【前言】

用方程解決行程問題是人教版五年級上冊第五單元解簡易方程的收尾部分。在此之前，學生已經(jīng)學過方程的意義和解方程的方法，以及方程解決問題中的和差倍等問題。以前學生接觸過一個物體的運動過程，本節(jié)課將帶領學生探究兩個物體運動的過程。

【課堂設計】

板塊一、（借助學生演示，直觀感知生活中的行程問題）

1、出示例1

（1）相遇問題：小林每分鐘騎250m，小云每分鐘騎200m。小林家和小云家相距4.5km。周日早上9：00 兩人分別從家騎自行車相向而行，兩人何時相遇？

（2）追及問題：快車、慢車分別從相距120 km的A、B站同時開出，同向而行?？燔嚸啃r行80 km，慢車每小時行40 km?？燔囋趲仔r后追上慢車？

2、（請2位學生上臺演示活動1，并解釋為什么這樣運動，其他同學補充）

?洛：“我是這樣理解的，小林的速度是每分鐘250m，小云的速度是每分鐘200m，4.5km這就是他們兩家的距離。他們9點從家里出門開始走，相向而行就是面對面走，直到相遇。”

生：“最重要的是，他們運動的時間是一樣的！”

（學生演示活動2，并解釋為什么這樣運動，其他同學補充）

梓：“肯定是快車追慢車”

睿：“慢車在后面就追不上了，所以快車出發(fā)點在慢車的后面”

燚：“他們是往同一個方向運動的”

板塊二、（學生自主建構(gòu)，感知數(shù)學中的相遇與追及問題，并進行對比。）

?請同學們畫圖表示物體運動過程，獨立完成。

（有的同學畫出了線段圖）：

（例1第（1）小題學生作圖）

（有的同學畫出了柱狀圖）：

（例1第（1）小題學生作圖）

有的同學利用之前學過的柱狀圖模型，腦中已經(jīng)在構(gòu)建總量和各部分量之間的關系，且在圖中也大體表示出了題中的信息。

（例1第（2）小題學生作圖）

?洛：“我用三角形表示他們兩個出發(fā)的地點和相遇地點，再表示出他們的速度?！?/p>

?樸：“他還用箭頭表示了他們的運動方向?！?/p>

庸迫不及待地補充道：“可以用小旗表示相遇地點?！?/p>

板塊三、利用線段圖找等量關系

分析例題（1）：
【方法1】

洛：“小林的速度×時間=小林的路程，小云的速度×時間=小云的路程，兩人的路程就是總路程。”

師：“有沒有同學說下洛找出的等量關系是什么？”

?驍：“小林的路程+小云的路程=總路程”

【方法2】

庸：“我先把他們的每分鐘行駛的總路程算出來，就是250+200，每一分鐘就行駛了450米?！?/p>

師：“250+200就是什么呀？”

生：“每分鐘共行的總路程”

?生補充：“速度和”

師：“這樣分析對不對？有沒有同學可以簡練概括出其中的等量關系？”

?生：“（小林的速度+小云的速度）×時間=總路程”

生補充：“速度和×時間=總路程”

?驍：“其實庸和洛一個是順向正向思維，一個是逆向思維。但是都是用同一個等量關系”

分析例題（2）：

生：“我分別表示出快車慢車的出發(fā)點，用小旗表示他們追趕上的地點”

此時學生在線段圖中用手比劃快車起止點和終止點，其他學生也很快找到快車的路程。

師?：“找到了快車的路程，你們可以再在線段圖中找出慢車的路程嗎？”

生指出。

師：“除快車慢車行駛的路程，其中還有一個已知的量是什么？”

?生：“需要追趕的路程”

師：“通過線段圖可以看出這三個量有什么樣關系呢？”

生：“線段圖中能找到總量和各部分量?！?/p>

瑞：“快車行駛的路程-慢車行駛的路程=追趕的距離”

師：“有沒有同學用其他的數(shù)量關系呢？”

睿：“我是假設慢車就等于停在原地，快車減去慢車的速度，就是快車的行駛速度?！?/p>

師：“他是什么意思？有沒有人可以再解釋一下給其他同學聽？”

馨：“就是快車原來的速度是80km/h，慢車是40km/h，但是現(xiàn)在假設慢車沒有動，快車是以80-40=40km/h的速度運動”

師：“睿講得很清楚，馨一下就明白了，馨也重復地很清楚。但是我有一個疑問，快車減去慢車速度就是什么？”

?生：“速度差”

師：“那睿用的數(shù)量關系可以怎樣表達？”

嘉：“速度差×時間=距離”

???????? 學生在演示中感知物體運動的方向和軌跡，從而順利建構(gòu)出行程問題的基本模型，再進行細化之后，便能迅速找到總量與各部分量之間的聯(lián)系。而在對比中，發(fā)現(xiàn)相遇問題與追及問題主要在于二者的運動方向，及二者運動的路程和原相距路程之間的關系變化。再在本節(jié)課重點突破相遇問題。

