如果要從人類科學(xué)發(fā)展史中選一部開山鼻祖的巔峰巨作，非歐幾里得的《幾何原本》莫屬。自成書兩千多年以來，一直流傳至今，經(jīng)久不衰。它是第一本向人們展示了數(shù)學(xué)推理，歸納演繹的極致著作。它不僅奠定了幾何學(xué)的基礎(chǔ)，也是西方數(shù)學(xué)和哲學(xué)的集大成之作。明朝末期的徐光啟，也是《幾何原本》傳入中國的首位譯者，在評論該書時說：“此書為益能令學(xué)理者祛其浮氣，練其精心；學(xué)事者資其定法，發(fā)其巧思，故舉世無一人不當(dāng)學(xué)?！睈垡蛩固拐J(rèn)為：“如果歐幾里得未激發(fā)你少年時代的科學(xué)熱情，那你肯定不是天才科學(xué)家。”它在人類科學(xué)的發(fā)展史上影響了不計其數(shù)的科學(xué)巨匠，笛卡爾，費馬，高斯等等，甚至牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》都是參照《幾何原本》的格式來寫的。那么，如此光輝巨著在兩千三百多年前是如何誕生的呢？這要從一個傳奇人物說起：畢達(dá)哥拉斯。
畢達(dá)哥拉斯生活在約公元前580年至約公元前500年間，和孔子，老子，釋迦牟尼生活在同一時代。在人類科學(xué)史上，他被認(rèn)為是希臘傳統(tǒng)數(shù)學(xué)和哲學(xué)的創(chuàng)始人。如同孔子創(chuàng)立了儒教，釋迦牟尼創(chuàng)立了佛教，畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)立了畢達(dá)哥拉斯派。該派教義眾多，其中根本性的一條便是：宇宙萬物都是由整數(shù)統(tǒng)治的。這條教義在今天看來，顯得有點離譜。但在兩千五百年前的時代無疑是非常先進(jìn)的。該派對數(shù)學(xué)領(lǐng)域貢獻(xiàn)眾多，比如提出了完全數(shù)，質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念，而最著名的是畢達(dá)哥拉斯定理： a2+ b2 = c2，在中國的教科書上稱之為“勾股定理”，出自《周髀算經(jīng)》。
有了畢達(dá)哥拉斯定理，問題就來了。如果直角三角形兩個直角邊的長度都為1，則斜邊的長度的平方等于2。是一個什么樣的數(shù)滿足其平方等于2？很顯然不是一個整數(shù)。后來有人證明也不是一個成比例的分?jǐn)?shù)，那它會是一個什么樣的數(shù)?，F(xiàn)在我們都知道它是一個無理數(shù)，而那個時代的人確無法用語言描述。傳說第一個發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的人叫斯帕索斯，是畢達(dá)哥拉斯派的一員，被沉入大海中溺亡，因為他的發(fā)現(xiàn)違反了畢達(dá)哥拉斯派的教義：宇宙萬物都是由整數(shù)統(tǒng)治的。似乎數(shù)學(xué)領(lǐng)域的每一次擴(kuò)充都伴隨著一場紛爭，從無到零的出現(xiàn)， 從整數(shù)到負(fù)數(shù)，從有理數(shù)到無理數(shù)，從實數(shù)到虛數(shù)，從復(fù)數(shù)到漢密爾頓的四元數(shù)都無一例外。但不可否認(rèn)的是，每一次對數(shù)域的擴(kuò)充，都使得人類對宇宙的認(rèn)識更近了一步。
畢達(dá)哥拉斯派對古希臘的數(shù)學(xué)研究影響巨大，因為教義的狹隘性，使得古希臘人對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究小心翼翼，就連三四百年后的阿基米德在論證或描述定理時都會優(yōu)先考慮選用幾何方式，而不是數(shù)學(xué)公式。也正是如此，幾何圖形成了古希臘數(shù)學(xué)家們的主要研究對象。自畢達(dá)哥拉斯派之后，古希臘經(jīng)歷了柏拉圖和亞里斯多德時代，柏拉圖學(xué)園和亞里士多德學(xué)園的創(chuàng)建，使得古希臘的雅典成為了地中海文明的中心，這一時期也是古希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的黃金時代。柏拉圖崇尚數(shù)學(xué)，其學(xué)園門口立牌寫明：不懂幾何者，不得入內(nèi)。亞里士多德是柏拉圖的學(xué)生，在數(shù)學(xué)和哲學(xué)上都是大師。他所創(chuàng)立的形式邏輯，給數(shù)學(xué)的系統(tǒng)化和公理化提供了理論和方法基礎(chǔ)。到了公元前4世紀(jì)，希臘幾何學(xué)已經(jīng)積累了大量的知識，邏輯學(xué)理論漸臻成熟，公理化和系統(tǒng)化更是大勢所趨。這時，形成一個嚴(yán)整的幾何結(jié)構(gòu)已是“山雨欲來風(fēng)滿樓”了。而歐幾里得和他的《幾何原本》就在這樣的時代背景之下應(yīng)運而生。
