譚善 2014301020106
1.引言
萬物皆有相互作用，在太陽系中，除了太陽對地球有作用之外，其他星體地球也應(yīng)有作用。比如說太陽系中最大的行星木星。
土衛(wèi)七是1848年由美國天文學(xué)家邦德（G. Bond）和英國的拉塞爾（W. Lassell）各自獨立發(fā)現(xiàn)，距土星1482000公里，看起來土衛(wèi)七像是一顆大星體的碎片，表面有如海綿。它是目前所發(fā)現(xiàn)太陽系中最大的一顆非球形天體，也是太陽系中已知星體中唯一一個自轉(zhuǎn)會混沌的星體，它是土星已知衛(wèi)星中距土星第十六近的一顆。
Question 4.19
Study the behavior of our model for Hyperion for dofferent initial conditions. Estimate the Lyapunov exponent from calculations of \Delta \theta, such as those shown in Figure 4.19. Examine how this exponent varies as a function of the eccentricity of the orbit.
Question 4.20
Our results for the divergence of the two trajectories \theta1(t) and \theta2(t) in the chaotic regime, shown on the right in Figure 4.19,are complicated by the way we dealt with the angle \theta. In Figure 4.19 we followed the practice employed in Chapter3 and restricted \theta to the range -\pi to +\pi, since angles outside this range are equivalent to angles within it. However, when during the course of a calculation the angle passes out of this range and is then "reset" (by adding or substracting 2\pi), this shows up in the results for \Delta \theta as a discontinuous (and distracting) jump. Repeat the calculation of \Delta \theta as in Figure 4.19, but do not restrict the value of \theta. This should remove the large (\Delta \theta~2\pi) jumps in \Delta \theta in Figure 4.19, but the smaller and more frequent dips will remain. What is the origin of these dips?
2. 原理背景介紹
（1）木星對地球引力的x分量可以被寫成如下形式：
在固定太陽的情況下，地球在x方向的加速度為：
其中我們用到了一個關(guān)鍵的式子：
（2）土衛(wèi)七的軸線與x軸之間的角度滿足下面的關(guān)系：
這個式子是我們解決這個問題的關(guān)鍵。
3. 主要內(nèi)容及分析
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木星對地球軌道的影響及三體運動
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（1） 由于太陽的質(zhì)量遠(yuǎn)大于地球和木星的質(zhì)量，我們先假定太陽固定在坐標(biāo)原點不動，分別運行出了當(dāng)木星質(zhì)量是自身實際質(zhì)量的1倍，10倍，100倍以及1000倍時的地球軌跡。
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從前面三幅圖中可以看出，這幾種情況下地球的軌道幾乎不受木星的影響，然而當(dāng)木星質(zhì)量與太陽在同一個數(shù)量級時，地球的軌道與原來相比發(fā)生明顯的偏移。
（2）其實我們可以加長一下運行時間，得到長程下來地球的軌跡。
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我們非常驚奇地發(fā)現(xiàn)，地球的軌道幾乎難以預(yù)測，其實這是一個典型的混沌現(xiàn)象。
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（3）實際上，在木星質(zhì)量達(dá)到太陽的數(shù)量級時太陽明顯不可能固定不動，我們索性讓太陽、木星、地球的質(zhì)量相等，它們組成一個三星系統(tǒng)。
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上圖表明，三星系統(tǒng)是一個相當(dāng)混亂的系統(tǒng)。
（4）為了進(jìn)一步說明三體運動是混沌的，我們特意繪制了下面兩組圖，其實，它們所用的條件是一樣的，只是我們在設(shè)計程序時，它們每運行一步的時間相差十倍。
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如果是在有規(guī)律的系統(tǒng)中，只要我們每步的時間足夠小，那么軌跡的總體趨勢應(yīng)該是一樣的，然而，我們的結(jié)果表明，僅僅是這樣一個小的變化，天體的運行軌道就有了天壤之別，這有力地說明了三體系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。
（5）另外一個有趣的現(xiàn)象我們可以從第二組圖中看到，地球和太陽最終糾纏在一起有規(guī)律地運動，其實這個可以從下面的兩體運動中得到說明。
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上圖表示的正是兩體運動的軌跡，這樣的運動軌跡是由于兩個星體未能滿足繞質(zhì)心運動時角速度必須相等。
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土衛(wèi)七的混沌運動
習(xí)題 4.19
我們將土衛(wèi)七之于土星的運動軌道看成地球之于太陽的運動軌道來簡化我們的問題。
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（1）土衛(wèi)七在其繞土星為圓和橢圓軌道時，角度與時間以及角速度與時間之間的關(guān)系。
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上圖已經(jīng)告訴我們土衛(wèi)七中心軸的擺動在土衛(wèi)七繞土星的軌道是橢圓時是混沌軌道。
（２）使用我們在討論混沌運動時常用的手段，考慮它的相空間。
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第一幅圖表示的是圓軌道時的相空間，第二幅圖表示的是橢圓軌道使得相空間，很明顯，橢圓軌道時，相空間比較雜亂但又有一定的規(guī)律。
（3）考慮問題4.19， 我們改變土衛(wèi)七繞土星軌道的距離，分別繪出此時圓軌道與橢圓軌道時的角速度與時間的關(guān)系。
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與（1）中的情況比較發(fā)現(xiàn)，這里的趨勢是完全一樣的，只是當(dāng)我們增加土衛(wèi)七與土星距離時，土衛(wèi)七中心軸的擺動幅度有所下降，軌道周期變長了。
（4）再次改變初始條件，讓上面兩種情況的離心率都變大，我們會發(fā)現(xiàn)混亂程度加大。
如果我們給土衛(wèi)七一個足夠大的速度，我們得到下圖。
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我們會發(fā)現(xiàn)最終角速度不再發(fā)生變化，其實這是由于土衛(wèi)七逃離了土星，不再受土星的影響。從增大離心率那個圖也可以看出，之所以有角速度的漲落，這是由于橢圓軌道上到土星距離遠(yuǎn)近所致。
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（5）我們現(xiàn)在考慮角度之間的差值。
為了檢驗 Lyapunov 指數(shù)與離心率的關(guān)系我們繪制了如下圖片。前三幅圖顯示的是離心率依次減小的變化，后三幅圖相反。
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從圖中大致可以得出隨著軌道離心率的增大，Lyapunov 指數(shù)增大，換句話說，隨著軌道離心率的增加，混亂度增大。
習(xí)題4.20
上面的題目我們考慮了角度差的范圍在0~2\pi之間，現(xiàn)在我們?nèi)サ暨@個要求。
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很容易得到了上圖，之所以還有一些跌落的谷，是因為當(dāng)角度大的一方的角速度從正變?yōu)樨?fù)的時候，角度差會減小所致。
4. 參考致謝
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Computational Physics(Second Edition), Nicholas J. Giordano, Hisao Nakanishi.
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Upperclassman-Wu Yuqiao
