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優(yōu)化問題定義以及求解

通用定義

解決問題的開始一定是定義清楚問題。這里引用g2o的定義。

$\begin{aligned} \mathbf{F}(\mathbf{x})&=\sum_{k\in \mathcal{C}} \underbrace{\mathbf{e}_k(\mathbf{x}_k,\mathbf{z}_k)^\top \Omega_k\mathbf{e}_k(\mathbf{x}_k,\mathbf{z}_k)}_{\mathbf{F}_k} \\ \mathbf{x}^* &= \underset{\mathbf{x}}{\operatorname{argmin}}\mathbf{F}(\mathbf{x}) \end{aligned} \tag{1}$

$\mathbf{x}=(\mathbf{x}_1^\top,\dots,\mathbf{x}_n^\top)^\top$ ， $\mathbf{x}_i\in \mathbf{x}$ 為向量，表示一組參數(shù)；
$\mathbf{x}_k=(\mathbf{x}_{k_1}^\top,\dots,\mathbf{x}_{k_q}^\top)^\top\subset \mathbf{x}$ ，第k次約束參數(shù)子集；
$\mathbf{z}_k$ 可以當(dāng)做觀測向量， $\Omega_k$ 可以認(rèn)為是觀測協(xié)方差矩陣，是個(gè)對稱矩陣；
$\mathbf{e}_k(\mathbf{x}_k,\mathbf{z}_k)$ 是誤差函數(shù)；

$\mathbf{F}(\mathbf{x})$ 其實(shí)就是總測量誤差的平方和，這里簡單起見假設(shè) $\Omega_k=\begin{bmatrix}\sigma_1^2&0 \\ 0 & \sigma_2^2\end{bmatrix}$ ，
可以把 $\mathbf{F}_k(\mathbf{x})$ 當(dāng)做單次測量誤差平方和，假設(shè) $\mathbf{e}_k(\mathbf{x}_k,\mathbf{z}_k)=(e_1,e_2)^\top$ ，展開看

$\begin{aligned} \mathbf{F}_k(\mathbf{x})&=\mathbf{e}_k(\mathbf{x}_k,\mathbf{z}_k)^\top \Omega_k\mathbf{e}_k(\mathbf{x}_k,\mathbf{z}_k) \\ &=\sigma_1^2e_1^2+\sigma_2^2e_2^2 \end{aligned}$
問題就是求使得測量誤差平方和最小的參數(shù)的值。

求解最優(yōu)問題

簡化誤差方程定義: $\mathbf{e}_k(\mathbf{x}_k,\mathbf{z}_k) \overset{def.}{=} \mathbf{e}_k(\mathbf{x}_k) \overset{def.}{=} \mathbf{e}_k(\mathbf{x})$ 。誤差方程在值 $\breve{\mathbf{x}}$ 處進(jìn)行一階泰勒級數(shù)近似展開：

$\begin{aligned} \mathbf{e}_k(\breve{\mathbf{x}}_k+\Delta\mathbf{x}_k) &=\mathbf{e}_k(\breve{\mathbf{x}}+\Delta\mathbf{x}) \\ &\simeq \mathbf{e}_k(\breve{\mathbf{x}})+\mathbf{J}_k\Delta\mathbf{x} \end{aligned} \tag{2}$
其中 $\mathbf{J}_k$ 是 $\mathbf{e}_k(\mathbf{x})$ 在 $\breve{\mathbf{x}}$ 處的雅克比矩陣，代入(1)中得：

