今天我主要匯報前段時間學習的一些基礎(chǔ)知識，主要分為兩個部分：一、通過ssh模型了解拓撲絕緣體的一些基本概念。二、berry phase應(yīng)用。關(guān)于berry phase，我想后續(xù)學習更多的例子之后再做一個匯報，這里著重于兩個簡單的應(yīng)用（ZAK phase 和 現(xiàn)代極化理論）。我主要參考兩本教材：一、《A Short Course on Topological Insulators》（1-3） 二、《Berry Phase in Electronic Structure Theory》（1-4）
Ssh 模型，我這里分了四個部分：體態(tài)和邊緣態(tài)的求解、手征對稱性保護的拓撲不變量以及一維存在反演對稱性時的ZAK phase，和圈繞數(shù)橫向?qū)Ρ取?br>
Ssh模型，描述了不考慮相互作用和自旋的電子，在一維晶格上的運動。該鏈由N個單元格組成，每個單元格由兩個位置A和B，電子具有交錯的跳躍振幅v和w，并且只能在最近鄰的位置之間跳躍。所以每個電子的運動可以由下面的單粒子哈密頓量描述：m單元格中A跳躍到B，m單元格中的B跳躍到m+1處的A，以及它們的共軛項。這里將哈密頓量表示成外部和內(nèi)部直積的形式，其中內(nèi)部是2維的希爾伯特空間，可以類比量子力學課程引入自旋后的旋量波函數(shù)。取N=4，哈密頓量可以寫成下面的矩陣形式，對角線兩側(cè)跳躍振幅交替分布。（在這種哈密頓的矩陣形式中，對角項代表on-site能量，非對角項代表不同格點之間的hopping）
一、體態(tài)：
當N趨于無窮大的時候，邊界對于體態(tài)的影響可以忽略，此時我們?nèi)≈芷谛赃吔鐥l件，當電子從最后一個位置跳躍，會回到最初的位置，形成一個圓環(huán)。相應(yīng)的哈密頓量的矩陣形式在對角位置多了一個w參數(shù)。 為了方便求解E-K關(guān)系，我們變換到動量表象進行求解。兩個表象之間相差一個傅里葉變換，前面的系數(shù)為箱歸一化因子，這里為了方便起見，將單元格之間的距離a取作1。L=Na=N。利用表象變換關(guān)系式以及歸一化條件，可以將哈密頓量變換到動量表象下，即下面的形式。相應(yīng)的可以寫出動量表象下的能量本征方程。由于離散的平移不變性，布洛赫定理適應(yīng)，我們?nèi)∑矫娌ㄐ问降慕?，對外部自由度取平面波基矢，而?nèi)部自由度用兩個基矢做展開，a、b為展開系數(shù)，即周期性調(diào)幅的平面波。把哈密頓量和波函數(shù)都帶入本征方程，化簡可得一個只跟內(nèi)部自由度有關(guān)的方程。
解久期方程，可得E-K關(guān)系。下圖是取不同的跳躍振幅時，繪制一個布里淵區(qū)內(nèi)的E-K關(guān)系曲線。先看兩種極端情況，v=0 or w=0,此時電子只能在局域在某個單元格內(nèi)部，從圖像也能得出群速度為零，此時電子不能在鏈上移動。當v=w的時候，能隙閉合，此時ssh模型描述的是導體，只要很小的能量，電子就可以在鏈上傳播。
對于剩下的兩種絕緣體的情形，我們可以用圈繞數(shù)進行區(qū)分。對于兩能級系統(tǒng)，哈密頓量可以用泡利算符展開，對角線為0，dz分量為零。對應(yīng)不同的跳躍振幅，在x-y平面畫出dk的曲線，由于周期性，當k值取遍第一B區(qū)時，dk的曲線應(yīng)是一條封閉的曲線，這里是x-y平面的圓?？梢钥吹?，對于兩種絕緣體的情形，dk曲線環(huán)繞原點的次數(shù)不同，可以作為區(qū)分二者的標識。圈繞數(shù)的具體計算方法可以由以下方法得到：一、化為復(fù)數(shù)形式，輻角沿曲線做積分后除以2pi給出。二、坐標變換后，用dx和dy表出的圈繞數(shù)?；喓蟮淖罱K形式需要留意一下，后續(xù)要與ZAK pahse進行比較。