（師用PPt演示并總結(jié)）：

行程問題中通常有幾個量 ：

他們的關系是：

板塊四、利用線段圖和等量關系列方程求解例題（1）

（本節(jié)課將進行相遇問題的具體探究。）

（小組討論，代表發(fā)言）

師：“利用線段圖，我們找到了等量關系之后，要做什么？”

生：“找出未知量。”

師：“那么你們可以發(fā)現(xiàn)誰是未知量嗎？”

生：“從圖中可以看出小林、小云的運動時間是未知量，因為路程=速度×時間，而速度已知，他們運動的時間又相同，所以要求兩個人的路程，只要知道運動的時間就可以了?！?/p>

師：“分析出未知量后，我們該怎么辦？”

生：“解設”

師：“設什么？”

?生：“解設他們運動x分鐘后相遇”

師：“根據(jù)洛的數(shù)量關系（小林的路程+小云的路程=總路程），我們可以列出怎樣的方程？”

生：“250x+200x=4500”

（學生自主求解方程，檢驗并作答，教師不作贅述）

?師：“此處要注意題目問的是什么？直接回答10分鐘嗎？”

生：“問何時，是幾點”

生：“要把出發(fā)時間和運動時間相加”

師：“根據(jù)庸的數(shù)量關系（速度和×時間=路程）怎么列方程？”

生：“（250+200）x=4500”

師：“還有沒有用其他方法的？”

生補充：“還可以用路程除以速度和就等于時間，再用等式的性質(zhì)解得x=10，9點整加上10分鐘就是相遇的時間?！?/p>

?師：“這其實也是利用路程、速度和時間的數(shù)量關系列出方程的，這樣逆向的思維和算式方法很像。我們學習方程就可以為了遇到未知量時，可以直接將未知數(shù)帶入解題，這樣更便捷?！?/p>

?師：“在這里我們既然求出來他們相遇的時間，那你們能接下去編題目嗎？可以借助求出的時間再求出哪些量呢？”

?生1：“相遇時兩人分別行了多少千米？”

生2：“相遇時，小云比小林少行了多少千米？”

師生共同總結(jié)：用方程解決行程問題的步驟：

（1）畫線段圖，構(gòu)建模型

（2）分析數(shù)量關系，解設未知量

?（3）列方程并求解

（4）檢驗并作答

另外一定要牢記相遇問題的等量關系：

（1）甲的路程＋乙的路程=總路程

?（2）（甲速度＋乙速度）×時間=路程，即：速度和×時間=路程

板塊五、當堂反饋

鞏固練習

?兩列火車從相距570km的兩地同時相向開出。甲車每小時行110km，乙車每小時行80km。經(jīng)過幾個小時兩車相遇？

（自主完成，修正過程。要求：畫線段圖，建構(gòu)模型。并列方程解決問題）

?炎：“我列的方程是：110x+80x=570，解得x=3”

?師：“他把未知量時間也表示在上面了，他列的方程是根據(jù)什么數(shù)量關系得到的？”

?生：“甲車行駛的路程+乙車行駛的路程=總路程”

變式練習

兩地間的路程是455km。甲、乙兩輛汽車同時從兩地開出，相向而行，3.5小時相遇。甲車每小時行68km，乙車每小時行多少千米？

（獨立完成）

【總結(jié)】本節(jié)課原本的設計是準備直接將相遇問題與追及問題放于兩處分別講解，分析出各個數(shù)量之間的關系并求解，再對比兩種類型。但是教研后認為，行程問題是解決問題中比較復雜的一類題型，因此無法確保學生在同一節(jié)課完全掌握，因此為使學生能更好地解決問題，需要先聚焦相遇問題。而如果一定想用相遇問題和追及問題進行直觀對比，可以先使學生遭遇問題，再通過學生演示和線段圖對比之后，不深入分析追及問題，而使課程著重走向于相遇問題。因此，本節(jié)課堂設計改動之后的思路主要分為以下幾步：①是通過學生情境演示使學生浪漫感知生活中的行程問題；②學生通過自己的方法畫出圖形，分析物體的運動方向和運動軌跡等，直觀感知數(shù)學中的行程問題，構(gòu)建模型；③教師再利用PPT演示總結(jié)，利用線段圖構(gòu)建數(shù)學模型；④從線段圖中快速找出等量關系（即總量和各部分量之間的聯(lián)系）。解決問題這類題目，首先就需要在腦海中建構(gòu)模型。而線段圖和柱狀圖都是一種比較直觀的輔助工具。利用好這些工具，就可以找出行程問題中路程、速度和時間之間的關系，再通過靈活處理數(shù)量關系，加以不斷地鞏固練習和變式練習，以獲得解決問題的能力。