$\begin{aligned} \mathbf{F}_k(\breve{\mathbf{x}}+\Delta\mathbf{x}) &= \mathbf{e}_k(\breve{\mathbf{x}}+\Delta\mathbf{x})^\top\Omega_k\mathbf{e}_k(\breve{\mathbf{x}}+\Delta\mathbf{x}) \\ &\simeq (\mathbf{e}_k(\breve{\mathbf{x}})+\mathbf{J}_k\Delta\mathbf{x})^\top\Omega_k(\mathbf{e}_k(\breve{\mathbf{x}})+\mathbf{J}_k\Delta\mathbf{x}) \\ &=\underbrace{(\mathbf{e}_k(\breve{\mathbf{x}})^\top+(\mathbf{J}_k\Delta\mathbf{x})^\top)}_{A^\top+B^\top = (A+B)^\top}\Omega_k(\mathbf{e}_k(\breve{\mathbf{x}})+\mathbf{J}_k\Delta\mathbf{x}) \\ &= \mathbf{e}_k(\breve{\mathbf{x}})^\top\Omega_k\mathbf{e}_k(\breve{\mathbf{x}})+\underbrace{\mathbf{e}_k(\breve{\mathbf{x}})^\top\Omega_k\mathbf{J}_k\Delta\mathbf{x}+(\mathbf{J}_k\Delta\mathbf{x})^\top\Omega_k\mathbf{e}_k(\breve{\mathbf{x}})}_{當(dāng)A^TB為標(biāo)量時(shí)，A^TB=B^TA}+\Delta\mathbf{x}^\top\mathbf{J}_k^\top\Omega_k\mathbf{J}_k\Delta\mathbf{x} \\ &=\underbrace{\mathbf{e}_k(\breve{\mathbf{x}})^\top\Omega_k\mathbf{e}_k(\breve{\mathbf{x}})}_{標(biāo)量c_k}+2\underbrace{\mathbf{e}_k(\breve{\mathbf{x}})^\top\Omega_k\mathbf{J}_k}_{向量\mathbf_k^\top}\Delta\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x}^\top\underbrace{\mathbf{J}_k^\top\Omega_k\mathbf{J}_k}_{矩陣\mathbf{H}_k}\Delta\mathbf{x} \\ &=c_k+2\mathbf_k^\top\Delta\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x}^\top\mathbf{H}_k\Delta\mathbf{x} \end{aligned} \tag{3}$
因此

$\begin{aligned} \mathbf{F}(\breve{\mathbf{x}}+\Delta\mathbf{x}) &=\sum_{k\in \mathcal{C}} \mathbf{F}_k(\breve{\mathbf{x}}+\Delta\mathbf{x}) \\ &\simeq \sum_{k\in \mathit{C}} c_k+2\mathbf_k\Delta\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x}^\top\mathbf{H}_k\Delta\mathbf{x} \\ &= c+2\mathbf^\top\Delta\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x}^\top\mathbf{H}\Delta\mathbf{x} \end{aligned} \tag{4}$
問題轉(zhuǎn)化為求(4)的最小值，求標(biāo)量 $\mathbf{F}(\breve{\mathbf{x}}+\Delta\mathbf{x})$ 的微分

$\begin{aligned} d\mathbf{F}(\breve{\mathbf{x}}+\Delta\mathbf{x}) &= 2\mathbf^\top d(\Delta\mathbf{x}) + \underbrace{d(\Delta\mathbf{x}^\top)\mathbf{H}\Delta\mathbf{x}}_{d(X^T) = (dX)^T}+\Delta\mathbf{x}^\top\mathbf{H}d(\Delta\mathbf{x}) \\ &= 2\mathbf^\top d(\Delta\mathbf{x}) + \underbrace{(d(\Delta\mathbf{x}))^\top\mathbf{H}\Delta\mathbf{x}}_{當(dāng)A^TB為標(biāo)量時(shí)，A^TB=B^TA} + \Delta\mathbf{x}^\top\mathbf{H}d(\Delta\mathbf{x}) \\ &= 2\mathbf^\top d(\Delta\mathbf{x}) + \underbrace{\Delta\mathbf{x}^\top\mathbf{H}^\top d(\Delta\mathbf{x}) + \Delta\mathbf{x}^\top\mathbf{H}d(\Delta\mathbf{x})}_{\Omega_k為對稱陣，因此H為對稱陣} \\ &= 2(\mathbf^\top + \Delta\mathbf{x}^\top\mathbf{H}^\top)d(\Delta\mathbf{x}) \\ &= 2(\mathbf + \mathbf{H}\Delta\mathbf{x})^\top d(\Delta\mathbf{x}) \end{aligned}$
對照 $d\mathbf{F}=\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \Delta\mathbf{x}}^Td(\Delta\mathbf{x})$ ，得 $\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \Delta\mathbf{x}}=\mathbf + \mathbf{H}\Delta\mathbf{x}$

求 $\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \Delta\mathbf{x}}=0$ ，注意因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmathbf%7BF%7D" alt="\mathbf{F}" mathimg="1">非負(fù)，所以極值處為極小值。

