所謂的一元線性回歸其實(shí)就是找到一條直線，使得該條直線可以以最小的誤差（Loss）來逼近擬合訓(xùn)練數(shù)據(jù)

最小二乘法配合梯度下降算法，就是一個完整的線性回歸過程

本章知識點(diǎn)：

1. 最小二乘法表示

2. 梯度下降法原理

3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)過程

下面假設(shè)我們有N個二維訓(xùn)練數(shù)據(jù)點(diǎn)，我們的預(yù)測函數(shù)為h(x) = m * x + b

N個二維離散點(diǎn)

我們希望研究這群離散點(diǎn)的關(guān)系，我們不妨假設(shè)其關(guān)系是線性的，那么我們需要計(jì)算出一條直線L ,使得L距離每一個離散點(diǎn)都很近

最好的情況，我們希望所有的離散點(diǎn)都在L上，也就是滿足L的方程，但是一條直線去擬合所有的點(diǎn)肯定是不現(xiàn)實(shí)的（不可能所有的點(diǎn)都滿足線性關(guān)系）所以我們希望找到的L離所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)盡可能的靠近，既找到每一個點(diǎn)（xi，yi）和L距離最小值 d = | yi - （m * xi + b）|，我們對N個d進(jìn)行求和，由最小二乘法來表示誤差函數(shù)為:

誤差函數(shù)一

其中i表示第i個點(diǎn)，N表示樣本總數(shù)，我們將Loss求和平均來作為最終的損失：

誤差函數(shù)二

現(xiàn)在我們有了預(yù)測函數(shù)h(x)和損失函數(shù)Loss，那么我們怎么求出這條直線L來最好的擬合數(shù)據(jù)集呢？

其實(shí)也就是求L損失函數(shù)的最小化誤差，這里一般有兩個方法

1. 求函數(shù)極值

我們把Loss看成由m和b組合的二元函數(shù)，其中x，y，i，N均是已知的，那么求Loss最小值的問題就是求函數(shù)極值為題，利用基本的高數(shù)知識，我們需要求出每個變量的偏導(dǎo)數(shù)，并求解這組方程組：

偏導(dǎo)數(shù)求極值

涉及簡單的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和求和求導(dǎo)，非?；A(chǔ)的高數(shù)知識，我們只要用數(shù)學(xué)知識直接解出m和b，就可以得到L的方程

但是這不是一個最可靠的方法，因?yàn)橛?jì)算機(jī)不適合直接求解數(shù)學(xué)方程的解，計(jì)算機(jī)是沒有學(xué)過高等數(shù)學(xué)的，它只知道基本的加減乘除（本質(zhì)上基于加法器實(shí)現(xiàn)），而計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力非常出眾，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過人類，我們應(yīng)該從基本的數(shù)學(xué)定理的原理出發(fā)告訴計(jì)算機(jī)做某個基本的變化，讓其迭代更新，用計(jì)算量換取結(jié)果，所以我們應(yīng)該利用梯度下降法去逼近真實(shí)結(jié)果

2. 梯度下降法

這是一個非常神奇的算法，可以說沒有它，就沒有現(xiàn)在的深度學(xué)習(xí)，幾乎所有的深度學(xué)習(xí)模型都會用到梯度下降算法，如最經(jīng)典的反向傳播算法，對所有參數(shù)使用梯度下降算法，使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的各個參數(shù)在訓(xùn)練數(shù)據(jù)上的損失函數(shù)盡可能小，也就是模型參數(shù)最合理，再一次的讓神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)生了質(zhì)變

其基本思想是：沿著損失（代價(jià)）函數(shù)梯度下降的方向搜索極小值（同理也可以沿著梯度上升的方向搜索極大值）

我們設(shè)x表示方程中的變量參數(shù)，J(x)表示在給定的參數(shù)取值下，訓(xùn)練數(shù)據(jù)集上損失函數(shù)的大小，那么整個優(yōu)化的過程可以抽象為尋找一個適合的參數(shù)x，使得J(x)最小，而目前沒有一個通用的方法可以對任意損失函數(shù)直接求解最佳的參數(shù)取值，而梯度下降算法會不斷迭代更新參數(shù)x，即讓參數(shù)x沿著總損失很小的方向去更新

梯度下降算法示意圖

從上圖中我們看到當(dāng)x = 3.5時(shí)候，J(x)取得最小值，而最低點(diǎn)左側(cè)的斜率是負(fù)值，另外一側(cè)斜率是正值，這是再好不過的收斂條件，我們只要沿著梯度的方向一點(diǎn)一點(diǎn)的下滑，下滑的過程就是求導(dǎo)，下滑的次數(shù)，就是迭代，而每次需要下滑多長，需要通過步長來決定，所以我們還需要定義一個步長表示每次下滑的距離

一般來說，我們也將步長叫做學(xué)習(xí)率，而如何加速算法收斂速度和防止收斂過程中發(fā)生震蕩，是一門值得研究的學(xué)問，有很多成熟的方法，如沖量策略，衰減因子策略等，這里不深入講解

現(xiàn)在定義了學(xué)習(xí)率和迭代次數(shù)，我們就可以在迭代的過程中，一邊求梯度，一邊下滑更新參數(shù)了

很明顯，我們需要在滑動中更新參數(shù)m和參數(shù)b

更新參數(shù)

因?yàn)樘荻却嬖诜较?，所以我們使用加號并不會影響參?shù)的更新

下面用python配合numpy模擬實(shí)現(xiàn)梯度下降算法過程

計(jì)算梯度，更新參數(shù)

迭代梯度下降算法

現(xiàn)在，我們利用梯度下降算法來優(yōu)化Loss函數(shù)后，也得到了相應(yīng)的m和b的值，那么也就找到了直線L = m*x + b，使得L以最小的誤差去擬合訓(xùn)練數(shù)據(jù)

一元線性回?cái)M合結(jié)果

代碼和測試數(shù)據(jù)見：一元線性回歸