不做A事時乙也不做B事”當(dāng)作正相關(guān)，把“當(dāng)甲做A事時乙不做B事；甲不做A事時乙做B事”當(dāng)作負(fù)相關(guān)，那么將正相關(guān)出現(xiàn)的概率減去負(fù)相關(guān)出現(xiàn)的概率就得出總的相關(guān)率。如果大于0，表示兩人傾向于協(xié)作，數(shù)值越大，表示協(xié)作程度越高；如果小于0，表示兩人傾向于抗拒協(xié)作，數(shù)值越小，表示抗拒程度越高；如果等于0表示什么呢？表示兩人的行為隨機(jī)，不存在導(dǎo)致兩人協(xié)作或抗拒協(xié)作的主觀或客觀原因。

對于A、B兩個電子來說，以它們在x方向測得的自旋方向?yàn)槔?strong>如果以兩者方向相反為正相關(guān)，方向相同為負(fù)相關(guān)（之所以這么設(shè)定，是考慮到一對糾纏的電子在同方向上測得的自旋方向是相反的），則A、B兩個電子在x方向的自旋相關(guān)率為：

P_xx=N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7+N8=1

那么，考察兩個電子在不同方向上測量結(jié)果的相關(guān)率是多少呢？根據(jù)上表，很容易得出：

P_xy=N1+N2-N3-N4-N5-N6+N7+N8
P_zx=N1-N2+N3-N4-N5+N6-N7+N8
P_yz=N1-N2-N3+N4+N5-N6-N7+N8

可得：
|P_zx - P_yz| = 2*|N3-N4-N5+N6| ≦ 2*(N3+N4+N5+N6) = 1 + 2*(N3+N4+N5+N6) - (N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7+N8) = 1 - (N1+N2-N3-N4-N5-N6+N7+N8) = 1 - P_xy

即：|P_zx - P_yz| ≦ 1 - P_xy，這就是大名鼎鼎的貝爾不等式。

那么這個貝爾不等式表示的是什么意思呢？前面提到“糾纏狀態(tài)的兩個粒子在分離的瞬間，已經(jīng)約定了之后的行為”，這是推導(dǎo)貝爾不等式的前提。這個前提表示的是“分離之后，兩個電子不再相互影響”，只要不相互影響，相關(guān)率P_xy、P_zx和P_yz 就必然要符合貝爾不等式描述的關(guān)系。

那么這個貝爾不等式為什么重要？因?yàn)樨悹柊l(fā)現(xiàn)：依據(jù)量子力學(xué)理論，在某些情況下，糾纏電子的統(tǒng)計(jì)學(xué)行為不符合貝爾不等式描述的情況！這就給實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證EPR指出了一個可行的方向。

但是，依據(jù)量子力學(xué)理論，如何得知“在某些情況下，糾纏電子的統(tǒng)計(jì)學(xué)行為不符合貝爾不等式描述的情況”？我在尋找材料上花了幾天時間，找到的材料里能讓我放心采用的也就是貝爾的論文原文了。論文中關(guān)于這部分實(shí)際只有一句話和一個式子(3)：

貝爾論文中的原文

圖中式子如何推導(dǎo)而來，論文沒有交待。我結(jié)合我找到的關(guān)于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析的材料，對式(3)進(jìn)行推導(dǎo)，可能有助于大家理解。

實(shí)驗(yàn)證明：

• 一個銀原子束L，經(jīng)過一個磁場方向?yàn)閍的斯特恩—革拉赫裝置，將被分裂為兩束，一束向a方向偏轉(zhuǎn)（記為a=1），另一束則向-a方向偏轉(zhuǎn)（記為a=-1）。
• 將其中向a方向偏轉(zhuǎn)的銀原子束記作A，向-a方向偏轉(zhuǎn)的銀原子束記作-A，讓A再經(jīng)過一個磁場方向?yàn)閎的斯特恩—革拉赫裝置，則它將再次分裂為兩束，其中一束向b偏轉(zhuǎn)（記為b=1），另一束向-b方向偏轉(zhuǎn)（記為b=-1）。
• 如果A有N個電子 ，b與a的夾角為γ，則向b偏轉(zhuǎn)的那束有NCos²(γ/2)個銀原子，向-b偏轉(zhuǎn)的那束有NSin²(γ/2)個銀原子。