問題又轉(zhuǎn)為求解線性方程 $\mathbf{H}\Delta\mathbf{x} = -\mathbf$ ，所得到的解為 $\Delta\mathbf{x}^*$ ，增量更新 $\mathbf{x}^*=\breve{\mathbf{x}}+\Delta\mathbf{x}^*$ 。以次方式不斷迭代求最優(yōu)問題。

優(yōu)化庫

在實(shí)際的工程中，我們會使用優(yōu)化庫求解這些優(yōu)化問題。在使用這些優(yōu)化庫的時(shí)候，我們只需要定義好誤差函數(shù) $\mathbf{e}_k$ 計(jì)算誤差，誤差函數(shù)在某值處的雅克比矩陣 $\mathbf{J}_k$ ，定義好觀測的協(xié)方差矩陣 $\Omega_k$ ，優(yōu)化庫便可以幫我們求解最優(yōu)問題。優(yōu)化庫有很多種，Ceres，g2o，gtsam等，Ceres自身有自動(dòng)求導(dǎo)甚至不需要我們計(jì)算雅克比矩陣，但是搞清楚他們的優(yōu)化原理還是很有必要的。

視覺SLAM中的優(yōu)化問題

相機(jī)投影模型

已知相機(jī)內(nèi)參 $\mathbf{K}=\begin{bmatrix}f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ ，相機(jī)坐標(biāo)系下空間點(diǎn) $\mathbf{p}_{c}=[x_c,y_c,z_c]^\top\in \mathbb{R}^3$ 投影到像平面點(diǎn) $\mathbf{p}_{I}=[u,v]^\top\in \mathbb{R}^2$ 的函數(shù)為：

$\begin{aligned} \text{proj}(\mathbf{p}_{c})&=[\frac{1}{z_c}\mathbf{K}\mathbf{p}_{c}]_{1:2} \\ &= \begin{bmatrix}f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_c/z_c \\ y_c/z_c \\ 1 \end{bmatrix}_{1:2} \\ &= \begin{bmatrix}f_x*x_c/z_c+c_x \\ f_y*y_c/z_c+c_y \end{bmatrix} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{\partial \text{proj}(\mathbf{p}_{c})}{\partial \mathbf{p}_{c}}&= \begin{bmatrix}\frac{\partial u}{\partial x_c} & \frac{\partial u}{\partial y_c} & \frac{\partial u}{\partial z_c} \\ \frac{\partial v}{\partial x_c} & \frac{\partial v}{\partial y_c} & \frac{\partial v}{\partial z_c} \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix}f_x/z_c & 0 & -f_x*x_c/z_c^2 \\ 0 & f_y/z_c & -f_y*y_c/z_c^2 \end{bmatrix} \end{aligned} \tag{5}$

立體視覺觀測函數(shù)

假設(shè)雙目相機(jī)的基線為 $b$ ，相機(jī)坐標(biāo)系下空間點(diǎn) $\mathbf{p}_{c}=[x_c,y_c,z_c]^\top\in \mathbb{R}^3$ 投影到左右相機(jī)平面的坐標(biāo)為 $[u_l,v_l]^\top,[u_r,v_r]^\top$ ，假設(shè)是水平雙目，則有 $u_l-u_r=\frac{bf_x}{z_c}$ ，那么

$u_r=u_l-\frac{bf_x}{z_c}=f_x*x_c/z_c+c_x - \frac{bf_x}{z_c}$
對 $u_r$ (為 $\mathbf{p}_c$ 的函數(shù))求導(dǎo)：

$\begin{aligned} \frac{\partial u_r}{\partial \mathbf{p}_{c}} &= \begin{bmatrix}\frac{\partial u_r}{\partial x_c} & \frac{\partial u_r}{\partial y_c} & \frac{\partial u_r}{\partial z_c} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}f_x/z_c & 0 & -f_x*(x_c-b)/z_c^2\end{bmatrix} \end{aligned}$
與相機(jī)投影模型整合起來有

$\begin{aligned} \mathbf{z}_{stereo}&=\binom{\text{proj}(\mathbf{p}_{c})}{u_r} \\ &= \begin{bmatrix}f_x*x_c/z_c+c_x \\ f_y*y_c/z_c+c_y \\ f_x*x_c/z_c+c_x - \frac{bf_x}{z_c} \end{bmatrix} \end{aligned}$
$\frac{\partial \mathbf{z}_{stereo}}{\partial \mathbf{p}_{c}} = \begin{bmatrix}f_x/z_c & 0 & -f_x*x_c/z_c^2 \\ 0 & f_y/z_c & -f_y*y_c/z_c^2 \\ f_x/z_c & 0 & -f_x*(x_c-b)/z_c^2\end{bmatrix} \tag{6}$