二、邊緣態(tài)
Ssh 模型除了體態(tài)，還有邊緣態(tài)。這里我們先定性地分析兩種極端情況，v>>w or w>>v,當v>>w的時候，邊界部分與體內(nèi)部分沒有什么區(qū)別；當w>>v的時候，可以看到兩個邊界點處可以容納兩個零能量的本征態(tài)。我們以N=10為例，固定w=1，讓v從0開始取值，繪制E-v關(guān)系曲線。當v=0，即w>>v時，有兩個零能量的本征態(tài)，右圖為相應(yīng)的波函數(shù)。隨著v的增加，當v>>w的時候，可以預(yù)見邊緣態(tài)與體態(tài)沒有區(qū)別。這與先前的分析一致。
三、區(qū)分兩種絕緣體的圈繞數(shù)，作為拓撲不變量是體哈密頓量具有手征對稱性的結(jié)果。如果存在幺正算符，使得哈密頓量滿足如下關(guān)系，我們就稱哈密頓量具有手征對稱性，對于ssh模型，手征算符是西格瑪z。而拓撲不變量是對應(yīng)于這樣一個過程：1、哈密頓量隨參數(shù)緩慢地連續(xù)改變。2、系統(tǒng)重要的對稱性保持不變。3、能隙始終保持打開。(a)圖，由一種絕緣體態(tài)變?yōu)榱硪环N絕緣體態(tài)，dk曲線需要經(jīng)過原點，能隙閉合，絕緣體變?yōu)閷w。(b)圖，dz不為零，會破壞手征對稱性。
四、最后，我們看一看ZAK 相位與圈繞數(shù)的關(guān)系。
首先，簡單介紹一下貝利相位的概念，根據(jù)量子絕熱定理，若體系一開始處于哈密頓量H(0)的第n個本征態(tài)，經(jīng)過一段時間的絕熱演化，體系仍然處于t時刻哈密頓量H(t)的第n個本征態(tài)，而且僅僅增加了一個相位因子。第二個e指數(shù)是我們熟悉的動力學相，第一個就是所謂的幾何相。它可以由參數(shù)空間內(nèi)的路徑積分表示出來，與時間無關(guān)。這一部分在格里菲斯的量子力學課本有詳細的推導。當周期性系統(tǒng)經(jīng)過一個周期T的絕熱演化回到原來的哈密頓量，哈密頓量在參數(shù)空間的演化路徑形成一條閉合曲線的時候，無論波函數(shù)選取什么樣的規(guī)范，幾何相位都不能被消除，稱為貝利相位。顯然一維系統(tǒng)是無法形成這樣的閉合路徑，但是通過分析萬尼爾函數(shù)的對稱性，ZAK發(fā)現(xiàn)具有反演對稱性的一維系統(tǒng)，在第一布里淵區(qū)內(nèi)累積的貝利相位只能取0或者pi。ssh模型具有反演對稱性，那么圈繞數(shù)可以用貝利相位除pi表示。為求貝利相位，我們先求它與萬尼爾函數(shù)的中心的關(guān)系。布洛赫波函數(shù)是K空間的周期性函數(shù)，可以做傅里葉展開，展開系數(shù)即萬尼爾函數(shù)。同理，萬尼爾函數(shù)是實空間的周期函數(shù)，也可以做傅里葉展開，展開系數(shù)即布洛赫波函數(shù)。當N比較大的時候，求和可變?yōu)榉e分。位置算符作用在萬尼爾函數(shù)上可以得到下面的表達式。x的平均值，或者稱為萬尼爾函數(shù)的中心，當存在反演對稱性時，萬尼爾函數(shù)的中心總可以取成0或者a/2，相對應(yīng)的貝利相位為0或者pi。
我們也通過定量的求解，驗證了二者之間的聯(lián)系。
