已經(jīng)穿越過了除法浪漫階段學(xué)習(xí)的小貝殼，對于除法運算有哪些認(rèn)識呢？
兒童最早對于運算的認(rèn)識，并不來自于抽象的數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系表達(dá)，而是具體的動作操作過程。與加減乘法一樣，除法也可以放到動作操作中去理解它的本質(zhì)含義。在浪漫階段小貝殼們已經(jīng)認(rèn)識到了除法既可以表示“平均分”有可以表示“包含除”，但這個理解僅僅是在具體的操作活動中，如果在故事情景中又該如何描述呢？小貝殼們還不清楚。
在棋子拆分游戲中小貝殼們已經(jīng)感受到了除法與加減乘之間的關(guān)系，但乘法與除法之間的互逆關(guān)系，還沒有被他們明確感受到。
如何快速得到一個除法運算的結(jié)果，除法運算彼此之間是不是也存在著關(guān)系，這個問題也會再次引起兒童的濃厚興趣。
隨著浪漫階段的結(jié)束，精確部分的學(xué)習(xí)正式開始。
一? 如何為除法算式編數(shù)學(xué)故事？
48÷6=？這個除法算式是什么意思呢？你能結(jié)合它的含義為它編制合理的數(shù)學(xué)故事嗎？
孩子們?nèi)匀恍枰氐狡遄硬僮鞯那榫爸腥ダ斫馄骄旨鞍暮x，但這個時候的描述已經(jīng)不需要動作操作了，文字語言配上圖形語言可以幫助他們溝通除法的本質(zhì)含義。
結(jié)合除法的平均分含義，小貝殼們很快就編織出了很多數(shù)學(xué)故事——
但是在編制包含除算式的時候，小貝殼們就遇到了很大的困難：
1.未知量和已知量分不清，48÷6=？孩子們會直接用答案8作為數(shù)學(xué)故事的已知信息：有48朵花，每個花瓶里面放8朵花，可以放6個花瓶。
2.平均分和包含除分不清，不自覺地就會用編制一個平均分故事。
3.除法算式中的份數(shù)和每份的個數(shù)中這兩個量不能很好地在故事中進(jìn)行解釋。
我陷入和新一輪的反思中：問題出在哪里呢？結(jié)合棋子拆分游戲孩子們可以解釋包含除的含義，為什么到了編故事環(huán)節(jié)，就會出問題呢？
在和多個小貝殼的對話過程中，我明白了，在我們前面的棋子游戲和日常生活中兒童更多接觸到的是平均分情景，而包含除問題在兒童生活中很少遇到，即使遇到了也不會把它看成是一個除法問題，而是通過減法進(jìn)行處理，前面的教學(xué)中，并沒有充分喚醒兒童的已有經(jīng)驗，來幫助兒童從另外一個角度理解除法運算，即等分棋子游戲。
現(xiàn)在要兒童認(rèn)識到包含除也是等分棋子的一種方法，那就要帶著兒童親自動手去感受。從這個一個情景入手，問小貝殼：小男孩完成了12根香蕉的等分活動，他是怎么分的？還可以怎么分？
孩子們不難發(fā)現(xiàn)，小男孩的等分方法和我們之前的等分方法不一樣，這里的先確定了每份的個數(shù)而不是等分的份數(shù)。當(dāng)然我們還可以每3根香蕉一份，每6根香蕉一份，每2根香蕉一份；這個時候列出的除法算式就不能用平均分進(jìn)行解釋了，包含除含義也就是在動作操作中被賦予了屬于自己的含義，“每份的個數(shù)”這個名詞就不再是畫在之上的圖形，而是動作操作中的一部分。
我也再次體會到低段教學(xué)過程中，千萬不要妄想將一個抽象的概念直接塞給兒童，任何數(shù)理邏輯只有在動作邏輯中解釋得通，才會被兒童接受。
在理解的基礎(chǔ)上孩子們才能編出好玩的數(shù)學(xué)故事。
二 乘法與除法到底是什么關(guān)系？
