無(wú)理數(shù)，也稱(chēng)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比。比如圓周率π，歐拉數(shù)e，黃金比例φ，非完全平方數(shù)的平方根，無(wú)限的連分?jǐn)?shù)，某些等比數(shù)列數(shù)等等
公元前500年，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希伯索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對(duì)角線(xiàn)與其一邊的長(zhǎng)度是不可公度的（若正方形的邊長(zhǎng)為1，則對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)不是一個(gè)有理數(shù)），這一不可公度性與畢氏學(xué)派的“萬(wàn)物皆為數(shù)”（指有理數(shù)）的哲理大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐，認(rèn)為這將動(dòng)搖他們?cè)趯W(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位，于是極力封鎖該真理的流傳，希伯索斯被迫流亡他鄉(xiāng)，不幸的是，在一條海船上還是遇到畢氏門(mén)徒。被畢氏門(mén)徒殘忍地投入了水中殺害?？茖W(xué)史就這樣拉開(kāi)了序幕，卻是一場(chǎng)悲劇。
希伯索斯的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，證明了它不能同連續(xù)的無(wú)限直線(xiàn)等同看待，有理數(shù)并沒(méi)有布滿(mǎn)數(shù)軸上的點(diǎn)，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經(jīng)后人證明簡(jiǎn)直多得“不可勝數(shù)”。于是，古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想徹底地破滅了。不可公度量的發(fā)現(xiàn)連同芝諾悖論一同被稱(chēng)為數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，對(duì)以后2000多年數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，促使人們從依靠直覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)而轉(zhuǎn)向依靠證明，推動(dòng)了公理幾何學(xué)和邏輯學(xué)的發(fā)展，并且孕育了微積分思想萌芽。
根號(hào)2
根號(hào)2是一個(gè)無(wú)理數(shù)的證明：
https://www.youtube.com/watch?v=mX91_3GQqLY
這種假設(shè)一個(gè)數(shù)為有理數(shù)，并且是兩個(gè)整數(shù)的分?jǐn)?shù)形式的證明方法（反證法），是所有無(wú)理數(shù)證明中的常用方法~
這里介紹了一共五中對(duì)根號(hào)2是無(wú)理數(shù)的證明：
https://www.youtube.com/watch?v=zEXcsZo4hOQ
π
π 是無(wú)理數(shù)的經(jīng)典證明，是由250年前的 Johann Lambert 做出的：
https://www.youtube.com/watch?v=Lk_QF_hcM8A
π 是無(wú)理數(shù)的一個(gè)簡(jiǎn)單的證明：
https://www.youtube.com/watch?v=jGZtVl4XfGo
澳大利亞2003年高中數(shù)學(xué)考試（17歲左右），就出現(xiàn)過(guò)對(duì)π是無(wú)理數(shù)的證明題：
The Higher School Certificate (HSC) is the credential awarded to secondary school students who successfully complete senior high school level studies in New South Wales, Australia.
e
e 是無(wú)理數(shù)的一個(gè)證明：
https://www.youtube.com/watch?v=Xh0Q0VJ-6X0
φ
φ 的證明：
https://www.youtube.com/watch?v=dTWKKvlZB08
因?yàn)?根號(hào)5 是無(wú)理數(shù)，所以 φ 自然也是無(wú)理數(shù)
戴德金分割（Dedekind cut）
在實(shí)數(shù)和連續(xù)性理論方面，Dedekind 提出 Dedekind cut，給出了無(wú)理數(shù)及連續(xù)性的純算術(shù)的定義。1872年，他的《連續(xù)性與無(wú)理數(shù)》出版，使他與G.康托爾、K.魏爾斯特拉斯等一起成為現(xiàn)代實(shí)數(shù)理論的奠基人。
