高斯定理（by小毅）

平面、球、圓柱帶電體的場強：高斯定理

知識點

1. 電場線

\ \ \ 在電場中引入的一些假想的曲線。曲線上每一點的切線方向和該點電場強度的方向一致;曲線密集的地方場強強，稀疏的地方場強弱。

2. 電通量

\ \ \ 1. 通過電場中某一面的電場線數(shù)
\ \ \ 2. \Phi_e=\vec{E}\cdot \vec{S}=ES\cos \theta \ \ \ 其中\theta為面的法向量與場強的夾角

3. 高斯定理

  • 高斯面：通過靜電場中的任意封閉曲面
  • 封閉曲面外的電場線（連續(xù)性）穿過一個封閉曲面，從某點穿進去，一定能找到另一個點穿出，他們大小相等，符號相反，總和為0
    所以外部電荷不影響電通量
  • \oint\vec{E}_{\text{內(nèi)外和}}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}；
  • 高斯面的場強是由高斯面內(nèi)外電荷共同產(chǎn)生的，因此，面內(nèi)無電荷時，面上的場強不一定為0，面上的場強為0，也不一定說明面內(nèi)無場強。
平面對稱的電場和 球?qū)ΨQ帶電體的電場
  • (a)做通過某場點的同心球面作為高斯面，隨后將對該面應(yīng)用高斯定理：內(nèi)\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}；
  • (b)公式中內(nèi)Q_{\text{內(nèi)}}是指的這個高斯面所包圍的體積內(nèi)部的總電量。一定要想清楚電荷到底是如何分布的。在復(fù)雜的問題中，往往需要借助電荷密度來求解。
  • (c) 設(shè)該場點的電場強度，大小為E，則該面的電通量必然為E\cdot4\pi r^{2}，其中4\pi r^{2}是高斯球面的面積。
  • (d)于是得到核心方程：內(nèi)E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}，解出E 即可。
軸對稱帶電體的電場
  • (a)通過該場點做同軸圓柱作為高斯面，隨后將對該面應(yīng)用高斯定理：內(nèi)\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}；
  • (b)公式中內(nèi)Q_{\text{內(nèi)}}是指的這個高斯面所包圍的體積內(nèi)部的總電量。一定要想清楚電荷到底是如何分布的。在復(fù)雜的問題中，往往需要借助電荷密度來求解。
  • (c) 設(shè)該場點的電場強度，大小為E，則該面的電通量必然為E\cdot2\pi rh，其中2\pi rh是高斯面(圓柱)的側(cè)面積。
  • (d)于是得到核心方程：內(nèi)E\cdot2\pi rh=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}，解出E 即可。
QQ圖片20190404202908.jpg

表達題

所有無限大的均勻帶電的平面或平板，以及由它們彼此平行合成的各種組合體，均簡稱“平面帶電體”。畫圖描述這類帶電體的場強特征：
  • 任何無限大均勻帶電平板，做圖示的高斯面，則其通量\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}計算出來必然為

解答：
IMG_20190411_220641.jpg
  • “平板帶電體”求電場\vec{E}的思路是：(a)通過某場點，在平板兩邊對稱地做一個圓柱型表面作為高斯面，隨后將對該面應(yīng)用高斯定理：內(nèi)\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}；
    (b)公式中內(nèi)Q_{\text{內(nèi)}} 指的這個高斯面所包圍的體積內(nèi)部的總電量。一定要想清楚電荷到底是如何分布的。在復(fù)雜的問題中，往往需要借助電荷密度來求解。
    (c) 設(shè)該場點的電場強度，大小為E，則該面的電通量必然為2ES，其中S是圓柱型表面的底面積。
    (d)于是得到核心方程：內(nèi)2ES=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}，解出E 即可。
    現(xiàn)在有一個均勻帶電的平板，電量體密度為\rho，平板的厚度是D。我們想求出該平板外部，距離中心為x處的場點的電場(x>D/2)。我們過該點，做圖示的高斯面。設(shè)該點電場大小為E，則核心方程可能為：

解答：

  • 現(xiàn)在有一個均勻帶電的平板，電量體密度為\rho，平板的厚度是D。我們想求出該平板內(nèi)部，距離中心為x處的場點的電場(x<D/2)。我們過該點，做圖示的高斯面。設(shè)該點電場大小為E，則核心方程可能為：

解答：
IMG_20190411_220701.jpg
  • 某半徑為R的均勻帶電實心球體，設(shè)某場點到球心的距離是r，場強的大小是E?，F(xiàn)在做半徑為r的虛擬球面(高斯面)，則該面的電通量\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}為( )

