欧美自拍第十页,99热这只有

第二講：平面直角坐標(biāo)系下曲線運(yùn)動(dòng)的描述

—— 以圓周運(yùn)動(dòng)為例

本次課會(huì)涉及下列數(shù)學(xué)符號(hào) f(x)

$\Delta$ , $\vec{r}$ , $\vec{i}$ , $\frac{x}{y}$ , $\cos(t)$ , $\omega$ , $t_2$ , $t_1$ , $\sqrt{x}$ , $v_x^2$ , $\pi$ , $\neq$

對(duì)應(yīng)的代碼為

$\Delta$, $\vec{r}$, $\vec{i}$, $\frac{x}{y}$, $\cos(t)$, $\omega$, $t_2$, $t_1$, $\sqrt{x}$, $v_x^2$, $\pi$, $\neq$

知識(shí)點(diǎn)

平面直角坐標(biāo)系下的矢量

$\vec{f}=f_x\vec{i}+f_y\vec{j}$

有大小，有方向。大小為 $f=|\vec{f}|=\sqrt{f_x^2+f_y^2}?$

我們約定，小寫(xiě)字母 $f$ 都是對(duì)應(yīng)的矢量 $\vec{f}?$ 的大小。
位矢 $\vec{r}?$ ，速度 $\vec{v}?$ , 加速度 $\vec{a}?$

? $\vec{r}=4t\vec{i}-\frac{1}{2}gt^2\vec{j}?$

? 則速度 $\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=4\vec{i}-gt\vec{j}$

? 加速度 $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=-g\vec{j}$

? 借助速度和加速度，我們可以對(duì)運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析：該運(yùn)動(dòng)為水平速度恒定，豎直方向加速度恒定的運(yùn)動(dòng)。
軌跡方程 關(guān)于 $y(x)$ 的方程，不關(guān)心時(shí)間。
- 寫(xiě)成分量式
  $\begin{cases} x=4t & ,\\ y=-\frac{1}{2}gt^2 & , \end{cases}$
- 消元法除掉 $t$ ，只得到 $y(x)$ 即可。
位矢的大小 $r$ ，速率 $v$ ，加速度的大小 $a?$

例子：

? $\vec{r}=3t^2\vec{i}+3\sin(4t)\vec{j}$ ，求 $\vec{v}(t)$ , $v(t)$ , $a(t)$ , 以及何時(shí)加速度最大。

$\vec{v}=6t\vec{i}+12\cos 4t \vec{j}$

? $v=\sqrt{36t^2+144(\cos 4t)^2}?$

? $a\neq\frac{dv(t)}{dt}$ 對(duì)嗎？~~不對(duì)！反例：勻速率圓周運(yùn)動(dòng)。~~
- $a=|\frac{d\vec{v}(t)}{dt}|$
**一段時(shí)間的路程 $\Delta s$ ，半徑的增量 $\Delta r$ ，位移 $\Delta \vec{r}?$ **
- $\Delta s$ 的幾何意義：起點(diǎn)、終點(diǎn)間軌跡的長(zhǎng)度
- $\Delta \vec{r}?$ 的幾何意義：起點(diǎn)指向終點(diǎn)的有向線段
- $\Delta r$ 的幾何意義：與原點(diǎn)間距離的增量
- $\Delta S \ge |\Delta \vec{r}|?$
  - 等號(hào)成立的條件：
    - 極限情況 $dS = |d\vec{r}|$
    - 單向直線運(yùn)動(dòng)
曲線運(yùn)動(dòng)的加速度 $\vec{a}?$
- 勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度
  - 向心加速度，或法向加速度，符號(hào) $a_n$ 。作用是改變速度的方向。
- 直線運(yùn)動(dòng)的加速度
  - 切向加速度。符號(hào) $a_t$ 。作用是改變速度的大小。
- 變速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度
  - $\vec{a}=a_n \vec{e}_n + a_t \vec{e}_t=\frac{v^2}{R} \vec{e}_n + \frac{dv}{dt} \vec{e}_t?$
- 一般曲線運(yùn)動(dòng)的加速度表達(dá)式
  - 加速度的大小
  - 曲率半徑

表達(dá)題

設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 $\vec{r}=R\cos\omega t\ \vec{i}+R\sin\omega t\ \vec{j}$ (式中 $R$ 、 $\omega$ 皆為常量) 則質(zhì)點(diǎn)的速度、速率為

運(yùn)動(dòng)學(xué)的一個(gè)核心問(wèn)題是已知運(yùn)動(dòng)方程，求速度和加速度。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為
$\begin{cases} x=-10t+30t^{2} & ,\\ y=15t & , \end{cases}$
則軌跡方程， $t?$ 時(shí)刻的速度與速率