根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)事實(shí)，可以得出：

1. 對于A中的單個銀原子e來說：
   向 b方向偏轉(zhuǎn)的概率 P(a=1,b=1)=Cos²(γ/2)
   向-b方向偏轉(zhuǎn)的概率 P(a=1,b=-1)=Sin²(γ/2)。
2. 類似，可計(jì)算-A中銀原子的偏轉(zhuǎn)概率：
   P(a=-1,b=1)=Sin²(γ/2)
   P(a=-1,b=-1)=Cos²(γ/2)
3. 因?yàn)锳中銀原子數(shù)加-A中銀原子數(shù)等于總銀原子數(shù)，由1和2可知，對于銀原子束L：
   銀原子在a和b中偏轉(zhuǎn)同向（即均為正或均為負(fù)）的概率 P(a=b)=Cos²(γ/2)
   在a和b中偏轉(zhuǎn)異向（即一正一負(fù)）的概率 P(a=-b)=Sin²(γ/2)，

前面已說“弗萊塞通過實(shí)驗(yàn)確定斯特恩—蓋拉赫實(shí)驗(yàn)銀原子偏轉(zhuǎn)現(xiàn)象歸因于電子的自旋”，故可將此結(jié)論推廣到EPR論文所描述的情景：處于糾纏態(tài)的電子對，各自向相反方向飛去，在電子經(jīng)過的路徑上，在a方向測量第一個電子的自旋，在b方向測量第二個電子的自旋，a與b夾角為γ。由于糾纏態(tài)電子在同方向上測得的自旋方向必然相反，由前述3得出：

兩個電子在a和b中偏轉(zhuǎn)同向（即均為正或均為負(fù)）的概率 P(a=b)=Sin²(γ/2)
兩個電子在a和b中偏轉(zhuǎn)異向（即一正一負(fù)）的概率 P(a=-b)=Cos²(γ/2)

如以兩個電子在a和b中偏轉(zhuǎn)異向?yàn)檎嚓P(guān)，則相關(guān)率為：

P_ab= P(a=-b)-P(a=b)=Cos²(γ/2) - Sin²(γ/2) = Cos(γ)

Cos(γ)正是a、b兩個方向的單位矢量的點(diǎn)積，將這兩個單位矢量表示為a和b，有：

P_ab = a?b

貝爾論文的式(3)中的<σ₁?a σ₂?b>是以兩個電子在a和b中偏轉(zhuǎn)同向?yàn)檎嚓P(guān)，其值應(yīng)與P_ab異號，故有：

<σ₁?a σ₂?b> = -P_ab = -a?b
至此，貝爾論文中的式(3)推導(dǎo)完畢。

以上推導(dǎo)，由對同一個電子先后測量不同方向，過渡到對糾纏電子同時測量不同方向，這個過程邏輯并不嚴(yán)謹(jǐn)，僅用于幫助大家理解式(3)。

把 P_ab= Cos(γ) 這個結(jié)論代入貝爾不等式會出現(xiàn)什么情況？

設(shè)x與y間夾角為α，y與z間夾角為β，z與x間夾角為θ（α，β，θ 均大于0度且小于180度），依據(jù) P_ab= Cos(γ)，有：
P_xy= Cos(α)
P_zx= Cos(β)
P_yz= Cos(θ)

將P_xy、P_zx、P_yz代入貝爾不等式，得：
|Cos(β) - Cos(θ)| ≦ 1 - Cos(α)
=> |1 - 2Sin²(β/2) - (1 - 2Sin²(θ/2))| ≦ 1 - (1 - 2Sin²(α/2))
=> |Sin²(θ/2) - Sin²(β/2)| ≦ Sin²(α/2)

在β ≦ θ 時，有：Sin²(θ/2) - Sin²(β/2) ≦ Sin²(α/2)
=> Sin²(θ/2) - Sin²(α/2) - Sin²(β/2) ≦ 0

下面考慮 θ = α + β 時的情況，有：
Sin²(θ/2) = Sin²(α/2 + β/2)
= [Sin(α/2)Cos(β/2) + Cos(α/2)Sin(β/2)]²
= Sin²(α/2)Cos²(β/2) + 2Sin(α/2)Cos(α/2)Sin(β/2)Cos(β/2) + Cos²(α/2)Sin²(β/2)

故：
Sin²(θ/2) - Sin²(α/2) - Sin²(β/2)
= 2Sin(α/2)Cos(α/2)Sin(β/2)Cos(β/2) - 2Sin²(α/2)Sin²(β/2)
= 2Sin(α/2)Sin(β/2)[Cos(α/2)Cos(β/2) - Sin(α/2)Sin(β/2)]
= 2Sin(α/2)Sin(β/2)Cos(α/2 + β/2)

由于 Sin(α/2)Sin(β/2) >0 ，所以要滿足 Sin²(θ/2) - Sin²(α/2) - Sin²(β/2) ≦ 0，則必須 Cos(α/2 + β/2) ≦ 0 ，也就是說 α/2 + β/2 必須大于 90度。顯然，在 α 和 β 均小于90度的情況下，這個條件是不滿足的，也就是說此時貝爾不等式不成立。