SO3、SE3、SIM3定義及指數(shù)映射

$SO(3) = \begin{Bmatrix} \mathbf{R}\in\mathbb{R}^{3\times 3}|\mathbf{R}\mathbf{R}^\top=\mathbf{I},\text{det}(\mathbf{R})=1 \end{Bmatrix}$

$\mathfrak{so}(3) = \begin{Bmatrix} \omega^\wedge=\left.\begin{matrix}\begin{bmatrix}0 & -\omega_3 & \omega_2\\\omega_3 & 0 & -\omega_1 \\ -\omega_2 & \omega_1 & 0\end{bmatrix}\end{matrix}\right|\omega=[\omega_1,\omega_2,\omega_3]^\top\in\mathbb{R}^3 \end{Bmatrix}$

$\text{exp}(\omega^\wedge)\in SO(3)$ ，證明見羅德里格斯公式。

$SE(3) = \begin{Bmatrix} \mathbf{T}=\begin{bmatrix}\mathbf{R} & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^\top & 1\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{4\times 4}|\mathbf{R}\in SO(3),\mathbf{t}\in\mathbb{R}^3 \end{Bmatrix}$

$\mathfrak{se}(3) = \begin{Bmatrix} \epsilon^\wedge=\left.\begin{matrix}\begin{bmatrix}\omega^\wedge & \nu\\ 0^\top & 0\end{bmatrix}\end{matrix}\right|\omega\in\mathbb{R}^3,\nu\in\mathbb{R}^3,\epsilon=[\nu,\omega]^\top \end{Bmatrix}$

$\begin{aligned} \text{exp}(\epsilon^\wedge) &= \underbrace{\text{exp}{\begin{bmatrix}\omega^\wedge & \nu\\ 0^\top & 0\end{bmatrix}}}_{泰勒級數(shù)展開} \\ &= \mathbf{I} + \begin{bmatrix}\omega^\wedge & \nu\\ 0^\top & 0\end{bmatrix} + \frac{1}{2!}\begin{bmatrix}\omega^{\wedge2} & \omega^\wedge \nu\\ 0^\top & 0\end{bmatrix} + \frac{1}{3!}\begin{bmatrix}\omega^{\wedge3} & \omega^{\wedge2} \nu\\ 0^\top & 0\end{bmatrix} + \dots \\ &= \begin{bmatrix}\text{exp}(\omega^\wedge) & \mathbf{V}\nu\\ 0^\top & 0\end{bmatrix} \in SE(3) ,\mathbf{V}=\mathbf{I}+\frac{1}{2!}\omega^{\wedge} + \frac{1}{3!}\omega^{\wedge2} + \dots \end{aligned}$
實(shí)際上

$\mathbf{V} = \left\{\begin{matrix} \mathbf{I}+\frac{1}{2}\omega^{\wedge}+\frac{1}{6}\omega^{\wedge2} = \mathbf{I}, & \theta \rightarrow 0 \\ \mathbf{I}+\frac{1-cos(\theta)}{\theta^2}\omega^{\wedge}+\frac{\theta-sin(\theta)}{\theta^3}\omega^{\wedge2}, & else \end{matrix}\right. \: \: \: with \:\:\theta=\left\|\omega\right\|_2$

$Sim(3) = \begin{Bmatrix} \mathbf{S}=\begin{bmatrix}s\mathbf{R} & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^\top & 1\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{4\times 4}|s\mathbf{R}\in \mathbb{R}^+(3)\times SO(3),\mathbf{t}\in\mathbb{R}^3 \end{Bmatrix}$
$\mathfrak{sim}(3) = \begin{Bmatrix} \psi^\wedge=\left.\begin{matrix}\begin{bmatrix}\omega^\wedge+\rho\mathbf{I} & \nu\\ 0^\top & 0\end{bmatrix}\end{matrix}\right|\omega\in\mathbb{R}^3,\nu\in\mathbb{R}^3,\rho \in \mathbb{R}, \psi=[\nu,\omega,\rho]^\top \end{Bmatrix}$