解答：\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}
4\pi r^2 \cdot \vec{E}=\frac{\frac{4\pi R^3}{3 } \rho }{{\epsilon_{0}}}
E=\frac{R^3\rho }{{3\epsilon_{0}r^2}}

  • 現(xiàn)在有一個均勻帶電的球殼，總電量為Q，球殼的半徑是R，球殼厚度可以忽略。我們想求出該球殼內(nèi)部，距離球心為r的M處的電場(r<R)。我們過該點，做半徑為r 的同心球面作為高斯面。設(shè)該點電場大小為E，則核心方程可能為：
    (1) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}
    (2) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}
    (3) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}
    (4) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}
    解出電場來，觀察其規(guī)律可能為：(請理解、歸納、記憶)
    (5) 均勻帶電的薄球殼，內(nèi)部場強為零。
    (6) 均勻帶電的薄球殼，內(nèi)部場強不為零。
    進而借助疊加原理思考：有厚度的空心帶電球體，空腔里的場強為
    (7) 零。
    (8) 不一定。
    則正確的是( )

解答：(1) （5）（7）

  • 現(xiàn)在有一個均勻帶電的球殼，總電量為Q，球殼的半徑是R，球殼厚度可以忽略。我們想求出該球殼外部，距離球心為r的N處的電場(r>R)。我們過該點，做半徑為r的同心球面作為高斯面。設(shè)該點電場大小為E，則核心方程可能為：
    (1) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}
    (2) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}
    (3) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}
    (4) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}
    解出電場來，觀察其規(guī)律可能為：(請理解、歸納、記憶)：均勻帶電薄球殼的外部場強，( )等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場。
    (5) 能
    (6) 不能
    進而借助疊加原理思考：有厚度的空心帶電球體，球外的場強，( )等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場。
    (7) 能
    (8) 不能。
    則正確的是( )

解答：（1）（5）（7）

  • 現(xiàn)在有一個均勻帶電的球體，總電量為Q，球的半徑是R。我們想求出該球體外部，距離球心為r的N 處的電場(r>R)。我們過該點，做半徑為r的同心球面作為高斯面。設(shè)該點電場大小為E，則核心方程可能為：
    (1) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}
    (2) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}
    (3) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}
    (4) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}
    解出電場來，觀察其規(guī)律可能為：(請理解、歸納、記憶)
    (5) 均勻帶電球體的外部場強，等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場。

    (6) 均勻帶電球體的外部場強，不等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場。

    則正確的是( )

解答：（1） （5）

  • 現(xiàn)在有一個均勻帶電的球體，總電量為Q，球的半徑是R。我們想求出該球體內(nèi)部，距離球心為r的M處的電場(r<R)。我們過該點，做半徑為r的同心球面作為高斯面。設(shè)該點電場大小為E，則核心方程可能為：
    (1) 內(nèi)E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}, 內(nèi)Q_{\text{內(nèi)}}=\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=Q\cdot(\frac{r}{R})^{3}
    (2) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}
    (3) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{4r^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}
    (4) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{4r}{\epsilon_{0}R}
    結(jié)合以上求解過程知，均勻帶電球體內(nèi)部某場點的場強，可等效為( _ )集中到球心時產(chǎn)生的電場。(請理解、歸納、記憶)
    (5) 所有電荷。
    (6) 高斯面內(nèi)所有電荷。
    則正確的是( )

解答：
（1）（6）

組合帶電體的場強請用疊加原理。在上面幾道題中，我們總結(jié)歸納了幾條直觀經(jīng)驗，具體地：
(1) 均勻帶電的薄球殼，內(nèi)部場強為零。
(2) 均勻帶電薄球殼的外部場強，等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場。
(3) 均勻帶電球體的外部場強，等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場。
(4)均勻帶電球體的內(nèi)部某場點的場強，可等效為高斯面內(nèi)所有電荷集中到球心時產(chǎn)生的電場。
  • 所有無限長、均勻帶電的細桿、空心圓筒、實心圓柱，以及由它們合成的各種“同軸”組合體，均叫做“圓柱型帶電體”。請圖示這類帶電體的場強特征。

提示：距離軸線為r的各點，場強的大小都相等，并且方向一定與軸線垂直。

小結(jié)

求電場有3種方法

\color{red}{1. 矢量疊加 }
\color{red}{2. 求積分}
\color{red}{3.高斯定理 }

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