t檢驗

一、t檢驗適用場景

  • 依據(jù)中心極限定理，當樣本量n足夠大時，無論總體分布形態(tài)如何，樣本均值\overline{\text{x}}都服從正態(tài)分布N(μ，δ2/n)。其中，μ為總體的均值，δ為總體的標準差，n為樣本量。此時，統(tǒng)計量\frac {(\overline{\text{x}}-μ)} {δ/\sqrt{n}}服從標準正態(tài)分布。如果總體的標準差δ不知道，可以利用樣本的標準差S代替，因為樣本數(shù)量較大時，總體的標準差和樣本的標準差近似。
  • 而當樣本數(shù)量較少時，總體的標準差和樣本的標準差相差較大，此時，中心極限定理不在適用。而統(tǒng)計學(xué)家發(fā)現(xiàn)，在總體服從正態(tài)分布的情況下，統(tǒng)計量\frac {(\overline{\text{x}}-μ)} {S/\sqrt{n}}服從t分布。t分布與標準正態(tài)分布如下圖所示，當樣本數(shù)量n較大時，t分布接近標準正態(tài)分布；而當樣本數(shù)量n較少時，相比與標準正態(tài)分布，t分布兩側(cè)尾部面積增加。
  • 因此，t檢驗適用于樣本量較小時的檢驗。且樣本量n通過兩種方式影響p值。
    1）n增加時，由于分母減小，t檢驗統(tǒng)計量趨向增加。
    2）n增加時，t分布兩側(cè)尾部面積減小，同樣的t值對應(yīng)的p值會減小
    不同自由度的t分布與標準正態(tài)分布

二、t檢驗的三種類型

  • 單樣本t檢驗
    用于檢驗樣本均值與某一個標準值μ0的差別。
  • 成對樣本t檢驗
    用于檢驗一組樣品在某種試驗條件前后樣本均值是否有差別。比如對一組老鼠施加某種藥劑后，生理指標是否有變化。成對樣本t檢驗可以轉(zhuǎn)換為單樣本t檢驗：將樣本中每個對象施加條件前后的數(shù)據(jù)相減，作為一個樣本數(shù)據(jù)，從而檢驗新的樣本數(shù)據(jù)均值是否為0。
  • 獨立樣本t檢驗
    用于檢驗兩組獨立樣本，均值是否有差別。這兩組樣本的數(shù)量可能不同。
    依據(jù)兩組樣本的均值是否相等，可以分為方差相等的獨立樣本t檢驗和方差不等的獨立樣本t檢驗。判斷兩個樣本方差是否相等，可以利用Levene 氏檢驗，這個檢驗原假設(shè)時兩個樣本方差相等，很多統(tǒng)計學(xué)軟件（如spss）會給出這個檢驗的p值，如果p值小于0.05，可以拒絕原假設(shè)，認為方差不等。

三、t檢驗的注意事項

  • 1）t檢驗只能檢驗最多兩組樣本的均值的差別。（超過兩組，需要用方差分析）
  • 2）由于是檢驗均值的差別，因此，t檢驗適用于離散型變量的數(shù)據(jù)檢驗，只能用于連續(xù)性變量的數(shù)據(jù)檢驗。
  • 3）在樣本量較小時，t檢驗不能用于總體不服從正態(tài)分布的假設(shè)檢驗。
  • 4）顯著性的差異不等同于差異的顯著性。
    例如，目標是比較兩組樣本均值是否有差別。如果分別利用兩次獨立樣本t檢驗比較各組樣本是否與標準值有差別，發(fā)現(xiàn)一組顯著，另一組不顯著，則不能說明兩組樣本均值差異一定有顯著性。必須使用直接服從目標檢驗的統(tǒng)計量進行假設(shè)檢驗（這里必須使用獨立樣本t檢驗方法）。
  • 5）樣本組內(nèi)數(shù)據(jù)點之間必須是獨立的。
    如果不獨立，那么假設(shè)檢驗的結(jié)果是更傾向于顯著性結(jié)果，從而更容易犯第一類錯誤。
    解決樣本不獨立的問題，可以對嵌套結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)，每一層數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)平均，作為一個樣本點；也可以使用多層模型（ multilevel models，又稱分層模型 hierarchical models )。這是一類專門為具有嵌套關(guān)系的數(shù)據(jù)發(fā)展出來的統(tǒng)計學(xué)方法，能夠把數(shù)據(jù)收集過程中的不同層次、不同單元考慮進來，而不需要提前取平均，避免了前一種方法損失效能的問題。