$\begin{aligned} \text{exp}(\psi^\wedge) &= \text{exp}(\begin{bmatrix}\omega^\wedge+\rho\mathbf{I} & \nu\\ 0^\top & 0\end{bmatrix}) \\ &= \begin{bmatrix}e^\rho\text{exp}(\omega^\wedge) & W\nu\\ 0^\top & 0\end{bmatrix}\in Sim(3) \end{aligned}$
具體的證明可以參考文獻(xiàn)[3]。

首先從最簡單的位姿優(yōu)化開始。

位姿優(yōu)化

已知圖像特征點(diǎn)在圖像中的坐標(biāo)集合 $\mathcal{P}_I=\left\{\mathbf{p}_{I_1}, \mathbf{p}_{I_2}, \ldots, \mathbf{p}_{I_n}\right\},\mathbf{p}_{I_i}\in \mathbb{R}^2$ ，以及對應(yīng)的空間坐標(biāo) $\mathcal{P}_w=\left\{\mathbf{p}_{w_1}, \mathbf{p}_{w_2}, \ldots, \mathbf{p}_{w_n}\right\},\mathbf{p}_{w_i}\in \mathbb{R}^3$ ，求解世界坐標(biāo)系到相機(jī)的變換矩陣 $\mathbf{T}_{cw}^*=\begin{bmatrix} \mathbf{R}_{cw}^* & \mathbf{t}_{cw}^* \\ 0^\top & 1 \end{bmatrix}$ 的最優(yōu)值。

誤差函數(shù)

假設(shè)變換矩陣的初始值為 $\mathbf{T}_{cw}=\begin{bmatrix} \mathbf{R}_{cw} & \mathbf{t}_{cw} \\ 0^\top & 1 \end{bmatrix}=\text{exp}(\xi_0^\wedge ),\xi^\wedge_0\in{\mathfrak{se}(3)}$ ，加在該初值的左擾動(dòng)為 $\text{exp}(\epsilon^\wedge )$ 。

單目誤差

$\mathbf{e}_k(\xi)=\mathbf{p}_{I_k} - \text{proj}(\text{exp}(\xi^\wedge )\cdot\mathbf{p}_{w_k})$
$\begin{aligned} \mathbf{J}_k=\frac{\partial \mathbf{e}_k}{\partial \epsilon} = -\frac{\partial \text{proj}(\mathbf{p}_{c})}{\partial \mathbf{p}_{c}}\cdot \left.\begin{matrix} \frac{\partial \text{exp}(\epsilon^\wedge )\text{exp}(\xi^\wedge )\cdot\mathbf{p}_{w_k}}{\partial \epsilon}\end{matrix}\right|_{\epsilon=0} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \left.\begin{matrix} \frac{\partial \text{exp}(\epsilon^\wedge )\text{exp}(\xi^\wedge )\cdot\mathbf{p}_{w_k}}{\partial \epsilon} \end{matrix}\right|_{\xi=\xi_0, \epsilon=0} &\approx \left.\begin{matrix}\frac{\partial\underbrace{(I+\epsilon^\wedge )}_{泰勒展開近似}\text{exp}(\xi_0^\wedge )\cdot\mathbf{p}_{w_k}}{\partial \epsilon}\end{matrix}\right|_{\xi=\xi_0, \epsilon=0} \\ &=\left.\begin{matrix}\frac{\partial\epsilon^\wedge \text{exp}(\xi_0^\wedge )\cdot\mathbf{p}_{w_k}}{\partial \epsilon}\end{matrix}\right|_{\xi=\xi_0, \epsilon=0} \\ &=\left.\begin{matrix}\frac{\partial \begin{bmatrix}\omega^\wedge & v \\ 0^\top & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\underbrace{\mathbf{R}_{cw}*\mathbf{p}_{w_k}+\mathbf{t}_{cw}}_{\mathbf{p}_c} \\ 1\end{bmatrix}}{\partial \epsilon}\end{matrix}\right|_{\xi=\xi_0, \epsilon=0} \\ &=\left.\begin{matrix}\frac{\partial \begin{bmatrix}\omega^\wedge\mathbf{p}_c+v \end{bmatrix}_{3\times 1}}{\partial \epsilon}\end{matrix}\right|_{\epsilon=0} \\ &=\left.\begin{matrix}\frac{\partial \begin{bmatrix}-\mathbf{p}_c^\wedge\omega+v \end{bmatrix}_{3\times 1}}{\partial \epsilon}\end{matrix}\right|_{\epsilon=0} \\ &=\left.\begin{matrix}\frac{\partial -\begin{bmatrix}0 & -z_c & y_c \\ z_c & 0 & -x_c \\ -y_c & x_c & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}}{\partial \epsilon}\end{matrix}\right|_{\epsilon=0} \\ &=\left.\begin{matrix}\frac{\partial -\begin{bmatrix}-z_c*\omega_2+y_c*\omega_3+v_1 \\ z_c*\omega_1-x_c*\omega_3+v_2 \\ -y_c*\omega_1+x_c*\omega_2+v_3 \end{bmatrix}}{\partial \epsilon}\end{matrix}\right|_{\epsilon=0} \\ &= -\begin{bmatrix}\mathbf{I}_{3\times 3} & \mathbf{p}_c^\wedge\end{bmatrix} \end{aligned}$
結(jié)合(5)有

