時(shí)間序列

簡(jiǎn)而言之，時(shí)間序列就是帶時(shí)間戳的數(shù)值序列。股票，期貨等金融數(shù)據(jù)就是典型的時(shí)間序列。量化的過(guò)程，很多時(shí)間都是在分析時(shí)間序列，找到穩(wěn)定賺錢因子。

平穩(wěn)性定義

所謂時(shí)間序列的平穩(wěn)性，是指時(shí)間序列的均值，方差以及協(xié)方差都是常數(shù)，與時(shí)間t無(wú)關(guān)。這樣的序列才可以作為我們基于歷史預(yù)測(cè)未來(lái)的基礎(chǔ)。
滿足以上條件屬于嚴(yán)平穩(wěn)，一般達(dá)到弱平穩(wěn)都是可以接受的。

平穩(wěn)性是當(dāng)前時(shí)間序列分析的前提條件，因?yàn)槲覀兊慕＿^(guò)程基本都是以大數(shù)定理和中心極限定理為理論基礎(chǔ)（比如ARMA，ARIMA模型等），而大數(shù)定理和中心極限定理也是有前提條件的，那就是要求樣本同分布（等價(jià)于時(shí)間序列的平穩(wěn)性）。如果這個(gè)條件不滿足，那么我們的很多分析結(jié)果是不可靠的。

1. 白噪聲屬于平穩(wěn)序列，因?yàn)樗木禐?，方差為常數(shù)，協(xié)方差為0。但白噪聲屬于純隨機(jī)序列，基于它預(yù)測(cè)是沒有意義的。
2. 隨機(jī)游走屬于非平穩(wěn)序列，因?yàn)樗木禐槌?shù)，但是方差為非常數(shù)，與時(shí)間t有關(guān)。

平穩(wěn)性檢驗(yàn)

對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列，我們?nèi)绾翁幚砟兀?br> 1 檢驗(yàn)序列是否平穩(wěn)性序列
2 如果序列非平穩(wěn)，通過(guò)數(shù)學(xué)變換為平穩(wěn)性序列
3 檢驗(yàn)序列是否白噪聲
4 下一步

平穩(wěn)性檢驗(yàn)常用方法有ADF檢驗(yàn)和KPSS檢驗(yàn)。

平穩(wěn)性檢驗(yàn)-ADF Test

ADF Test：Augmented Dickey-Fuller Test
首先假設(shè)時(shí)間序列是不穩(wěn)定的，根據(jù)假設(shè)求得的置信度P值如果小于閾值（一般為1%），那么我們認(rèn)為假設(shè)不成立，時(shí)間序列是穩(wěn)定的；反之，假設(shè)成立。
Python和R都有相應(yīng)平穩(wěn)性檢驗(yàn)的模塊。
Python需安裝statsmodels模塊。
R需安裝tseries模塊。
這里以Python為例：

#python
import numpy as np
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
ss = np.random.randn(10000)
adfuller(ss)

#(-100.04436307924058,
#  0.0, ##(P Value)
#  0, 
#  9999,
#  {'1%': -3.4310041633725734,
#    '10%': -2.566923883481157,
#    '5%': -2.861829101294412},
#  28143.20974307366)

檢驗(yàn)結(jié)果的第二項(xiàng)為P值，這里為0.0%，遠(yuǎn)低于閾值1%，因?yàn)槲覀儥z驗(yàn)的是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正太分布，因此假設(shè)肯定是不成立的，我們的序列為穩(wěn)定性時(shí)間序列。

平穩(wěn)性檢驗(yàn)-KPSS Test

KPSS Test：Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin Test
首先假設(shè)序列是平穩(wěn)的，根據(jù)假設(shè)求得的P值如果小于閾值（一般為5%），那么假設(shè)不成立；反之，假設(shè)成立。仍以Python為例：

#python
import numpy as np
from statsmodels.tsa.stattools import kpss
ss = np.random.randn(10000)
kpss(ss)

# (0.09407968315491025,
#   0.1, ##(P Value)
#   38,
# {'1%': 0.739, '10%': 0.347, '2.5%': 0.574, '5%': 0.463})

檢驗(yàn)結(jié)果的第二項(xiàng)為P值，這里為10%，遠(yuǎn)高于閾值5%，因此假設(shè)是成立的，我們的序列為穩(wěn)定性時(shí)間序列。

白噪聲檢驗(yàn)-Ljung-Box Test

首先假設(shè)序列為白噪聲，根據(jù)假設(shè)求得的P值如果小于閾值（一般為5%），那么假設(shè)不成立；反之，假設(shè)成立。仍以Python為例：

#python
import numpy as np
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox as ljbox
ss = np.random.randn(10000)
ljbox(ss, lags=1)

#  (array([0.00307541]), 
#  array([0.95577487]))  ##P-Value

檢驗(yàn)結(jié)果的第二項(xiàng)為P值，這里為95.57%，遠(yuǎn)高于閾值5%，因此假設(shè)是成立的，我們的序列為白噪聲序列（實(shí)際是隨機(jī)序列）。

峰度 - Kurtosis

峰度表征統(tǒng)計(jì)分布在平均值處峰值高低的度量，反應(yīng)了峰部的尖度。
峰度按數(shù)值包括三類：

1. 正態(tài)分布（Kurtosis = 0）
2. 厚尾分布（Kurtosis > 0）
3. 瘦尾分布（Kurtosis < 0）
   金融時(shí)間序列一般都是厚尾分布。
   Python峰度計(jì)算采用scipy模塊，R峰度計(jì)算采用moments模塊。
   這里需要說(shuō)明的是：Python峰度計(jì)算是以0為中間值，R中峰度計(jì)算是以3位中間值（R峰度計(jì)算過(guò)程中沒有減3的操作）。
   以Python為例：

#python
import numpy as np
from scipy.stats import kurtosis
ss = np.random.randn(10000)
kurtosis(ss)

# -0.045421184138716875

偏度 - Skewness

偏度表征統(tǒng)計(jì)分布偏斜方向和程度的度量，是統(tǒng)計(jì)分布非對(duì)稱程度的數(shù)字特征。
偏度按數(shù)值包括三類：

1. 正態(tài)分布（skew = 0)
2. 左偏分布（skew < 0），峰在左邊。
3. 右偏分布（skew > 0），峰在右邊。
   以Python為例：

#python
import numpy as np
from scipy.stats import skew
ss = np.random.randn(10000)
skew(ss)

# -0.0071660377825474705 

非平穩(wěn)變換

非平穩(wěn)的序列如何變換成平穩(wěn)系列呢？
一般有如下幾種方法：

1. 對(duì)數(shù)變換
2. 平滑變換（移動(dòng)平均，指數(shù)平均等）
3. 差分變換（一階差分，二階差分，高階差分等）
4. 分解變換（多成分分解 = 長(zhǎng)期趨勢(shì) + 中期趨勢(shì) + 隨機(jī)）

這里就不展開了。