-賭王何鴻燊-
2020年5月26日，賭王何鴻燊逝世，享年98歲。
這一天中午，港澳地區(qū)突降大雨。
這位知名的港澳企業(yè)家，素有“澳門賭王”之稱的傳奇人物，至此謝幕。
1961年，澳葡政府規(guī)定博彩業(yè)須通過專營制度實(shí)施。
何鴻燊看準(zhǔn)時(shí)機(jī)，接手葡京賭場，從此事業(yè)蒸蒸日上。
直至今日，何鴻燊及其家族控制著高達(dá)5000億港元的資產(chǎn)。
何鴻燊
曾有人請教何鴻燊：“如果他們老是贏怎么辦？”
老爺子說過一句名言：“不怕你贏，就怕你不來。”
在何鴻燊的眼中，他是不可能輸?shù)摹?/p>
因?yàn)樗€的不是運(yùn)氣，而是數(shù)學(xué)。
一個(gè)現(xiàn)代的賭場，它集中了概率學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等諸多知識(shí)。
所謂的各種致勝絕技，除了《賭圣》里的周星馳，現(xiàn)實(shí)世界里的周潤發(fā)都不信。
一個(gè)癡迷于發(fā)財(cái)夢的賭徒永遠(yuǎn)不明白，與自己對賭的不是運(yùn)氣，也不是莊家，而是狄利克雷、伯努利、高斯、納什、凱利這樣的數(shù)學(xué)大師，贏的概率能有多大？
—看得到的是概率
? ? ? 看不見的是陷阱—
何鴻燊的記憶力和算力一直堪稱神奇，
他創(chuàng)業(yè)期間，澳門的兩千多個(gè)電話號(hào)碼，他能倒背如流。
直接比復(fù)雜的賭博游戲，在數(shù)學(xué)上可能比不過。
就來一個(gè)最簡單的玩法：與何鴻燊比拋硬幣。
規(guī)則是這樣的：
·擲硬幣，正面贏反面輸，如果你贏了可以拿走比賭注多一倍的錢，如果輸了則會(huì)賠掉本金。
你一聽可能覺得這游戲還不錯(cuò)，公平！
于是你拿出了身上的100元來玩這個(gè)游戲，每次下注5元，這樣你至少有20次的下注機(jī)會(huì)。
不過，你運(yùn)氣不太好，第一把就是反面，輸了5塊錢。
生性樂觀的你覺得沒什么，反正不管怎么說，贏面都有50%，下一把就可以贏回來。
結(jié)果，很快你就把身上的錢都輸光了。
你百思不得其解，明明是公平的50%贏面，在50%概率下至少不會(huì)虧本的，可為什么最后會(huì)輸光？
事實(shí)上，你以為自己看到了50%的概率，把游戲看得透徹明白，殊不知，你看到了概率，卻沒有看到背后的陷阱：大數(shù)定律。
—大數(shù)定律—
你覺得游戲是公平的：
一正一反，均為50%概率，按照大數(shù)定律來說，這是必然規(guī)律。
然而，你有沒有想過，正是這種你以為的“公平”，讓你誤解了大數(shù)定律，才陷入了“賭徒謬論”里呢？
先來看看這種讓你覺得“公平”的大數(shù)定律究竟是什么。
它是數(shù)學(xué)家伯努利提出的：
假設(shè)n是N次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是每一次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率，那么，當(dāng)N趨于無窮時(shí)：
式中n表示發(fā)生次數(shù)，N表示試驗(yàn)總次數(shù)。
也就是說，大量重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象里其實(shí)藏著某種必然規(guī)律。
還是以擲硬幣為例，當(dāng)投擲次數(shù)足夠大時(shí)，出現(xiàn)正（反）面的頻率將逐漸接近于1/2，且隨著投擲次數(shù)的增加，偏差會(huì)越來越小，如下圖。這是最早發(fā)現(xiàn)的大數(shù)定律之一。