$\begin{aligned} \mathbf{J}_k=\begin{bmatrix}f_x/z_c & 0 & -f_x*x_c/z_c^2 \\ 0 & f_y/z_c & -f_y*y_c/z_c^2 \end{bmatrix} \cdot -\begin{bmatrix}\mathbf{I}_{3\times 3} & \mathbf{p}_c^\wedge\end{bmatrix} \end{aligned}$

雙目誤差

$\mathbf{e}_k(\xi)=\begin{bmatrix}\mathbf{p}_{I_k} \\ u_r\end{bmatrix} - \mathbf{z}_{stereo}(\text{exp}(\xi^\wedge )\cdot\mathbf{p}_{w_k})$
$\begin{aligned} \mathbf{J}_k=\frac{\partial \mathbf{e}_k}{\partial \epsilon} &= -\frac{\partial \mathbf{z}_{stereo}(\mathbf{p}_{c})}{\partial \mathbf{p}_{c}}\cdot \left.\begin{matrix} \frac{\partial \text{exp}(\epsilon^\wedge )\text{exp}(\xi^\wedge )\cdot\mathbf{p}_{w_k}}{\partial \epsilon}\end{matrix}\right|_{\epsilon=0} \\ &= \begin{bmatrix}f_x/z_c & 0 & -f_x*x_c/z_c^2 \\ 0 & f_y/z_c & -f_y*y_c/z_c^2 \\ f_x/z_c & 0 & -f_x*(x_c-b)/z_c^2\end{bmatrix}\cdot -\begin{bmatrix}\mathbf{I}_{3\times 3} & \mathbf{p}_c^\wedge\end{bmatrix} \end{aligned}$

BA

BA問題除了需要優(yōu)化位姿還需要優(yōu)化空間點(diǎn)坐標(biāo)。位姿優(yōu)化和上節(jié)內(nèi)容一樣，現(xiàn)在來看下空間點(diǎn)坐標(biāo)優(yōu)化相關(guān)的內(nèi)容。

誤差函數(shù)同樣是計(jì)算重投影誤差：

$\mathbf{e}_k(\xi)=\mathbf{p}_{I_k} - \text{proj}(\mathbf{T}_{cw}\cdot\mathbf{p}_{w_k})$
計(jì)算關(guān)于空間坐標(biāo)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)

$\begin{aligned} \mathbf{J}_k=\frac{\partial \mathbf{e}_k}{\partial \mathbf{p}_w} &= -\frac{\partial \mathbf{z}_{stereo}(\mathbf{p}_{c})}{\partial \mathbf{p}_c}\cdot \left.\begin{matrix} \frac{\partial (\mathbf{R}_{cw}\cdot\mathbf{p}_{w}+\mathbf{t}_{cw})}{\partial \mathbf{p}_{w}}\end{matrix}\right|_{\mathbf{p}_{w}=\mathbf{p}_{w_k}} \\ &=-\begin{bmatrix}f_x/z_c & 0 & -f_x*x_c/z_c^2 \\ 0 & f_y/z_c & -f_y*y_c/z_c^2 \end{bmatrix}\cdot \mathbf{R}_{cw} \end{aligned}$
與位姿優(yōu)化一樣，雙目的時(shí)候：