速度的表達(dá)式為 $\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}(t)}{dt}$ ，初學(xué)者可能誤認(rèn)為對(duì)于任意時(shí)刻 $t_{0}$ 有 $\vec{v}(t_{0})=\frac{d\vec{r}(t_{0})}{dt}$ ，這是錯(cuò)誤的。這只是一個(gè)記號(hào)，它的真實(shí)含義是任意時(shí)刻 $t_{0}$ ， $\vec{v}(t_{0})=\frac{\vec{r}(t_{0}+dt)-\vec{r}(t_{0})}{dt}$ ，實(shí)際運(yùn)算中用求導(dǎo)法則計(jì)算。比如，已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 $\vec{r}(t)=2t\vec{i}+(4-t^{2})\vec{j}$ ，則 $t=2$ 時(shí)刻位矢為 $\vec{r}(2)=4\vec{i}$ , 那么 $t=2$ 時(shí)刻的速度呢？ $\vec{v}=\frac{d(4\vec{i})}{dt}=0$ 嗎？遵循這一思路，請(qǐng)求出該質(zhì)點(diǎn)在 $t=2$ 時(shí)刻的加速度

理解抽象符號(hào)是深入學(xué)習(xí)的必備條件之一。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，在 $t$ 時(shí)刻位矢為 $\vec{r}$ ,離開(kāi)原點(diǎn)的距離為 $r$ (簡(jiǎn)稱半徑，大小為 $r=|\vec{r}|$ )；在 $t'$ 時(shí)刻位矢為 $\vec{r}'$ ,離開(kāi)原點(diǎn)的距離為 $r'$ ；在 $t$ 至 $t'$ 時(shí)間內(nèi)：走過(guò)的路程(軌跡的長(zhǎng)度)為 $\Delta s$ , 位矢的增量(末態(tài)-初態(tài),簡(jiǎn)稱位移)為 $\Delta\vec{r}=\vec{r}'-\vec{r}$ ，半徑的增量為 $\Delta r$ ( 末態(tài)-初態(tài)，大小為 $\text{Δ}r=r'-r$ )。設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、以1為半徑，做逆時(shí)針的圓周運(yùn)動(dòng)， $t$ 時(shí)刻在(1,0)位置， $t'$ 時(shí)刻第一次轉(zhuǎn)到(0,1)位置。則這短時(shí)間內(nèi)的 $\Delta s$ 、 $\text{Δ}\vec{r}$ 、 $\Delta r$ 分別為

一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)的位矢為，對(duì)其速度的大小為
- (1) $\frac{dr}{dt}?$ ；
- (2) $\frac{d|\vec{r}|}{dt}?$ ；
- (3) $\frac{ds}{dt}?$ ；
- (4) $\sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}}?$ .

上述判斷正確的是

曲線運(yùn)動(dòng)中，加速度經(jīng)常按切向 $\vec{e}_{t}?$ 和法向 $\vec{e}_{n}?$ 進(jìn)行分解： $\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}?$$=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}?$ 借助熟悉的例子來(lái)構(gòu)建其直觀物理圖像，有助于理解并記憶這些復(fù)雜的公式。在彎曲的軌道上勻速率行駛的火車，
(1) $\vec{a}_{t}\neq0?$ ，
(2) $\vec{a}_{t}=0?$ ，
在直線上加速跑向食堂的小伙伴，
(3) $\vec{a}_{t}\neq0?$ ，
(4) $\vec{a}_{t}=0?$ ，
變速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，
(5) $\vec{a}_{t}\neq0?$ ， $\vec{a}_{n}=0?$ 。
(6) $\vec{a}_{t}\neq0?$ ， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}?$ 不就是高中學(xué)過(guò)的向心加速度嘛。
上述判斷正確的為

質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，對(duì)下列表述中，
- (1) $dv/dt=a?$ ；
- (2) $dr/dt=v?$ ；
- (3) $ds/dt=v?$ ；
- (4) $|d\vec{v}/dt|=a_{t}?$ ．
  
  正確的是(　　)

一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),則下列說(shuō)法正確的是( )
- 切向加速度一定改變,法向加速度也改變
- 切向加速度可能不變,法向加速度一定改變
- 切向加速度可能不變,法向加速度不變
- 切向加速度一定改變,法向加速度不變

物體作斜拋運(yùn)動(dòng)，初速度大小為 $v_{0}$ ，且速度方向與水平前方夾角為 $\theta$ ，則物體軌道最高點(diǎn)處的曲率半徑為( )。

法向加速度和切向加速度的核心公式是需要記憶的： $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}$ 和 $a_{t}=\frac{dv}{dt}$ 。質(zhì)點(diǎn)沿半徑為 $R$ 的圓周運(yùn)動(dòng)，其角位移隨時(shí)間 $t$ 的變化規(guī)律是 $\theta=2+4t^{2}$ 。在 $t=1$ 時(shí)，它的法向加速度和切向加速度分別為( )

質(zhì)點(diǎn)P在水平面內(nèi)沿一半徑為 $1$ 的圓軌道轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為 $\omega=kt$ (k為常量)。已知 $t=2$ 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)P的速度值為 $4$ 。試求 $t=0$ 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)P加速度的大小為()