四、多大樣本算是大樣本及數(shù)據(jù)正態(tài)性的檢驗

t檢驗正態(tài)性的要求時針對抽樣分布而言的。依據(jù)中心極限定理，大樣本下，抽樣分布一定是正態(tài)分布，無論總體是否正態(tài)分布。但多大樣本才算大樣本？這取決于總體與正態(tài)分布相似的程度，總體越趨近正態(tài)分布的形態(tài)，抽樣分布隨著樣本量的增加趨近正態(tài)分布的速度就越快。研究表明，大多數(shù)抽樣分布在樣本量大于15時，已經(jīng)比較少的趨近正態(tài)分布了，這也是一些教科書上會說樣本量大于15時，可以使用t檢驗了。
如果樣本量比較少，此時我們需要對數(shù)據(jù)進行正態(tài)性的檢驗，主要方法有以下三種：

  • 頻率直方圖
    觀察樣本的頻率直方圖是否符合正態(tài)分布。
  • Q-Q圖
    q-q圖是比較樣本的n分位數(shù)與正態(tài)分布的n分位數(shù)是否呈線性關(guān)系，如果qq圖為一條直線，表明樣本服從正態(tài)分布。此外，q-q圖可以比較樣本是否服從某種已知分布，或者兩組樣本是否來自同一分布。
  • 夏皮羅－威爾克檢驗（Shapiro-Wilk test）和科爾莫戈羅夫－斯米爾諾夫檢驗（Kolmogorov-Smirnov test）。
    這些檢驗的原假設(shè)是數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布，當 p 值足夠小時拒絕原假設(shè)，認為數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布。使用這些檢驗的時候要注意，當樣本足夠大時，只要數(shù)據(jù)稍有一點偏離正態(tài)分布，p 值就總能小于 0.05，因而檢驗的結(jié)果總是傾向于顯示數(shù)據(jù)為非正態(tài)分布。也就是說，如果我們的樣本足夠大，即使夏皮羅－威爾克檢驗或科爾莫戈羅夫－斯米爾諾夫檢驗給出小于 0.05 的 p 值，數(shù)據(jù)來自的總體仍可能是服從正態(tài)分布的。

五、數(shù)據(jù)非正態(tài)的處理方法

  • 1）數(shù)據(jù)變換
    對于右偏的分布，可以利用遞增速率減緩的函數(shù)來進行數(shù)據(jù)變換，比如log(x)，\sqrt{x}等。對于左偏的分布，可以利用遞增速率增加的函數(shù)來進行數(shù)據(jù)變換，比如ex,x3等。
    （1）Box-Cox變換
    該變換是依據(jù)數(shù)據(jù)自動尋找最佳變換函數(shù)的方法，變換公式如下：
    y(\lambda )=\left\{\begin{matrix} \frac{y_{i}^{\lambda }-1}{\lambda },如果\lambda \neq 0；\\ ln(y_{i}),如果\lambda =0\end{matrix}\right.
    由公式可知，需要確定最佳的λ。對于每個數(shù)據(jù)，經(jīng)過上述公式變換后，如果變換后數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，則可以確定出正態(tài)分布的均值和標準差，進而確定每個變換后數(shù)據(jù)的概率密度，然后應(yīng)用極大似然估計方法來求解出λ。
    （2）數(shù)據(jù)變換的局限性
    第1，數(shù)據(jù)變換不能解決所有的非正態(tài)問題，比如對于離散型變量的分布，有多個峰的分布，數(shù)據(jù)變換無法將它們變成正態(tài)分布；第2，數(shù)據(jù)變換后，t檢驗的意義會發(fā)生變換，對于一些復(fù)雜變換，在數(shù)據(jù)解釋方面存在不足。
  • 2）非參數(shù)檢驗