$\begin{aligned} \mathbf{J}_k=\frac{\partial \mathbf{e}_k}{\partial \mathbf{p}_w} &= -\frac{\partial \text{proj}(\mathbf{p}_{c})}{\partial \mathbf{p}_c}\cdot \left.\begin{matrix} \frac{\partial (\mathbf{R}_{cw}\cdot\mathbf{p}_{w}+\mathbf{t}_{cw})}{\partial \mathbf{p}_{w}}\end{matrix}\right|_{\mathbf{p}_{w}=\mathbf{p}_{w_k}} \\ &=-\begin{bmatrix}f_x/z_c & 0 & -f_x*x_c/z_c^2 \\ 0 & f_y/z_c & -f_y*y_c/z_c^2 \\ f_x/z_c & 0 & -f_x*(x_c-b)/z_c^2\end{bmatrix}\cdot \mathbf{R}_{cw} \end{aligned}$

回環(huán)優(yōu)化

當(dāng)我們檢測到回環(huán)，假設(shè)這兩個(gè)幀分別為 $kf_i,kf_j$ ，顯然兩幀各自的變換矩陣已知 $T_{iw},T_{jw}$ ，利用兩幀中共有的特征點(diǎn)我們可以初步評估出這兩幀的相對變換矩陣 $T_{ji}$ ，將這兩幀的相對變換矩陣作為待優(yōu)化變量， $T_{ji}$ 作為待優(yōu)化的變量的觀測值（初始值）。假設(shè)系統(tǒng)的位姿十分精確，在檢測到回環(huán)后，既定的事實(shí)是 $T_{ji}*T_{iw}*T_{jw}^{-1}=\mathbf{I}$ 。顯然現(xiàn)實(shí)中SLAM系統(tǒng)在經(jīng)過長時(shí)間的運(yùn)行后，一定會出現(xiàn)誤差，那么我們優(yōu)化的目標(biāo)就是通過調(diào)整絕對位姿 $T_{iw},T_{jw}$ 使得 $T_{ji}*T_{iw}*T_{jw}^{-1}=\mathbf{I}$ 成立。誤差函數(shù)定義為兩個(gè)位姿在其切空間的殘差 $\mathbf{e}=\text{log}(T_{ji}*T_{iw}*T_{jw}^{-1})^\vee$ ，如果沒有尺度漂移，比如說雙目SLAM系統(tǒng)， $\mathbf{e}\in \mathfrak{se}(3)$ 。假設(shè)是單目SLAM系統(tǒng)，存在尺度漂移，則 $\mathbf{e}=\text{log}(S_{ji}*S_{iw}*S_{jw}^{-1})^\vee\in \mathfrak{sim}(3)$ 。通過求解優(yōu)化問題得到了優(yōu)化后的絕對位姿 $T^*_{iw},T^*_{jw}$ （或者 $S^*_{iw},S^*_{jw}$ ），還需要調(diào)整空間點(diǎn)。假設(shè) $p_{i}\in \mathbb{R}^3$ 是變換矩陣為 $T_{iw}$ 的幀中的點(diǎn)，對應(yīng)的世界坐標(biāo)點(diǎn)的點(diǎn) $p_{w_i}=T^{-1}_{iw}p_i$ ， $p^*_i=S^*_{iw}p_{w_i}$ 是校正后的幀中的點(diǎn)，其對應(yīng)的世界坐標(biāo)系值為 $p^*_{w_i}=S^{-1}_{iw}p^*_i$ 。

重點(diǎn)來了，如何求 $\mathbf{e}$ 的雅克比矩陣呢？

$\begin{aligned} \mathbf{J}_k &= \frac{\partial }{\partial \epsilon}\text{log}(T_{ji}\left.\begin{matrix} \text{exp}(\epsilon^\wedge)T_{iw}T_{jw}^{-1})^\vee\end{matrix}\right|_{\epsilon=0} \end{aligned}$
具體的結(jié)果及推導(dǎo)過程請看文獻(xiàn)[3]。

至此SLAM相關(guān)的優(yōu)化理論都已經(jīng)梳理清楚，下回我們來分析openvslam中具體實(shí)現(xiàn)過程。

參考

[1] Giorgio Grisetti, Rainer Kummerle. g2o: A general Framework for (Hyper) Graph Optimization. 2017.
[2] 高翔. 視覺SLAM十四講. 2017.
[3] Strasdat H. Local accuracy and global consistency for efficient visual SLAM[D]. Department of Computing, Imperial College London, 2012.
[4] Ethan Eade. Lie Groups for 2D and 3D Transformations.

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第六篇視覺slam中的優(yōu)化問題梳理及雅克比推導(dǎo)

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優(yōu)化問題定義以及求解