今天我匯報的主要內容是這篇文獻當中所介紹的三格點ssh模型的體邊對應關系。主要分為兩部分，第一部分介紹該模型所具有的點手性對稱性，第二部分即體邊對應關系。
Ssh3模型如圖所示，每個原胞內有三個格點A、B、C，格點間的跳躍強度分別為u、v，原胞間的跳躍強度為w。關于經典的ssh模型之前有很多同學已經介紹過，這里直接給出動量空間下ssh3模型的哈密頓量，右圖是色散關系，參數(shù)取值如圖u=1.5，v=0.5，w=1.0.
一、若存在幺正算符作用在H上變?yōu)?H，我們就說該系統(tǒng)的哈密頓量具有手性對稱性。手性對稱性要求能譜是對稱的，如果有一個能量為En的本征態(tài)phi n；那么gama phi n也是H的本征態(tài)，能量為-En。所以，ssh3 模型并不存在手性對稱性。雖然ssh3模型并不存在手性對稱性，但是我們可以從另一個角度看待這個模型，如果將ssh3模型的兩個相鄰原胞組合在一起，即構成ssh6模型，ssh6模型具有手性對稱性，手性算符gama長這個樣子。作為ssh6的子系統(tǒng)，應該繼承ssh6的一些屬性，即ssh3模型在k=pi/2點處具有點手性對稱性，能譜關于（pi/2，0）這個點是中心對稱的，對于左半部分也是一樣的。用公式表示即如下的形式，gama p H gama p dagger 等于 -H（pi+k）。點手性對稱性將導致結果：本征態(tài)總是成對出現(xiàn)，能量相反，并且對應的本征態(tài)可以通過點手性算符作用得到。并且本征態(tài)在奇數(shù)和偶數(shù)格點上有相同的概率幅。右圖繪制了w等于3時的四個邊緣態(tài)的概率幅。紅色代表A格點，綠色代表B格點，藍色代表C格點，可以看到在奇數(shù)和偶數(shù)位置的概率幅相同。
（問問題）
二、接下來，我們介紹文章中給出的體邊對應關系。先介紹一下整體的思路，首先構造體態(tài)解并從中提取體拓撲數(shù)，然后在開邊界久期方程中帶入周期性解條件，得到體態(tài)解。將其與先前的體態(tài)解條件對比，得到體態(tài)解的數(shù)目，缺失的態(tài)即為邊緣態(tài)。對比拓撲數(shù)與邊緣態(tài)的數(shù)目，在相同的躍遷參數(shù)下一一對應。 最后繪制出相邊界。
1、從體態(tài)中提取的拓撲數(shù)定義為歸一化子格zak phase。在無限長的鏈中，由于平移對稱性，可以取bloch波形式的解，小寫的拉姆達是能帶指標，大寫的lamda為歸一化因子，exp為平面波，n原胞數(shù), A\B\C為不同格點上的展開系數(shù)，為了方便計算，將第三個格點的相位取作0。通過施加邊界條件a、b，可以在周期鏈中取開邊界的鏈。邊界條件a可以通過周期性解疊加得到，這里用到了時間反演對稱性對theta 和 lamda的要求，將疊加后的態(tài)進行化簡。容易驗證，時間反演算符sigma 0 k，時間反演態(tài)phi star -k滿足相同的薛定諤方程，具有相同形式的解，要求a為偶函數(shù)，theta為奇函數(shù)。邊界條件b要求theta a具有特定的取值。也就是說周期性解的數(shù)量由theta中n lamda取值個數(shù)決定。既然體態(tài)解的個數(shù)隱藏在theta中，我們自然的想將這一信息提取，定義為規(guī)一化子晶格ZAK phase，作為體拓撲數(shù)。Pa為子格A的投影算符，第二個等號用到了時間反演對稱性要求的theta為奇函數(shù)，化簡到半布里淵區(qū)。
（問問題）
2、Theta除了滿足上述條件之外，還應受到跳躍參數(shù) u、v、w的制約。我們通過求解開邊界哈密頓量中加入周期解的條件得到相應的解。首先，我們通過定義一個記號，將久期方程化簡為一組方程，這有利于后面使用遞推公式。X1：3大N代表3Nx3N完整的鏈的行列式。n代表原胞數(shù)，i代表原胞內的格點數(shù)。將2、3式帶入一式中，得到只關于xn1的方程式。然后將周期邊界條件帶入，得到4式。再做兩步變量代換，得到5式，其具有第二類切比雪夫多項式的形式，。第二類切比雪夫多項式具有如下的遞推關系，容易驗證Un cosx = sin n+1 x 除sinx。同樣的w遞推關系式也具有這種形式，x替換為cosk。久期方程即Un+a lamdaU n-1=0?；喼蟮玫接商S參數(shù)決定的體態(tài)解條件。
（問問題）
3將兩個條件對比，我們取theta = phi。現(xiàn)在我們可以求由特定的跳躍參數(shù)強度決定的體拓撲數(shù) NS ZAK phase。這里以兩個不同能帶、不同參數(shù)的情形為例，畫出theta在半布里淵區(qū)的曲線，與文章所給表格結果一致。Lamda代表能帶，Z ref在不取其他規(guī)范下可以認為是0，它的值是在a、b均大于1時的任意能帶的NS ZAK phase值，可以看到其值都為0，這里引入Z ref是為了讓我們的體拓撲數(shù)成為一個規(guī)范不變量。
4、接下來我們計算邊緣態(tài)，這里以lamda=1 N=10為例。我們將兩組條件在半布里淵區(qū)繪制出來，交點即為體態(tài)解，若等于N，全為體態(tài)，若少于N，少的個數(shù)即為邊緣態(tài)。除去兩個端點，因為k=0 or pi時，波函數(shù)為0。當a、b都大于1時，交點剛好是10個；當a、b都小于1時，交點為8個。這與體拓撲數(shù)NS ZAK phase除上pi 一一對應。我們也繪制了不同跳躍參數(shù)下，開邊界的能譜。可以看到右圖，在a、b均小于1時，中間帶存在兩個邊緣態(tài)。（問問題）
5、最后，我們繪制出相邊界。第一個是因為缺失的體態(tài)總是在邊緣處，曲線應滿足的斜率條件，左圖繪制了中帶和頂帶分別在N=2，10，1000時的相變曲線圖，分別是藍色、紅色和綠色。 第二個是參數(shù)空間中分隔不同NS ZAK phase的值由這個方程決定。右圖繪制了不同參數(shù)時，低于零能量的邊緣態(tài)數(shù)目，即先前表格中所給的結果?？梢钥吹皆贜比較大的時候，二者邊界一致，從而進一步驗證了體邊對應關系。