我們來分析一下這表示什么：

貝爾不等式是基于愛因斯坦“定域性和實(shí)在性都必須滿足”的前提推導(dǎo)出來的，就是說只要物理世界是定域且實(shí)在的，貝爾不等式就不可能被突破。假如貝爾不等式被突破，說明要么玻爾否認(rèn)實(shí)在性的解釋是對的，要么就是電子間存在突破定域性限制的通信，使它們能在測量瞬間出現(xiàn)某種協(xié)作，從而影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

至此，終于找到了愛玻之爭的“關(guān)鍵場數(shù)”：將a、b隨機(jī)在x、y、z三個方向上變化，x、y、z之間選擇依據(jù)量子理論推導(dǎo)出來的不支持貝爾不等式的夾角，測量大量糾纏電子對的自旋方向，看統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是否突破貝爾不等式的限制，如果不突破，則支持愛因斯坦的觀點(diǎn)，否則，傾向于支持玻爾的觀點(diǎn)。

三、實(shí)驗(yàn)結(jié)果的判決

有了貝爾不等式，物理學(xué)家們開始著手設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)來進(jìn)行驗(yàn)證。

• 二十世紀(jì)70年代，人們在伯克利、哈佛和德州大學(xué)進(jìn)行了一系列實(shí)驗(yàn)。由于糾纏電子的產(chǎn)生、傳送與測量都很困難，因此用光子代替電子，用光子的偏振代替電子的自旋，用偏振器測量光子的偏振。由于技術(shù)限制，實(shí)驗(yàn)只能產(chǎn)生很弱的光信號，并且只能測得單一的“+”，而不是“+”和“-”。出乎貝爾的意料，實(shí)驗(yàn)結(jié)果似乎指向愛因斯坦是錯的。
• 二十世紀(jì)80年代，激光技術(shù)的進(jìn)步使得人們可以進(jìn)行更為精確的實(shí)驗(yàn)。1982年，法國人阿斯派克特使用鈣原子來產(chǎn)生光子對，將偏振器放置在距離光源12米的位置，每10納秒就切換一次偏振器方向。隨著一對對光子的偏振方向被記錄下來，經(jīng)過3個多小時，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的指向非常清晰：與量子理論的預(yù)言完全吻合，而與愛因斯坦的預(yù)測偏離了5個標(biāo)準(zhǔn)方差。
• 1998年，奧地利因斯布魯克大學(xué)的科學(xué)家讓光子飛出相距400米，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與愛因斯坦的預(yù)測存在30個標(biāo)準(zhǔn)方差的偏離。
• 2000年，中國的潘建偉在Nature雜志上報(bào)道，他們的實(shí)驗(yàn)與愛因斯坦的預(yù)測偏離8個標(biāo)準(zhǔn)方差。

這些實(shí)驗(yàn)結(jié)果已足夠判定愛因斯坦所堅(jiān)持的信念沒有得到支持！

四、判決結(jié)果說明了什么

如果實(shí)驗(yàn)不存在缺陷，那么實(shí)驗(yàn)結(jié)果做出的判決讓我們必須接受的事實(shí)是：大多數(shù)人所堅(jiān)信的定域性和實(shí)在性，真實(shí)的物理世界并不需要同時滿足。

對于阿斯派克特的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，物理學(xué)家們先是出奇的沉默，過了很長一段時間才開始發(fā)表自己的看法。大家對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的理解非常不同，有人不敢相信，堅(jiān)持認(rèn)為實(shí)驗(yàn)存在缺陷；有人說“原來上帝真的是在擲骰子”。貝爾雖然認(rèn)可實(shí)驗(yàn)結(jié)果，但拒絕放棄實(shí)在性，他寧愿犧牲定域性也堅(jiān)持認(rèn)為世界是客觀實(shí)在的，“上帝不擲骰子”，他堅(jiān)信量子理論是一個過渡理論，是解釋物理世界的權(quán)宜之計(jì)。

關(guān)于貝爾不等式實(shí)驗(yàn)引發(fā)的討論與思考，網(wǎng)上文章舉不勝舉，有很多寫得很好，這里就不多敘述了。請問你有什么感想呢？歡迎留言討論。

我寫這篇文章的過程，也是對貝爾不等式逐步理解深入的過程。文章成稿后，我才意識到還有個問題必須要解釋清楚，而這個問題，在我看到過的科普文章中都沒有提及。

下一篇《貝爾不等式實(shí)驗(yàn)真的能證明愛因斯坦錯了嗎》再敘。

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