在前面大量的棋子拆分游戲中，很多小貝殼們其實都已經(jīng)開始不由自主地用起了乘法口訣來解釋自己的拆分結(jié)果，但是要讓他們說清楚除法與乘法之間到底是怎樣的關(guān)系，他們立馬就會犯難，這種模糊不清的感覺會讓他們的非常難受。那么在這部分學(xué)習(xí)中我們就來搞定它。
矩陣圖是小貝殼門非常熟悉的數(shù)學(xué)模型，他們很容易就能得到一個乘法算式。結(jié)合除法的平均分和包含除觀念他們也能很快得到相應(yīng)的除法算式。
在分析每個算式的具體含義中，他們發(fā)現(xiàn)：乘法3×4=？是已知每份的個數(shù)和份數(shù)，求總數(shù)是多少；而12÷3=4（或12÷4=3）是已知總數(shù)和每份的個數(shù)（份數(shù)）求份數(shù)（或每份的個數(shù)），兩者之間存在著一種互逆關(guān)系??！同時被喚醒的還有一年級學(xué)習(xí)的加法和減法之間的關(guān)系。
這樣的溝通之后，加減乘除彼此之間的關(guān)系就更加清楚了，他們在兒童腦海中也會是更加鮮活的存在。
三? 制作數(shù)字樹
穿越過課程的孩子，對于數(shù)字樹是非常熟悉的。如果要他們做一棵關(guān)于除法的數(shù)字樹，他們會怎么做呢？
啊！說實話，挺難的。瞧瞧這稀稀疏疏生長起來的數(shù)字枝，小貝殼們還真有點不敢下筆啊！這和他們還不是很牢固的除法觀念有很大的關(guān)系。有個小家伙直接留言：老師不好做啊！你看看紅色筆圈起來的部分，我覺得有問題啊！但是問題在哪里呢？
是啊，加減乘法數(shù)字?jǐn)?shù)的制作過程中，我們可以直接按照數(shù)的順序依次創(chuàng)造數(shù)字樹，但是除法好像不可以啊！12÷3=4——12÷4=3——12÷5=？不能整除?。?2÷6=2——12÷7=？好像又不能整除了！
遇到問題就是最好的學(xué)習(xí)狀態(tài)！孩子們需要不斷結(jié)合動作操作和實際背景去理解自己創(chuàng)造的每個數(shù)字樹的含義。
12顆棋子只能平均分給3個人嗎？還可以怎么分？于是一個新的“枝干”就被創(chuàng)造了出來。你發(fā)現(xiàn)了什么？——在棋子總數(shù)不變的情況下，如果份數(shù)越多，每份的個數(shù)就會越來越少！
如果棋子的總數(shù)從12顆變成了13顆，我還能平均分給3個人嗎？14顆呢？15顆呢？在動作中兒童很快就明白了，要想整除，被除數(shù)的變化不能是隨意的，每次都需要增加3顆。小貝殼們在動作中已經(jīng)感受到了要想整除，被除數(shù)的變化需要每次都是除數(shù)的整數(shù)倍。當(dāng)然這里的理解完全是動作化的，非抽象的。但這確是非常寶貴的經(jīng)驗，為我們之后的帶余數(shù)除法中探索各部分之間的關(guān)系做好了準(zhǔn)備。
如果，我想讓被除數(shù)和除法都變怎么辦？孩子們?nèi)匀皇窃趧幼骱颓榫肮适轮腥ゲ僮骱透惺埽好吭黾右粋€人，也就是份數(shù)增加1份，總數(shù)就會增加4個……將我們的動作操作再次記錄下來，就又是一個新的數(shù)字樹的枝干。
沒有所謂的規(guī)律總結(jié)，對于小貝殼們而言，每一個算式都可以有很多種玩法，認(rèn)識到這一點就足夠了。那些規(guī)律遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有他們每一次的動作操作過程來的重要，只有在這個過程中孩子們才能感受到被除數(shù)，除數(shù)和商之間的關(guān)系。
而且每個人的感覺是不一樣的——
每一種體會都是珍貴的——
還有，剛剛開始發(fā)芽的——
歲月有聲，你們就是它的歌唱者！