擲硬幣頻率分布圖
從表面概率看，這確實(shí)是場公平的游戲。
但這種公平是有一定條件的，注意，這就是普通人看不到的。
大數(shù)定律講究“大量重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象”，只有足夠多次試驗(yàn)才能使得硬幣正反面出現(xiàn)次數(shù)與總次數(shù)之比幾乎等于1/2。
可具體多少次才算“足夠多”？才能夠把它用在個(gè)人對賭上？
沒有人知道。因?yàn)?，概率論給出的答案是——無窮大。誰也不知道無窮大有多大，只知道這是一個(gè)令人仰望的數(shù)量。
可投擲硬幣次數(shù)越小，大數(shù)定律的身影就越模糊，可能10次中5正5反，也可能9正1反，也可能10正0反或0正10反……
現(xiàn)實(shí)往往是，在遠(yuǎn)未達(dá)到“足夠多”次試驗(yàn)時(shí)，你就已經(jīng)輸了個(gè)精光了。
你覺得自己比何鴻燊更有錢嗎？
你身上有100元結(jié)果如此，你身上有10000元結(jié)果也是如此，就算你身上有一百萬也是如此，因?yàn)槟阌肋h(yuǎn)不可能有“足夠多”。
“輸贏概率為50%”，這本身就具有很大的誤導(dǎo)性。在硬幣拋出之前，50%的概率代表的是可能性；在硬幣拋出之后，50%代表的是結(jié)果的統(tǒng)計(jì)平均值，卻并不是實(shí)際分布值。
這是你對大數(shù)定律的誤解之一。
把“大數(shù)定律”當(dāng)“小數(shù)定律”，覺得游戲是無條件“公平”的，正面和反面出現(xiàn)的頻率都為1/2。
這種在潛意識(shí)里被奉為圭臬的“公平”，緊接著讓你踏入了第二個(gè)誤解——“賭徒謬論”。
當(dāng)你玩游戲連輸時(shí)，你的心底突然冒出一個(gè)神秘的聲音，它激動(dòng)地朝你吶喊：穩(wěn)住，風(fēng)水輪流轉(zhuǎn)，下一把你很有可能就要贏了何鴻燊！
而其實(shí)，上一把和下一把之間并沒有任何聯(lián)系。
就好比一個(gè)笑話：
在乘坐飛機(jī)時(shí)帶著一枚炸彈就不會(huì)遇上恐怖分子了，因?yàn)橥患茱w機(jī)上有兩枚炸彈的可能性是極小的。
兩者如出一轍，都把獨(dú)立事件誤認(rèn)為是互相關(guān)聯(lián)的事件。
要知道，大數(shù)定律的工作機(jī)制，可不是為了平衡對抗。
在這場游戲中，任意兩次事件之間并不會(huì)相互產(chǎn)生影響。
賭局是沒有記憶的，哪怕你曾經(jīng)輸了多次，它也不會(huì)因此給你更多勝出的機(jī)會(huì)。
—只要進(jìn)了賭場
? ? ? ? 你就是一個(gè)窮鬼—
你不服，想與何鴻燊再來一把。
游戲仍然很簡單：還是拋硬幣。
何鴻燊沒有別的要求，這次你要來他的賭場賭。
規(guī)則還和前面一樣：擲硬幣，正面贏反面輸，如果你贏了可以贏走比賭注多一倍的錢，如果輸了則會(huì)賠掉本金。
這一次你運(yùn)氣很不錯(cuò)，第一把你就贏了何鴻燊100元！可把你高興壞了！
但是和前面的個(gè)人對賭相比，這次多了一個(gè)賭場。
賭場跟你說：“你看你也贏了這么多，我呢，辛辛苦苦搭個(gè)場子，最后什么都沒撈著。要不這樣，你贏了，就給我留下2%當(dāng)流水，就算是救濟(jì)救濟(jì)老哥，給捧捧場！”
你想了下，2%也不多，拿去吧，不差錢！好了，這事就這么定下來了。
—賭徒破產(chǎn)困境—
一鼓作氣，鴻運(yùn)當(dāng)頭。第1把，贏；第2把，贏；第3把……
你覺得自己被幸運(yùn)女神眷顧，一身富貴命。
可早在18世紀(jì)初，那群熱愛賭博的概率論數(shù)學(xué)家們，就提出了那個(gè)讓賭徒聞風(fēng)喪膽的破產(chǎn)噩夢：