非參數(shù)檢驗適用于數(shù)據(jù)總體不服從正態(tài)分布的情況，包括以下兩種：
單樣本 t 檢驗和成對樣本的 t 檢驗對應(yīng)于威爾科克森符號秩檢驗，以下簡稱符號秩檢驗；
獨立樣本的 t 檢驗對應(yīng)于曼-惠特尼 U 檢驗（也叫做曼-惠特尼秩和檢驗），下面簡稱秩和檢驗。

（1）秩和檢驗的優(yōu)點：
不要求總體服從正態(tài)分布；
離散型定序變量也適用；不受個別樣本極端值的影響。
（2）秩和檢驗的缺點：
相比與t檢驗，統(tǒng)計功效很低；
t檢驗直接比較的是兩個樣本的均值是否一致，有著直觀的解釋，而秩和檢驗比較的是一組數(shù)據(jù)大于另外一組數(shù)據(jù)的概率是不是大于0.5，只有當被比較的兩組數(shù)據(jù)的分布形狀完全一樣而只是差一個平移的情況下，秩和檢驗才能等價于檢驗兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是否相等。因此，相比于t檢驗，秩和檢驗的解釋更加模糊。

六、t檢驗中效應(yīng)量的估計

  • 1）點估計
    p值大小與效應(yīng)量、樣本量有關(guān)，當樣本量很大時，即使很小的效應(yīng)量，p也會達到顯著水平。因此，當t檢驗顯著時，還需要計算效應(yīng)量的大小。
    單樣本t檢驗常用的估計指標是Cohen 氏 d 值：
    d=\frac{\mu -\mu _{0}}{\sigma }
    其中，μ為總體均值，σ為總體標準差，μ0為標準值。總體的參數(shù)可以用樣本參數(shù)代替。
    由于考慮了σ，因此d值可以將來自不同數(shù)據(jù)若干t檢驗的效應(yīng)量放到同一個尺度上進行比較。
    Jacob Cohen 曾經(jīng)提出過一條經(jīng)驗準則，把 d 值為 0.2，0.5 和 0.8 的效應(yīng)分別稱為小、中、大效應(yīng)。這只是粗略的劃分，也沒有考慮到不同學(xué)科之間的差異，因此只能作為一種參考。
    此外，成對樣本t檢驗常用的d值：
    d=\frac{\mu_{x} -\mu _{y}}{\sqrt{\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}-2\rho _{xy}\sigma_{x}\sigma_{y}}}
    獨立樣本t檢驗的d值：
    d=\frac{\mu_{x} -\mu _{y}}{\sqrt{(\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2})/2}}
  • 2）區(qū)間估計
    在一定置信水平下構(gòu)建效應(yīng)量估計的置信區(qū)間，可以更清晰的得知，效應(yīng)量估計的不確定度和估計誤差。
?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者
【社區(qū)內(nèi)容提示】社區(qū)部分內(nèi)容疑似由AI輔助生成，瀏覽時請結(jié)合常識與多方信息審慎甄別。
平臺聲明：文章內(nèi)容（如有圖片或視頻亦包括在內(nèi)）由作者上傳并發(fā)布，文章內(nèi)容僅代表作者本人觀點，簡書系信息發(fā)布平臺，僅提供信息存儲服務(wù)。

相關(guān)閱讀更多精彩內(nèi)容

友情鏈接更多精彩內(nèi)容