雖然歐幾里得的《幾何原本》流傳至今，但關(guān)于他本人的生平事跡我們卻知之甚少，只能從后人的筆記中知曉一二。其中有兩則小故事廣泛流傳。一則說的是一個學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)第一個命題，就問歐幾里得學(xué)了幾何之后將得到些什么。歐幾里得對身邊的侍從說：“給他三個錢幣，因為他想在學(xué)習(xí)中獲取實利?！绷硪粍t說的是一位國王問歐幾里得，除了他的《幾何原本》之外，還有沒有其他學(xué)習(xí)幾何的捷徑。歐幾里得回答道："There is no royal road to geometry."，這一回答也成了西方傳誦的名言。
《幾何原本》和中國的淵源比較坎坷。第一位中文翻譯是明朝末期的徐光啟，他和一位意大利的傳教士合作，底本是拉丁文版本。于1606年翻譯完前六卷之后，徐光啟的父親突然病逝，因而不得不臨時擱置。這一擱就是三年。三年之后當(dāng)他再回北京找和他合作的傳教士時，傳教士已經(jīng)不在人世了。加上當(dāng)時朝廷在西方傳教文化上有所抵制，使得徐光啟不得不放棄后面章節(jié)的翻譯工作。而就因為這個意外，使《幾何原本》后面章節(jié)的翻譯推遲了250年，直到1856年由清代數(shù)學(xué)家李善蘭和一位英國人合作完成。
《幾何原本》全書十三卷，內(nèi)容涵蓋了初等平面幾何，立體幾何和部分?jǐn)?shù)論。其通篇以23個定義和五條公設(shè)為基礎(chǔ)，進(jìn)行歸納演繹和推理，是一部結(jié)構(gòu)完整，邏輯嚴(yán)謹(jǐn) ，思維縝密的極致著作。其中五條公設(shè)的內(nèi)容為：
1.過兩點能作且只能作一直線；
2.線段可以無限地延長；
3.以任一點為圓心,任意長為半徑,可作一圓；
4.凡是直角都相等；
5.同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側(cè)的兩個內(nèi)角之和小于180°，則這兩條直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)一定相交。
五條公設(shè)中，前四條都簡單明了，第五條稍顯復(fù)雜，它的另一個表述為：通過已知直線外一已知點，能且僅能作一條直線與已知直線平行?；蚱浞疵嫱普摓椋簝蓷l平行直線永不相交。這一公理后人稱之為第五公設(shè)或平行公設(shè)。許多數(shù)學(xué)家都認(rèn)為平行公設(shè)本身是成立的，但還沒到公理，不證自明的程度。因而第五公設(shè)被看作是無懈可擊的歐幾里得公理體系中的白璧微瑕。所以歷史上眾多數(shù)學(xué)家挺身而出，要用歐幾里得的其它幾條公理證明第五公設(shè)。然而，無一例外，他們都以失敗告終。我想歐幾里得之所以將其納入公設(shè)的范疇，是因為他非常清楚這條定理是無法直接證明的。而這一現(xiàn)象一直持續(xù)了兩千多年，直到19世紀(jì)中期，人們在探索和證明第五公設(shè)的道路上，發(fā)現(xiàn)了新大陸，即一個全新的幾何體系的誕生。
初中剛接觸平面幾何的時候我也曾對第五公設(shè)產(chǎn)生過疑問，兩條平行線真的是永不相交嗎？現(xiàn)在我們知道，在黎曼幾何中，兩條平行線在曲率為1的平面上會在兩端相交。同樣，在曲率非零的平面上兩點之間最短的距離也并非直線，三角形的三角之和也不等于180°，等等這些看似有悖于我們常識的新發(fā)現(xiàn)，都要歸功于歐幾里得兩千多年前為我們埋下的一個伏筆。
非歐幾何的誕生在數(shù)學(xué)史上是一個非常有意思的過程。參與人數(shù)眾多，比較出名的有“數(shù)學(xué)王子”高斯，高斯學(xué)生時代的好友波爾約，波爾約的兒子亞諾什.波爾約，高斯的學(xué)生黎曼，以及俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基。整個過程中高斯扮演了非常重要的角色，他是第一個發(fā)現(xiàn)非歐幾何的人，但卻沒有公之于眾。導(dǎo)致了他后來在處理其他人在非歐幾何領(lǐng)域的發(fā)現(xiàn)時做出了一些有失偏駁的事，影響了非歐幾何的進(jìn)展。這也是高斯數(shù)學(xué)生涯中少有的敗筆。
?最后，值得一提的是，如果沒有非歐幾何，愛因斯坦就無法推演出廣義相對論。