在“公平”的賭博中，任何一個(gè)擁有有限賭本的賭徒，只要長期賭下去，必然有一天會(huì)輸個(gè)精光。
我們來看看，為什么那么多長期賭徒都輸成了窮光蛋？錢都到哪去了？
假如你的小金庫是r，你帶著小金庫和莊家開始了一場追逐多巴胺刺激的賭博游戲，打算贏得s后就離開，每一局你贏得籌碼的概率為p，那你輸光小金庫的概率有多大呢？
我們可以在馬爾科夫鏈、二項(xiàng)分布、遞推公式等的助攻下，列出一組組粗暴的、令人頭皮發(fā)麻的函數(shù)，但也許它們都不如一張二維模擬圖來得直白，如下圖所示。
賭徒破產(chǎn)定理模擬圖
把不同r對應(yīng)的f（r，n）和f（r，s，p）放到同一個(gè)圖中進(jìn)行比較，它形象地揭示了賭徒輸光定理的含義：所謂的“公平”賭博，其實(shí)并不公平。
在f（r，n）中，隨著次數(shù)n的增加，賭徒輸光的概率會(huì)逐漸增加并趨近于1，并且r越小，這種趨勢越明顯。這說明在公平賭博的情況下，擁有籌碼更少的賭徒會(huì)更容易破產(chǎn)。
你真能從莊家那里虎口奪食、在贏面和籌碼中PK一把嗎？
答案，顯然是難乎其難的。
第一，莊家不是賭徒。
莊家的背后是賭場，也就意味著莊家相比于你，擁有“無限財(cái)富”。你的小金庫永遠(yuǎn)比不過莊家的賭場錢莊，這也意味著，你比莊家更容易山窮水盡。
當(dāng)然，也許你家里有礦，壕到一擲千金，壕到家產(chǎn)超過5000億。
但超級(jí)賭場也會(huì)設(shè)置最大投注額，這并不是他們好心，想保護(hù)你免遭破產(chǎn)，他們只是為了自保才設(shè)計(jì)了一道安全屏障，來抵抗“無限財(cái)富”帶來的破產(chǎn)威脅。畢竟萬一哪天比爾蓋茨去賭場找樂子，一次性砸個(gè)幾百億進(jìn)去，那賭場老板恐怕真的要哭了。
? 第二，莊家是“抽水”收入。
忘了拋幣游戲中那毫不起眼的2%了嗎？賭徒贏錢后，莊家會(huì)從賭徒手中抽取一定比例的流水傭金。
這樣一來，即使你有一個(gè)小金庫足以和莊家慢慢磨，打一場持久戰(zhàn)，但贏得越多，為莊家送去的“抽水”越多。長此以往，你還是輸了，錢都進(jìn)了莊家的口袋。
最終，莊家賺的錢只跟賭徒下注大小有關(guān)。
你還是難以逃開那個(gè)牢籠般的魔咒，一步一步，走向了兩袖清風(fēng)、空空如也的境地。
這世上，天才終究是少數(shù)，而“賭神”、“賭王”之所以成為普通賭徒難以望其項(xiàng)背的存在，不僅因?yàn)樗麄兩钪O賭徒心理，也不僅因?yàn)樗麄兌€場規(guī)則，更因?yàn)樗麄兌迷撓伦⒍嗌佟?/p>
—賭王的眼中只有“窮鬼”—
在賭王何鴻燊的眼里，世界上或許只有兩種人：
一種現(xiàn)在是窮鬼，一種未來是窮鬼。
但有時(shí)賭場老板也會(huì)有所忌憚，特別是遇到善用數(shù)學(xué)博弈的高手之時(shí)。
其中，凱利公式在高級(jí)賭徒的世界里大名鼎鼎，是頂級(jí)高手常用的數(shù)學(xué)利器。
它也是賭場老板最擔(dān)心被暴露的賭場秘密。
那什么是凱利公式，我們先看一個(gè)例子：
一個(gè)1賠2（不包括本金）的簡單賭局，扔硬幣下注，假設(shè)賭注為1元，硬幣如果為正面則凈贏2元，如果為反面則輸?shù)?元?，F(xiàn)在你的總資產(chǎn)為100元，每一次的押注都可投入任意金額。
你會(huì)怎么賭呢？已知擲硬幣后正反面的概率都為50%，賠率是1賠2（不包括本金），那么這個(gè)賭局其實(shí)只要耐心不斷地去下注，再拋開不公平因素的干擾，幾乎就能賺。
因?yàn)閿S硬幣次數(shù)越多，其正反面出現(xiàn)概率就越會(huì)穩(wěn)定在50%，收益2倍，損失卻只是1倍，從數(shù)學(xué)上講那是穩(wěn)賺不賠的賭局。
但實(shí)際情況卻可能會(huì)有偏差。
· 如果你是冒險(xiǎn)主義者
你可能會(huì)想，要玩就玩票大的，All In！一次性把100元全押上，幸運(yùn)的話，一次正面就可以獲得200元，又是一段值得炫耀的賭史?？墒牵绻斄?，得把100元資產(chǎn)拱手獻(xiàn)給對方，你就一無所有。好不容易來趟拉斯維加斯，這肯定不是明策。
·? 如果你是保守主義者
你可能會(huì)想，謹(jǐn)慎點(diǎn)，百分之一慢慢來。
你每次只下注1元，正面贏2元，反面輸1元。
玩了20把突然覺得，對方下注10元一次就贏得20元，自己1次才贏2元、10次才能贏得20元，感覺自己已經(jīng)錯(cuò)過幾個(gè)億而開始后悔！
那到底該以多少比例下注才能獲得最大收益呢？
普通賭徒一般一臉茫然，但凱利公式卻能夠告訴我們答案：
計(jì)算后每次下注比例為當(dāng)時(shí)總資金的25%，這樣就能獲得最大收益。
—賭場大BOSS：凱利公式—
讓我們來看看凱利公式的廬山真面目：
在公式中，各參數(shù)意義為：
f? = 應(yīng)投注的資本比例；
p = 獲勝的概率（也就是拋硬幣正面的概率）；
q = 失敗的概率，即（1 - p）（也就是硬幣反面的概率）；
b = 賠率，等于期望盈利 ÷可能虧損（也就是盈虧比）；
公式上面的分子（bp-q）代表“贏面”，數(shù)學(xué)中叫“期望值”。
什么才是不多不少的合適賭注呢？凱利告訴我們要通過選擇最佳投注比例，才能長期獲得最高盈利。
回到前面提到的例子中，硬幣拋出正反面的概率都是50%，所以p、q獲勝失敗的概率都為0.5，而賠率＝期望盈利÷可能虧損=2元盈利÷1元虧損，賠率就是2，我們要求的答案是f，也就是（bp - q） ÷ b = （2 * 50% - 50%） ÷ 2 = 25%。
由此，我們根據(jù)凱利公式的計(jì)算而得投注比例，每次都拿出當(dāng)前手中資金的25%來進(jìn)行下注。設(shè)初始資金為100，硬幣為正面時(shí)收益為投注的2倍，為反面則失去投注金額。在下表中，我們模擬計(jì)算了10次賭局的收益情況。
表2-25%投注下10次收益表
表2-25%投注下10次收益表
表1從先正后反的情況計(jì)算了收益，而表2則計(jì)算了正反分布交錯(cuò)情況下的收益結(jié)果。
比較兩表，我們最終可以發(fā)現(xiàn)其收益是相等的，硬幣出現(xiàn)正反面的先后順序?qū)τ谧罱K收益的計(jì)算結(jié)果并無影響。
而按25%的投注比例進(jìn)行投注，收益基本呈現(xiàn)穩(wěn)步增長的大趨勢。
但假設(shè)投注比例為100%時(shí)，10次當(dāng)中只要出現(xiàn)任意一次的反面，就會(huì)徹底輸光身上的所有錢，直接出局，且每輪反面概率還為50%；
而每次1元1元地投注，也就是投注比例為1%的時(shí)候，10次數(shù)學(xué)上的收益為100+10×50%×2+（-1）×10×50%=105，這風(fēng)險(xiǎn)很小，不過收益太低。由此看來，凱利公式才是最大的贏家。
賭場操盤者每一次下注的時(shí)候，都會(huì)謹(jǐn)記數(shù)學(xué)原則；而作為普通賭徒，除了心中默念“菩薩保佑”外，哪里知道這后面的數(shù)學(xué)知識(shí)。
所以，就算你贏得了財(cái)神爺?shù)闹С?，但你也永遠(yuǎn)贏不了“凱利公式”。
—除非100%贏
? ? ? 否則任何時(shí)候都不應(yīng)下注—
所有的賭場游戲，幾乎都是對賭徒不公平的游戲。
但這種不
